Логіка - Дуцяк І.3. -
Правило транзитивності імплікації

За алгоритмом, описаним у попередньому параграфі, можна побудувати всі можливі правила для кожного з логічних термінів. Ці правила (за спостереженнями автора) самостійно формулюють уже діти середнього шкільного віку, а мислять, несвідомо їх використовуючи, мабуть, уже діти дошкільного віку. Сформулюємо їх найдоступніше, тобто в такому вигляді, в якому вони стануть очевидними не тільки кожному дорослому, а й дитині. (У символьному вигляді правила наведені як відношення логічного випливання).

1. Правило для диз'юнкції

Якщо є принаймні один з двох об'єктів і якогось одного з них нема, то є інший об'єкт.

2. Правило для антикон'юнкції

Якщо нема принаймні одного з двох об'єктів і якийсь один з них є, то іншого об'єкта нема.

3. Правило для сильної диз'юнкції

Якщо є тільки один з двох об'єктів і якийсь із них є або нема, то, відповідно, іншого об'єкта нема або він є.

4. Правило для імплікації

Якщо є чи нема два об'єкти водночас або першого з них нема, а другий є, і є перший або нема другого об'єкта, то, відповідно, є другий або нема першого об'єкта.

5. Правило для реплікації

Якщо є чи нема два об'єкти водночас, або перший з них є, а другого нема, і першого нема, або другий є, то, відповідно, нема чи є інший.

6. Правило для еквіваленції

Якщо є чи нема два об'єкти водночас, і якийсь із них є або нема, то, відповідно, інший об'єкт також є або його нема.

Окрім цих правил, є ще інші. Наведемо деякі.

Правило транзитивності імплікації

Правило контрапозиції

3.3. Відношення логічного випливання та правила виведення

У процесі міркувань стосовно певних тверджень ми фіксуємо, що вони випливають з інших. Перш ніж дати визначення логічного випливання, введемо такі позначення: позначимо твердження довільної структури символами А, В,... (це змінні, значенням яких є прості або складні твердження).

Логічне випливання - це відношення між послідовністю тверджень А19 А2> ... А., які є частиною послідовності Ау9 А29... А., В та твердженням В, яке полягає в тому, що у всіх випадках, коли кожне з тверджень А,, А0,... А є істинним, твердження В також істинне. У такому випадку кажуть, що твердження В (висновок) випливає з тверджень А.9 Ао9 ...А. (засновки). Цей факт записують виразом

А1, А2, ... А.j = В.

Отже, символ 1= позначає не операцію над твердженнями, а відношення між ними.

У разі, коли між твердженнями наявне таке відношення і коли кожне з тверджень Аі9 А2, ... А. є фактично істинним, можна стверджувати істинність твердження В. В інших випадках, коли щонайменше один зі засновків хибний, висновок може бути як істинним, так і хибним. Оскільки висновок не може бути хибним у разі істинних засновків, то можна сказати, що істинність засновків є достатньою умовою для істинності висновку. Отже, якщо послідовність тверджень А., А99 ... А., В записати одним складним твердженням, то між засновками та висновком буде імплікація. Оскільки умовою істинності висновку є істинність кожного

з засновків, то під час запису засновків у формі складного твердження вони повинні бути з'єднані кон'юнкцією. У підсумку послідовність тверджень, у якій останнє випливає з попередніх, можна записати таким складним твердженням:

Останній вираз фіксує не послідовність тверджень, між останнім з яких та попередніми наявне відношення логічного випливання, а лише складне твердження, яке відповідає зазначеній послідовності тверджень. Однак встановлені таким способом логічні зв'язки, якими послідовність тверджень об'єднано в одне складне твердження, дають змогу відтворити відношення між значеннями істинності засновків та висновку.

З огляду на те, що, з одного боку, між висновком і засновками є зв'язок достатньої умови (імплікація), тобто все складне твердження хибне тільки в разі істинності антецедента (засновків) і хибності консеквента (висновку), а, з іншого, - за визначенням логічного випливання, консеквент (висновок) не може бути хибним у разі істинного антецедента (засновків), отримуємо таке: прості твердження, які є елементами засновків і висновку, повинні бути з'єднані такими зв'язками, за яких не існували б випадки, коли за істинних Аі9 А2> ...А. було б хибним В. Іншими словами, вираз

повинен бути законом.

Це дає змогу перевірити, чи справді між певною послідовністю тверджень і твердженням, яке пропонують як таке, що випливає з цієї послідовності, наявне відношення випливання. Для цього послідовність тверджень, наприклад, А , А9У В, треба записати у формі складного твердження

і з'ясувати, чи є цей вираз законом. Якщо це так, то можна бути переконаним, що твердження В випливає з тверджень ¿1" л2.

