Логіка - Дуцяк І.3. -
Інструменти. Алгоритм виявлення суперечності у послідовності пов'язаних тверджень

Інструменти. Алгоритм виявлення суперечності у послідовності пов'язаних тверджень

Для виявлення, чи є аналізоване складне твердження суперечливим, треба послідовно виконати такі дії:

1. Записуємо складне твердження у символьному вигляді.

2. Перед ним (у тому ж рядку) послідовно записуємо всі його прості твердження-складники.

3. Під простими твердженнями-складниками записуємо всі варіанти комбінацій значень істинності цих тверджень.

4. Для кожного з варіантів значень істинності визначаємо, чи є аналізоване твердження внутрішньосуперечливим. Розпочинаємо такий аналіз з виявлення значення істинності тих складних тверджень, які є елементами інших складних тверджень.

Приклад 1: виявлення суперечності шляхом побудови таблиці істинності твердження: Падає дощ і неправда, що падає дощ:

1. Уводимо позначення Падає дощ -р, записуємо аналізоване твердження у символьному вигляді виразом (р л р).

2. Записуємо перед аналізованим твердженням прості твердження-складники (у цьому складному твердженні є лише одне просте твердження-складник - р).

3. Під ним записуємо стовпцем усі можливі варіанти значень його істинності (таких е лише два - істинно та хибно).

4. Для того щоб з'ясувати значення істинності кон'юнктивного твердження (р л р) за першого варіанта значень істинності твердження р, треба мати значення істинності твердження р. З таблиці значення істинності

заперечення отримаємо: у разі, коли р є істинним, р є хибним. Тому у першому рядку таблиці, в якому р істинне, підставимо символ х (хибно). І навпаки, у другому рядку, в якому р позначене як хибне (символ х у стовпці під р), позначаємо як істинне.

Для першого варіанта значень істинності р (р істинне) у таблиці істинності кон'юнкції знаходимо, якщо перше твердження-складник (у нашому прикладі р) є істинне, а друге (р) -

хибне, отже, кон'юнктивне твердження є хибним. Тому в першому рядку таблиці під символом кон'юнкції записуємо значення істинності складного твердження - х (хибно).

Для другого варіанта значень істинності (р хибне, відповідно до цього р істинне) з таблиці істинності кон'юнкції отримуємо, що і в цьому варіанті кон'юнктивний вислів (р л р) є хибним. Тому в другому рядку таблиці під символом кон'юнкції також ставимо символ х.

Оскільки в стовпці під кон'юнкцією зафік-

совано, що незалежно від того, чи твердження р є істинним (перший рядок), чи хибним (другий рядок), складне твердження (р л р) є хибним, то робимо висновок: аналізоване твердження є суперечністю; воно логічно хибне незалежно від значень істинності простих тверджень-складників.

Приклад 2: побудувати таблицю істинності твердження ((р -> д) -> (д -> р)).

Розв'язок цього завдання, без розбивання на окремі етапи, наведено ліворуч.

2.4. Закони логіки

У міркуваннях не повинно бути суперечностей, тобто логічно хибних тверджень. Цю вимогу фіксували в традиційній логіці у вигляді закону несуперечності. Згідно з законом недопущення суперечності, певне твердження і його заперечення не можуть бути водночас істинними. Інколи цей закон фіксують у вигляді завжди хибної формули р л р. Водночас для фіксування цього закону можна взяти за основу довільну завжди хибну формулу.

Поряд з цим законом у традиційній логіці вважали, що є ще три закони, а саме: закон тотожності, закон вилучення третього та закон достатньої підстави.

Згідно з законом тотожності, зміст довільного виразу (імені чи твердження) чи логічні його ознаки, такі як істинність, під час кожного вживання цього виразу повніші бути незмінними. На порушенні цього закону побудована значна частина анекдотів. Наприклад, коли турист питає, чи народжувалися у вашому населеному пункті великі люди, йому відповідають - пі, всі немовлята народжуються малими. Тут слово великі вжито в різних значеннях (в одному випадку в сенсі видатні, а в іншому - великі за лінійними розмірами).

Формально закон тотожності записують (у не найзагальнішому вигляді) відношенням р = р. Закон тотожності та закон несуперечності - це дві форми запису одного й того самого положення: не можна допускати суперечностей.

За законом вилучення третього, якщо наявне певне твердження і його заперечення, то одне з цих тверджень є обов'язково істинним, тобто іншого, скажімо третього твердження, яке могло б виявитися істинним, бути не може (лат. tertium non datur - третього не дано). Формально цей закон записують відношенням р У р.

Згідно з законом достатньої підстави, кожне твердження повинно бути обґрунтоване, тобто його істинність повинна бути певним чином підтверджена. Для з'ясування місця цього закону в логіці дещо детальніше розглянемо історію його виникнення.

Становлення в період Нового часу укладу господарювання, що ґрунтувалося на найманій праці, зумовило потребу формування ефективної методології пізнавальної діяльності. Одну з таких методологій запропонував французький філософ і математик Рене Декарт. Він уважав, що методологія пізнання повинна відтворювати породження знань в аксіоматичних системах. У цих системах з початкових аксіом отримують необхідно істинне нове знання. Отже, подібним повинен бути загальний метод пізнання. Згідно з Р. Декартом, пізнання повинне полягати у виявленні очевидних істин, які ніхто не піддає сумніву, і в дедукуванні з них похідних положень. Оскільки дедукція дає з істинних знань також істинне знання, то відкриті шляхом дедукції нові знання будуть обов'язково істинними.

