Страхування - Базилевич В.Д. - 25.3. Страхові ануїтети

Прямий довічний ануїтет передбачає щорічні виплати по 1 доти, доки застрахована особа жива. Виплати здійснюються в моменти часу 0, 1, К. Разову нетто-премію такого ануїтету можна обчислити за формулою

а*=ї>Рх. (25.24)

Нагадаємо, що о =- - коефіцієнт дисконтування (і -

фактична річна відсоткова ставка), _кр_х - ймовірність того, що людина віку х проживе принаймні к років.

Нетто-премії ануїтету та відповідного страхування пов'язані формулою²

1 = <*а, + А" (25.25)

й = 1 - и - річна фактична ставка дисконту.

Нетто-премія прямого довічного ануїтету, обмеженого терміном п років, становить¹

Безпосередні довічні ануїтети передбачають виплати в моменти 1, 2, К_у і разова нетто-премія задається рівністю

а_ж=а_ж-1. (25.27)

Нетто-премія відкладеного на т років прямого довічного ануїтету зі щорічними виплатами по 1 становить²

Н^йх - тРх^йх+т або ж _ма_х=а_х -а_х{щ (25.28)

У випадку, коли страхові виплати величиною - здійсню-

т

ються т разів на рік, тобто в моменти часу 0, -, -, доти,

т т

доки застрахований початкового віку х живий, нетто-премія визначається за формулою³

а_ж^т) =-гт-гтАі^т) (25.29)

оі й⁴

йї і- і^(т)

Позначимо а(т) = , . , . та В(тп) = , , . .. Тоді нетто-пре-а*¹ Ч ^"О^Оп)

мію можна виразити формулою

а™ =а(т)а_х -(Нлі). (25.30)

Приклад 25.4. Розглянемо чотирирічний тимчасовий ануїтет для людини віку х (щорічні виплати дорівнюють 1). Коефіцієнт дисконтування и = 0,9.

Слід визначити нетто-премію прямого довічного ануїтету.

з

Скористаємось формулою (25.26): а_гщ = £о* ,р_х. Для цього обчислимо для кожного року добуток и' _ір_х ї⁼⁰

Тепер а_ж-| =0,9 + 0,72 + 0,5265 + 0,3645=2,511.

25.4. Нетто-премії

Для страхового поліса загальний збиток Ь страхувальника визначається як різниця між поточною вартістю страхових виплат і поточною вартістю премій. Принцип еквівалентності полягає в тому, що математичне сподівання загального збитку М{Ь) = 0. Якщо премія відповідає принципу еквівалентності, вона називається нетто-премією (або чистою премією).

Функція корисності и(х) повинна задовольняти умови и'(х)>0 та и*(х)<0 , тобто бути зростаючою та опуклою догори. Ця функція вимірює корисність грошової суми х для страхувальника.

Якщо задано функцію корисності, то розрахунок нетто-пре-мій базується на співвідношенні М(и(~Ь)) = и(О)¹.

Розглянемо тепер довічне страхування зі страховою сумою 1, яка виплачується щорічними нетто-преміями. їх величини становитимуть²

Р_х=-. (25.31)

У випадку тимчасового страхування на строк п років (страхова сума 1 виплачується наприкінці року смерті) щорічна нетто-премія буде дорівнювати¹

^ід=~- (26.32)

а щорічна нетто-премія чистого доживання дорівнює

^р^~- (²⁵-зз)

а -і

Щорічну нетто-премію доживання можна визначити за формулами²: ^

'-а-т^"'-я-^я+^а- (25.34) а -і

Якщо щорічна нетто-премія сплачується т разів на рік однакові частинами, то її величина дорівнює⁸

^{^'=4^ (25.35)}

Приклад 25.5. За умов прикладу 25.4 обчислити щорічну нетто-премію чистого доживання за третій та четвертий роки угоди, якщо ₄р_х =0,4.

Скористаємось формулою (25.33): Р= .

^ЖіЛ а -і

ЖІЯІ

Щорічна нетто-премія за четвертий (останній) рік угоди буде дорівнювати Р ' =^?-=НІі&. ₌ (°'⁹>' °'⁴ =0,1045.

. ^кї| "-а ".а 2,511

За третій рік угоди щорічна нетто-премія дорівнює

^А я о³

^{І^.а =-- = и 3 . Чисельник цього дробу і)3 арх =0,3645}

можна взяти з таблиці розв'язку прикладу 25,4 (останній рядок та стовпчик), а знаменник є сумою перших трьох елементів останнього стовпчика тієї ж таблиці: а =0,0 + 0,72 + 0,5265 = =2,1465.