Проаналізуємо такий приклад: нехай маємо послідовність тверджень (р -" д)9 р9 д. Чи твердження д випливає з тверджень (р -> д), р, тобто чи істинним є складне твердження, що відповідає виразу

Запишемо наведену послідовність тверджень у формі відповідного складного твердження

і з'ясуємо табличним методом, чи є отримане складне твердження законом:

Як бачимо з таблиці істинності, в усіх випадках, коли обидва засновки є одночасно істинними (такий випадок у цьому прикладі тільки один), твердження д також істинне. Оскільки випадків, коли антецедент істинний, а консеквент (висновок) хибний, немає, то це складне твердження є законом. У підсумку можна зробити висновок, що у послідовності висловів (р -> д), р, д твердження д випливає з тверджень (р -> д), р.

Подібно виконують аналіз, коли висновок про випливання певного твердження зроблено з одного засновку. Нехай маємо послідовність тверджень (р л д), р. Чи випливає р з (р л д)?

Побудуємо таблицю істинності відповідного складного твердження (р л д) -> р:

Як і в попередньому випадку, можна стверджувати, що твердження р випливає з твердження (р л q).

Відношення логічного випливання зумовлює можливість виведення знань. На підставі цього відношення можна сформулювати правила, згідно з якими замість одного твердження можна записати інше, так що нове твердження завжди буде істинним у разі істинності того твердження, з якого воно випливає. Усі послідовності тверджень, у яких між останнім і попередніми наявне відношення логічного випливання, можна записати як правила виведення, відповідно до яких можна виконувати перетворення тверджень, тобто виведення нових тверджень.

Для запису правил виведення в поданих вище виразах замість пропозиційних змінних запишемо символи Л, В, які позначають довільні твердження (прості або складні); крім того, нове твердження, тобто висновок, запишемо під засновками, розділивши їх лінією. У такому разі з виразу (р -> g), р t= д отримаємо правило виведення, яке називають модус поненс (modus ponens):

ОЗНАЧЕННЯ

Аксіоматична система - система, в якій висновки отримують із завжди істинних тверджень, унаслідок чого висновки будуть з необхідністю істини.

Антитеза - твердження, яке суперечить тезі.

Виведення - дія (послідовність дій), у результаті виконання якої з одних знань за певними правилами отримують інші знання.

Вивід - сукупність засновків і висновків.

Вивідність - відношення певного твердження до множини інших тверджень, яке полягає в тому, що воно може бути отримане зі згаданої множини тверджень у результаті застосування правил виведення.

Висновок - те нове знання, яке отримують унаслідок виведення.

Дедукція - виведення, в результаті якого у висновку отримують знання, які в неявному вигляді містилися в засновках.

Демонстрація - дії, якими обґрунтовують істинність певних тверджень.

Доведення - обґрунтування істинності певного попередньо заданого твердження (тези) логічними діями.

Засновки - твердження, на підставі яких отримують нове знання.

Логічне випливання - відношення певного твердження до множини інших тверджень, яке полягає в тому, що це твердження є необхідно істинним, якщо істинним є кожне твердження зі згаданої множини тверджень.

Натуральне виведення - отримання висновків з припущень, унаслідок чого істинність висновків залежить від істинності засновків.

Непряме доведення - обґрунтування істинності певного попередньо заданого твердження (тези) шляхом отримання у висновку суперечливого до тези твердження як хибного (логічне обґрунтування хибності антитези).

Правило виведення - зафіксована знаками можливість заміни одних виразів іншими зі збереженням певних ознак цих виразів (зокрема, значення істинності).

Правильний вивід - вивід, виконаний відповідно до правил.

Пряме доведення - обґрунтування істинності певного попередньо заданого твердження (тези) шляхом отримання її як висновку з підібраних аргументів.

Спростування - обґрунтування хибності певного попередньо заданого твердження (тези) логічними діями.

Теза - попередньо задане твердження, істинність якого обґрунтовують.

Правило контрапозиції
3.3. Відношення логічного випливання та правила виведення
Тема 2. Логічний аналіз простих тверджень
ЛЕКЦІЯ 4. Елементи та структура простих тверджень
4.1. Імена. їхні види та властивості
4.2. Відношення між іменами за обсягом (логічні терміни у простому твердженні)
Інструменти. Алгоритм визначення відношення між обсягами імен 4 (відношення між множинами)
4.3. Структура простих тверджень
ЛЕКЦІЯ 5. Види простих тверджень. Безпосередні виводи
5.1. Види простих тверджень