Логіка - Мозгова Н.Г. -
3. Відношення еквівалентності між складними висловлюваннями

Серед формул логіки висловлювань є такі, які незалежно від значень істинності їх атомів є завжди істинними. їх називають тотожно істинними формулами або тавтологіями.

Прикладом тавтології є відомий вже вам закон виключеного третього - А V -А. Побудуємо його матрицю:

Як бачимо, незалежно від того, які значення істинності мають атоми (А, -А), формула в цілому має значення істинності - "Істина" (1).

Зазначимо, що будь-який закон логіки є тотожно істинною формулою або тавтологією.

*Дві формули F1 та F2с еквівалентними (рівносильними) тоді і тільки тоді, коли їх подвійна імплікація (F1-F2) - тавтологія.

Перевірку еквівалентності двох формул здійснюють за допомогою таблиць істинності. Якщо значення їх істинності в цілому однакові, то відповідні формули еквівалентні. Перевіримо, наприклад, чи еквівалентні такі формули:

А->Ві~А УВ

Побудуємо їх таблиці істинності:

Очевидно, що подвійна імплікація цих формул є тавтологією:

(А -> В) <-* (~ А V В)

Деякими елементарними еквівалентностями логіки висловлювань є такі:

1) А—>В = ~А/В - вираження імплікації через диз'юнкцію та заперечення.

2), а) ~ (А Л В) = ~ А V - В;

Ь) ~(А/В) = ~АЛ~В- закони де Моргана.

3) А <-> В = (А —> В) Л (В —> А) - подвійна імплікація через імплікацію та кон'юнкцію.

4) Скориставшись еквівалентністю (1), отримаємо: А <-> В = (~А V В) Л (~В V А).

5) Скориставшись правилом де Моргана (2Ь), отримаємо: А <-> В н ~ (А Л ~В) Л ~(В Л -А).

Відношення еквівалентності дозволяє перетворювати одні (складні) висловлювання на інші (прості).

4. Особливості імплікації

Імплікація двох висловлювань (А та В) суттєво відрізняється від інших логічних операцій - кон'юнкції, диз'юнкції та подвійної імплікації. Якщо АЛВ = ВЛА, АУВ а ВуА, А<->В = В<->А, то А—>В Ф В->А. Тобто, якщо всі логічні операції є симетричними, то імплікація не є симетричною операцією.

Саме тому, ми давали її визначення не через випадок істинності, а через випадок хибності.

Тепер розглянемо випадки її істинності. Матриця імплікації має вигляд:

З таблиці видно, що:

1) Імплікація є завжди істинною, при хибному антецеденті, незалежно від значення істинності консеквента (рядки таблиці 3,4). В обох випадках А є хибним, але в третьому рядку В є істинним, а в 4-му В -хибне. Отже, ми можемо визначити істинність імплікації, знаючи тільки значення істинності лівої частини. Якщо вона хибна, то імплікація є істинною.

2) Імплікація є завжди істинною при істинному консеквенті (1, З рядки), незалежно від значення істинності антецедента. Так, у першому рядку він істинний, а в третьому - хибний. Це теж дозволяє визначати істинність імплікації тільки за значенням істинності консеквента.

Отже, імплікація є істинною тоді і тільки тоді, коли антецедент є хибним або консеквент є істинним.

5. Відношення логічного слідування

Дуже важливим у логіці висловлювань (і в логіці взагалі) є відношення логічного слідування, оскільки на ньому ґрунтуються всі умовиводи та доведення. Відношення логічного слідування позначають символом К Формула Б. н Б2 читається: "З Р. логічно слідує (випливає) Р2, або Р2 є логічним наслідком

З формули Р1 логічно слідує формула Р2 тоді і тільки тоді, коли їх імплікація (¥ ] —є завжди істинною формулою (* та етологією).

Між відношенням логічного слідування (Н) та імплікацією (—>) існує тісний зв'язок, але їх не слід плутати. Імплікація - це висловлювання, що складається з двох елементарних висловлювань і серед наборів її значень істинності може бути "хиба". *Логічне слідування - це відношення між двома висловлюваннями, яке є завжди істинною імплікацією.

Для перевірки, чи є Б2 логічним наслідком ¥г необхідно:

1) з'єднати їх знаком імплікації (Р,—"Р2);

2) побудувати таблицю для отриманої формули;

3) якщо ця формула є тавтологією, то з Р, логічно випливає її (Б, Ь Б2); якщо ця формула не є тавтологією, то з Б, логічно не випливає Р2

Нехай Р, - (АлВ), а Р2 - (А/В). Перевіримо, чи є ¥2 логічним наслідком Б,.

Оскільки отримана формула є тавтологією, то це означає, що Р, ьР2. Перевіримо тепер навпаки: чи є Р, логічним наслідком Р2.

Оскільки ця формула не є тавтологією, то це означає, що Р, не є логічним наслідком з Р2

Якщо Р1ЬР2, але ¥2*¥19 то формула Р, є більш сильною по відношенню до Р2. Якщо ж Р,І-Р2 і $2і-¥1, то Р1 та Р2- рівносильні або еквівалентні.

Література для поглибленого вивчення розділу

А. Основна.

1. Гетманова А.Д. Логика. - М.: Новая школа, 1995. - С. 68-83.

2. Жеребкін В.Є. Логіка. - X.: Основа; К.: Знання, 1999. - С. 86-93.

3. Кириллов В.И., Старченко A.A. Логика. -М.: Высшая школа, 1995. -С. 158-163.

4. Конверський А.Є. Логіка. - К.: Четверта хвиля, 1998. - С. 195-202.

5. Иванов Е.А. Логика. - М: Издательство БЕК, 1996. - С. 137-171.

6. Свинцов В.И. Логика.-М.: Скорина; Весь мир, 1998.-С. 101-116.

7. Тофтул М.Г. Логіка: Навч. посібн. для студентів вищих навчальних закладів. - К.: Академія, 2003. - С. 90-102.

8. Хоменко І.В., Алексюк I.A. Основи логіки. - К.: Золоті ворота, 1996. -С. 96-145.

9. Хоменко І.В. Логіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів. - К.: Абрис, 2004. - С. 99-107.

В. Додаткова

1. Ивин А. А. Искусство правильно мыслить. - М.: Просвещение, 1990. -С. 154-209.

2. Карнап Р. Значение и необходимость. - М.: Наука, 1968. - С. 331-334.

3. Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. - М.: Наука, 1975. Статті: высказывание, дизъюнкция, импликация, исчисление высказываний, конъюнкция, отношение между суждениями, разделительное суждение, сложное суждение, суждение, условное суждение, эквивалентность.

4. Логические методы и формы научного познания. - К.: Наукова думка, 1984.-200 с.

5. Мельников В.Н. Логические задачи. - К.; Одесса: Вища школа, 1989. -С. 59-101; 154-177.

6. Свинцов В.И. Смысловой анализ и обработка текста. - М.: Наука 1979.-272 с.

4. Особливості імплікації
5. Відношення логічного слідування
МОДУЛЬ 3. УМОВИВІД
Розділ 7. Безпосередній дедуктивний умовивід
Короткий зміст розділу
1. Поняття умовиводу та його структура
2. Види умовиводів
3. Правильний та неправильний умовивід
4. Обернення судження
5. Перетворення судження