Теорія статистики - Мармоза А.Т. -
6.6. Закони розподілу вибіркових характеристик

Під законом розподілу слід розуміти такий теоретичний розподіл до якого прямує емпіричний розподіл при п -" со.

В статистиці широко використовуються різні види теоретичних розподілів, серед яких класичними вважаються нормальне, біноміальне і пуассонове. Серед названих законів розподілу, на якому ґрунтується більшість статистичних методів дослідження, є закон нормального розподілу.

Окремі закони пов'язані з характером розподілу окремих випадкових величин і застосовуються для розв'язання конкретних задач. Ці закони носять імена вчених, які їх відкрили. Серед них у статистичній науці і практиці найбільш широке застосування одержали закони розподілу Стьюдента, Пірсона і Фішера-Снедекора.

Кожний із законів розподілу має свою специфіку і область застосування в різних галузях знання.

Закони розподілу в основному використовуються для розв'язування задач, пов'язаних з оцінкою параметрів генеральної сукупності і перевіркою статистичних гіпотез.

Розглянемо закони розподілу, що одержали в статистичному аналізі найбільше застосування.

Нормальний розподіл

Більшість соціально-економічних і природних явищ підпорядковано закону нормального розподілу. Підпорядкованість закону нормального розподілу проявляється тим точніше, чим більше випадкових величин діє разом. Якщо жодна з випадково діючих причин за своєю дією не виявиться переважною над іншими, то закон розподілу дуже близько підходить до нормального.

Така закономірність проявляється, наприклад, в розподілі відхилень у виробничому процесі при нормальному рівні організації і технології, в розподілі населення певного віку за розміром взуття, одягу і в багатьох інших випадках.

Нормальний розподіл є симетричним розподілом, в якому більшість значень випадкової величини концентрується навколо середньої величини, його особливістю є те, що чим більше значення окремих варіант відхиляються від середньої величини, тим рідше вони зустрічаються і тим менше імовірність їх появи. І навпаки, чим ближче варіанти до середнього значення, тим частіше вони зустрічаються і тим більше імовірність їх появи. Однакові за абсолютним значенням, але протилежні за знаком відхилення значень змінної х від середньої рівно імовірні.

Імовірність відхилень вибіркових середніх від генеральної середньої (~ - х) при великому числі спостережень (п -"со) визначається законом нормального розподілу Лапласа-Гаусса.

Нормальним розподілом називають розподіл неперервної випадкової величини, який описується щільністю імовірності

де Ф(х) - щільність імовірності (ордината кривої); ст0 - середнє квадратичне відхилення генеральної середньої, яке у практичних розрахунках замінюється вибірковим ст; к = 3,14 ... (постійна величина, яка характеризує відношення довжини кола до довжини його діаметра); е = 2,718... - основа натуральних логарифмів (число Ейлера).

Як видно, нормальний розподіл визначається двома параметрами: середньою арифметичною і середнім квадратичним відхиленням. Знаючи ці параметри, можна побудувати криву нормального розподілу.

Звичайно в даній формулі замінюється на і, де відхилення представлені в частках середнього квадратичного відхилення, прирівняного до одиниці. Завдяки нормуванню, дисперсія і = 1, а х = 0.

Рівняння нормальної кривої при такій заміні приймає вигляд:

Його називають стандартним рівнянням нормальної кривої, а нормальну криву - нормованою кривою. При її побудові за емпіричними даними застосовують таку формулу

де у - ордината кривої (теоретична частота); Ь - величина інтервалу; п - чисельність сукупності; ег - середнє квадратичне відхилення; /(і) - функція щільності нормального розподілу.

Графік щільності нормального розподілу називається нормальною кривою або кривою Гаусса (рис. 8.1).

Крива нормального розподілу імовірностей

Рис. 8.1. Крива нормального розподілу імовірностей

Ця дзвоноподібна крива симетрична відносно осі ординат і асимптотично наближається до осі абсцис. Крива має точки перегину при і = ±1, тобто при таких відхиленнях значень ознаки від середньої арифметичної, які дорівнюють одному середньому квадратичному відхиленню. Площа, що обмежена кривою і віссю абсцис, дорівнює одиниці. Значення щільності імовірності Ф(х) залежить тільки від величини нормованого відхилення і, так як я і е - постійні величини. Так, при і = 0 співмножник е 2 = 1 і щільність імовірності максимальна Ф(0) = 0,3989. Мірою зростання і щільність імовірності зменшується.

Для знаходження значень інтеграла імовірностей при заданому і складені спеціальні таблиці (дод. 2), за якими можна визначити значення і при заданому рівні імовірності Р і значення Р імовірності при відомому і.

Теоретичні значення і і Р, що обчислені на основі стандартного рівняння нормальної кривої, використовуються в математичній статистиці, зокрема, у вибірковому методі, як нормативи (критерії), за допомогою яких проводиться оцінка вибіркових характеристик. В зв'язку з цим нормоване відхилення кривої нормального розподілу отримало назву і - критерію розподілу нормальної кривої.

Нормальний розподіл
Розподіл Стьюдента
Розподіл Пірсона
Розподіл Фішера-Снедекора
6.7. Малі вибірки
Розділ 7. Перевірка статистичних гіпотез
7.1. Поняття про статистичні гіпотези
7.2. Помилки при перевірці статистична гіпотез. Статистичні критерії і критична область
7.3. Загальна схема перевірки статистичної гіпотези
7.4. Перевірка статистичних гіпотез щодо середніх величин