Математична статистика - Руденко В.М. -
Операції над подіями

Основні операції над подіями можна продемонструвати прикладами алгебри подій - алгебри Буля - у вигляді діаграм Венна (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Операції над подіями

З математичної точки зору події розглядаються як підмножини (А, В, С, ...) множини О елементарних подій ю. Отже, простір елементарних подій - це деяка множина О, а елементарні події - це її елементи ю.

Операції над подіями можна розглядати як операції над відповідними під-множинами, наприклад, підмножиною А і підмножиною В повної множини О елементарних подій ю.

Якщо в результаті випробувань відбувається елементарна подія ю, яка належить множині А, то стверджується, що подія А також відбулася.

Розглянемо основні операції над подіями з точки зору теорії множин.

Приклад 3.1. Задано простір елементарних подій (множина О) як сукупність натуральних чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. У результаті випробувань зафіксовано низку подій. Події А, В, С, В і ¥ як підмножини множини О включали такі елементи: Л={2,3}; В={2,3,4,5}; С={3,4,5,6}, В={6,7,8,9} і ¥={2,3,4,5}. З'ясувати властивості основних операції алгебри подій.

Рішення:

а) за умовами прикладу всі елементи підмножини Б={2,3,4,5} належать до множини ^={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. За аналогією до операцій над множинами це значить, що і відповідна подія б належить до простору подій О, тобто б <ео. (рис. 3.1а);

б) усі елементи підмножини ^4={2,3} належать до підмножини Б={2,3,4,5}, тому у разі появу події а відбуватиметься і подія Б. У цій ситуації можна стверджувати, що у разі здійснення подія а спричинює появу події Б. Таку операцію називають "слідування" і записують як а с б (рис. 3.16);

в) підмножини ¥ і б складаються з однакових елементів: Б={2,3,4,5} і ¥={2,3,4,5}. Це значить, що подія б завжди спричинює появу події ¥, тобто б с ¥. У свою чергу подія ¥ спричинює появу події Б, тобто ¥ с б . Отже, події ¥ і б еквівалентні. еквівалентність подій записують як ¥=Б (рис. 3.1в);

г) подія В, яка відбувається, коли не відбувається подія В, називається протилежною події В. Протилежність події В визначається як доповнення підмножини Б, тобто б = О В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {2,3,4,5}={1, 6, 7, 8, 9}. Звідси В = {1, 6, 7, 8, 9} (зафарбована площа на рис. 3.1г);

ґ) добуток В-С подій В і С - це подія, що полягає в спільній появі і події В, і події С. Добуток подій визначається перетином відповідних множин В і С: БП С = {2,3,4,5} Г| {5,6,7,8}={5}. Добуток подій В-С має місце, коли деякі підмножини елементарних подій належать як множині В, так і множині С (рис. 3.1г). У прикладі спільною підмножиною є елементарна подія ю ={5};

д) сума В+С подій В і С - це подія, що полягає в появі хоча б однієї з подій або В, або С. Сума подій визначається операцією об'єднання відповідних множин В і С: Б и С = {2,3,4,5} и {5,6,7,8}={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Отже сума подій В+С має місце, коли відбувається хоча б одна якась елементарна подія ю з підмножини {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (див. рис. 3.1д);

Добуток подій В-С і сума подій В+С, визначених вище за аналогією операцій теорії множин (рис. 3.1 ґ, д ), мають місце для так званих сумісних подій B і C, які можуть відбуватися разом. Проте події, які в результаті випробовувань не можуть відбутися одночасно, є несумісними. Операції добутку несумісних подій B-D і суми цих подій B+D продемонстровано на рис. 3.1е, є;

е) за умовами прикладу добуток несумісних подій B-D визначається перетином відповідних множин В і D: B Г| D = {2,3,4,5} Г| {6,7,8,9}={}=0. В результаті отримаємо так звану порожню підмножину 0, якій відповідає неможлива подія. Як бачимо з рис. 3.1е, підмножини В і D не мають спільних елементів - вони несумісні. Отже добуток несумісних подій В-С є неможливою подією;

є) сума В +D несумісних подій В і D визначається об'єднанням відповідних множин В і D: B U D = {2,3,4,5} ЦІ {6,7,8,9}={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Сума несумісних подій включає всі елементарні події кожної окремої події (рис. 3.1 є).

Таким чином, операції над подіями можна розглядати як операції над відповідними підмножинами. Алгебра подій ізоморфно відтворюється на алгебрі множин. Однак у теорії ймовірностей для позначення власних понять використовуються свої терміни, які дещо відрізняються від термінів теорії множин. Відповідність між термінологічними рядами цих двох математичних дисциплін можна представити за допомогою табл. 3.1.

Таблиця 3.1

Відповідність термінів теорії ймовірностей і теорії множин

Теорія ймовірностей

Теорія множин

Простір елементарних подій

Множина

Елементарна подія

Елемент цієї множини

Подія

Підмножина

Достовірна подія

Підмножина, що збігається з множиною

Неможлива подія

Порожня підмножина 0

Подія, протилежна В

Доповнення В, підмножина В

Сума А+В подій А і В

Об'єднання А [] В підмножин А і В

Добуток А^В подій А і В

Перетин А П В підмножин А і В

Події А і В несумісні

Перетин А Г| В = 0, порожня підмножина

Події А і В сумісні

Перетин А Г| В ф 0, підмножина не порожня

Ймовірність подій
Умовна ймовірність
Формула повної ймовірності
Формула Байєса
Елементи комбінаторики
3.2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
Розподіли випадкових величин
Характеристики випадкових величин
Математичне сподівання
Дисперсія випадкової величини