Ґ. В. Ляйбніц був послідовником Р. Декарта. Він визнавав, що початкові знання - це вроджені принципи, які спільні для всіх і легкодоступні, тобто такі, що не потребують, аби їх відкривали. Однак Ґ. В. Ляйбніц уважав вродженими не тільки початкові, а й усі похідні знання, оскільки вони обов'язково випливають з початкових. Ці похідні знання містяться в розумі, однак людина їх не усвідомлює. Похідні знання не здобувають дедукцією з початкових істин. Процес пізнавальної діяльності має зворотну спрямованість - спочатку формулюють похідні знання, а потім від них прямують до початків (обґрунтовують їх зв'язком з очевидними початковими істинами).

Якщо, згідно з Р. Декартом, розум у переході від початкових знань до похідних виконує водночас і відкриття, і обґрунтування цих знань, то, відповідно до Ґ. В. Ляйбніца, ці два процеси роз'єднані. Почуття пробуджують наявні в розумі, але не усвідомлені розумом похідні загальні ідеї, тобто частково відкривають їх людині. Однак відчуття, згідно з Ґ. В. Ляйбніцем, не можуть надати цим ідеям істинності, тобто обґрунтувати їх. Це робить розум шляхом індуктивного переходу до початків. Отже, початки стають кінцем пізнавального процесу.

Саме внаслідок цього роз'єднання процесів відкриття й обґрунтування Ґ. В. Ляйбніц увів закон достатньої підстави, згідно з яким жодне положення не можна вважати істинним, якщо воно не має достатньої підстави своєї істинності, інакше кажучи, якщо воно не зведене до початків. (Р. Декарту такий закон не був потрібним, оскільки кожне правильно отримане положення, тобто отримане відповідно до його методу, вже є істинним, має достатню підставу і тому не потребує жодного додаткового обґрунтування).

Сучасні знання про пізнання суттєво відрізняються від поглядів як Р. Декарта, так і Ґ. В. Ляйбніца. Водночас положення про те, що кожне твердження повинно бути обґрунтоване, важливе й для сучасної методології. Проте є підстави для того, щоб вилучити це положення за межі логіки й оцінювати його як одну з загальних вимог до пізнавальної діяльності. Зумовлено це тим, що люди обґрунтовують знання не тільки логічним шляхом, тобто шляхом доведення, а й шляхом відчуттєвої демонстрації, яка є позалогічною дією.

Той факт, що логічні закони можуть бути сформульовані у вигляді тотожностей, а кількість завжди істинних формул (у логіці тверджень), які можуть бути записані у вигляді тотожностей, нескінченна, то, відповідно, нескінченною є і кількість законів.

Закони, описані вище, кожна людина засвоює стихійно, і, за спостереженнями автора, володіє ними в молодшому шкільному віці, а в середньому шкільному віці дитина може сама їх сформулювати. Наприклад, автор був свідком, коли дитина сама сформулювала таке положення: якщо хтось каже, що щось є таким, то вона цим каже, що воно не є іншим. Закон тотожності в такому вигляді самостійно, без жодних спонукань до цього, сформулював підліток сьомого класу, який не вивчав логіки.

ОЗНАЧЕННЯ

Антиномія - парадокс або нерозв'язна суперечність.

Апорія - утруднення в міркуваннях, яке важко подолати.

Логічна істинність - ознака твердження, яка проявляється в тому, що в разі, коли суб'єкт мовлення позначає значення істинності цього твердження більше одного разу, то він подає це твердження з однаковими (тоді це буде логічно істинне твердження), чи різними (тоді це буде логічно хибне твердження) значеннями суб'єктивної фактичної істинності.

Об'єктивна фактична істинність - ознака твердження, яка проявляється в тому, що знання, зафіксоване цим твердженням, адекватне дійсності.

Парадокс - суперечність, яка виникає в разі, коли несумісні компоненти твердження або кілька несумісних тверджень сприймають як сумісні.

Паралогізм - міркування, яке містить неумисно допущену логічну помилку.

Софізм - міркування, яке містить умисно допущену логічну помилку.

Суб'єктивна фактична істинність - ознака твердження, яка проявляється в тому, що воно подане суб'єктом мовлення з тим чи іншим значенням фактичної істинності.

Суперечність - несумісність між твердженнями чи їх елементами.

2.4. Закони логіки
ЛЕКЦІЯ 3. Виведення знань
3.1. Виведення знань та його види. Алгоритм виявлення правил виведення
Інструменти. Алгоритм виявлення можливості формулювання правила виведення (у разі, якщо одне твердження просте, а інше - складне)
Інструменти. Алгоритм виявлення можливості формулювання правила виведення (у разі, якщо засновки довільної складності)
3.2. Найпростіші правила виведення
1. Правило для диз'юнкції
2. Правило для антикон'юнкції
3. Правило для сильної диз'юнкції
4. Правило для імплікації