Математична статистика - Руденко В.М. -
Метод моментів

За цим методом (запропоновано К. Пірсоном) певна кількість вибіркових моментів (початкових vk або центральних mk, або тих і інших) прирівнюють до відповідних теоретичних моментів ( ~k або щ ) розподілу випадкової величини X. Нагадаємо, що вибіркові моменти визначаються за формулами (2.13 - 2.20 ), а відповідні теоретичні моменти - за формулами (3.14 - 3.39). Отже, оцінки невідомих параметрів є рішенням системи рівнянь. Кількість рівнянь визначається кількістю параметрів, що підлягають оцінюванню.

Приклад 4.1. Визначити точкові оцінки випадкової величини X, що має нормальний розподіл, за методом моментів.

Рішення:

Щільність нормального розподілу випадкової величини X має вигляд

f (x; fi,a ) = exp<!--- з двома невідомими параметрами: серед-

л/2я-сг2 І 2° J

нім іл = M[X] = v1 (3.36) і дисперсією о2 = D[X] = m2 (3.37), які є першим

початковим і другим центральним теоретичними моментами.

Відповідні вибіркові моменти мають вигляд: v1 = - Еxi і m2 = v2 - vx2 .

n і=1

Звідси визначається система з двох рівнянь:

1 "

ﳥ1

Рішення системи рівнянь дає оцінки середнього juMM і дисперсії сгмм за методом моментів

Ь = 2 (4.7)

= з

Як бачимо, точковими оцінками середнього і дисперсії випадкової величини x, що має нормальний розподіл, є вибіркові середнє X і дисперсія з2.

Оцінювання за методом моментів є спроможним, порівняно простим у розрахунках, але за показником ефективності не "найкращим". Основним методом отримання оцінок параметрів генеральної сукупності вважається метод максимальної правдоподібності, запропонований Р.Фішером.

Метод максимальної правдоподібності

Основу метода складає функція правдоподібності Ь(х; ©) , яка виражає ймовірність спільної появи результатів вибірки хь х2, хп:

ц х1, х2, - , Хп ;®) = ф( Х1,@) -ф( Х2,&) ■■■■?( Хп , ©).

Згідно з метод максимальної правдоподібності за оцінку невідомого параметра © приймається таке значення ®п, яке максимізує функцію ц( х;0) 20.

Приклад 4.2. Визначити точкові оцінки параметрів випадкової величини x, що має нормальний розподіл, за методом максимальної правдоподібності. Рішення:

Щільність нормального розподілу випадкової величини x визначається

і має два параметри: середнє ц і дисперсію а2, які слід оцінити. Функція правдоподібності має вигляд

Після логарифмування потримаємо

20 Див., наприклад, Н.Кремер [41, С. 303-305].

ТІ 1 п

1пЬ = --(1па2 +111(2*)) - -- X(хі - /и)2. (4.10) 2 2сг ,=1

Для знаходження параметрів ц і а2 часткові похідні за цими параметрами

необхідно прирівняти нулю і розв'язати відповідну систему рівнянь:

--= - їй (хі = 0

'а іп ь 1 л ( )2 п 0 (4.11)

З першого рівняння (для (72>0) отримаємо

п п п п 1 п ,

X(х, = Ех, = Ех, "п<"=0, звідки М = -2^х, , тобто

¿=1 ¿=1 ¿=1 ¿=1 п і=1

ї ™ = (4.12)

З другого рівняння після скорочення (для о2>0) і підстановки отримаємо

-X (х, - X)2 - п = 0, звідки а2=~2І(х, ~ Х)2 , тобто

= ^ (4.13)

Таким чином, оцінками за методом максимальної правдоподібності математичного сподівання /йямп і дисперсії випадкової величини x, що має

нормальний розподіл, є відповідно вибіркове середнє x і вибіркова дисперсія ^2 . Оцінки за методом моментів і методом максимальної правдоподібності для середнього і дисперсії співпадають, але тільки для випадкової величини x, що має нормальний розподіл.

Оцінки максимальної правдоподібності, як правило, є спроможними і асимптотично ефективними. Основний недолік цього методу пов'язаний з труднощами розрахунку оцінок, а також і те, що для побудови оцінок і забезпечення їх "найкращими" властивостями необхідно знати закон розподілу випадкової величини, що у багатьох випадках виявляється практично нереальним.

Метод максимальної правдоподібності
Метод найменших квадратів
Інтервальне оцінювання
5. ПЕРВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ
5.1. ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДІВ ПЕРЕВІРКИ СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ
Поняття статистичної гіпотези
Статистичні критерії
Параметричні і непараметричні критерії
Рівень статистичної значущості
Правила прийняття статистичних рішень