Логіка - Мозгова Н.Г. -
2. Логічні сполучники та логічні операції

Короткий зміст розділу

Складне судження (висловлювання) є об'єктом вивчення розділу логіки, який називають *логікою висловлювань. Логіка висловлювань є важливою частиною сучасної формальної логіки, оскільки саме на цій теорії ґрунтуються інші складові логіки.

1. Поняття складного висловлювання

Висловлювання, яке містить у собі інші висловлювання як складові частини, називають *складними. Якщо жодна частина даного висловлювання не може розглядатися як самостійне висловлювання, то воно називається простим, або елементарним. Складне висловлювання, таким чином, включає в себе прості.

У логіці висловлювань не розглядають і не враховують внутрішню структуру елементарних висловлювань - розчленування на суб'єкт та предикат. Тому прості висловлювання називають ще атомарними, або атомами (від грецького — неподільний), a складні - молекулярними, або молекулами (від латинського moles - шматок; частинка речовини, що складається з атомів) (аналогія з хімією тут суто зовнішня).

Логіка висловлювань відволікається також і від змісту висловлювання або його смислу, розглядаючи будь-яке висловлювання (атом чи молекулу) як істинне (1), або хибне (0).

Атомарні висловлювання позначають літерами - А, В, С, N або однією літерою з індексом - А,, А2, Аn. Ці літери називають пропозиційними (від латинського propositio - речення, висловлювання) змінними, оскільки їм відповідають різні за змістом елементарні висловлювання.

2. Логічні сполучники та логічні операції

Основними питаннями дослідження логіки висловлювань є:

1) як з атомарних висловлювань утворюються молекулярні;

2) як залежить значення істинності молекули від значень істинності атомів, які її складають.

Складні висловлювання утворюються з елементарних за допомогою логічних сполучників (пропозиційних зв'язок), яким відповідають логічні операції, що позначаються відповідними символами логічних операцій або логічними операторами. Цей зв'язок можна зобразити в таблиці:

Утворення нових висловлювань із вихідних за допомогою логічних сполучників називають логічними операціями. Кожна логічна операція визначається так, що значення істинності молекулярного висловлювання залежить лише від значень істинності складаючих його атомів, а не від їх змісту чи смислової характеристики отриманого висловлювання.

Логічну операцію та її результат позначають одним і тим же словом. Наприклад, кон'юнкція, диз'юнкція тощо. Визначення операцій дають у вигляді таблиць (матриць) істинності, в яких подаються значення істинності молекули при всіх можливих комбінаціях значень істинності складаючих її атомів.

Якщо в молекулу входять п утворюючих її атомів, то для них можливі 2" різних комбінацій значень істинності атомів і таблиця істинності молекули буде складатися із 2" рядків.

Для того, наприклад, щоб правильно побудувати таблицю істинності для молекули з трьох (А,В,С) атомів, необхідно дотримуватися такого алгоритму:

1) обрахувати кількість рядків у таблиці: 23 = 8;

2) у першому лівому стовпчику значення істинності розподіляється так: 8: 2 = 4, тобто перші чотири - "істина (1)", а чотири наступні - "хиба (0)";

3) другий стовпчик - 4: 2 = 2 і т. д.

А

B

C

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

Побудована нами матриця відповідає двом необхідним умовам: 1) вона включає всі можливі комбінації значень істинності атомів, тобто є вичерпною; 2) жодна з цих комбінацій не повторює іншу.

Враховуючи ці вимоги, дамо визначення логічним операціям.

1) Кон'юнкція.

Кон'юнкцією висловлювань А та В називають висловлювання А/В (читається "А і В"), яке є істинним тоді і тільки тоді, коли істинними є всі атоми. Цьому визначенню відповідає таблиця:

Наприклад, "Я склав залік з логіки (А) та історії України (В)". Якщо обидва ці висловлювання є істинними, то й молекулярне висловлювання - істинне (1-ий рядок матриці). В усіх інших випадках - коли істинне лише одне висловлювання, або обидва є хибними - висловлювання в цілому є хибним (2, 3,4 рядки).

Формулі АЛВ відповідають також вислови: "А разом з В", "як А, так і В", "і А, і В", "А в той же час, як і В" тощо.

2) Диз'юнкція.

Диз'юнкцією висловлювань А та В називають висловлювання АмВ (читають "А або В"), яке є істинним тоді і тільки тоді, коли принаймні один з атомів є істинним. Визначенню відповідає таблиця:

Наприклад, "Буду читати підручник (А) або складати з нього конспект (В)". Ці дії можуть виключати одна одну і висловлювання буде істинним (2,3 рядок). Але ці дії можуть відбуватися й одночасно, тоді висловлювання буде теж істинним (1 рядок). Але, якщо жодне з тверджень не відповідає дійсності (є хибним, 4 рядок), то і висловлювання в цілому буде хибним.

У наведеному прикладі сполучник "або" використовується в з'єднувально-роз'єднувальному смислі, тобто "А або В, або обидва”. Цьому смислу відповідають також: "А і/або В", "і А, і В чи А або В", "А, якщо не В" тощо.

В українській мові (як і в багатьох інших) сполучник "або" може використовуватись і в суто роз'єднувальному сенсі, тобто "або або ...". Цей смисл відповідає логічній операції сильної (строгої) диз'юнкції.

3) Сильна диз'юнкція.

Сильною диз'юнкцією висловлювань А та В називають висловлювання А^В (читають и або А, або В"), яке є істинним тоді і тільки тоді, коли тільки один з атомів є істинним. Цьому визначенню відповідає таблиця:

Наприклад, "Піду в кіно (А) або в бібліотеку (В)". Зрозуміло, що ці твердження не можуть бути одночасно істинними (1 рядок), бо людина не може бути одночасно в двох різних місцях. Висловлювання в цілому буде хибним і тоді, коли ці твердження є одночасно хибними (4 рядок). Молекула буде істинною тільки тоді, коли лише один атом є істинним.

Формулі AwB відповідають вислови: "А або В, але не обоє", "чи А, чи В", "А, крім випадку, коли В" тощо.

Оскільки твердження А та В є взаємовиключними, то їх називають альтернативами (від латинського alterno - чергую, змінюю).

4) Імплікація.

Імплікацією висловлювань А та В називають висловлювання А—)В (читають "якщо А, то В "), яке є хибним тоді і тільки тоді, коли А істинне, а В хибне. Визначенню відповідає таблиця:

Імплікація відображає різні відношення між простими судженнями. Зокрема, відношення підпорядкування (А, Е -1, О), коли, наприклад, з істинного загального судження випливає істинне часткове і це відношення в цілому є істинним (1 рядок). "Якщо всі юристи знають логіку, то і деякі юристи знають логіку". Але, якщо загальне судження є істинним, то часткове не може бути хибним (2 рядок). Таке висловлювання в цілому буде хибним.

В імплікації А-"В ліва частина А називається антецедентом (від латинського antecedens - попередній), а права - консеквентом (від латинського consequens - наступний). Формулі імплікації відповідають вислови: "А тоді, коли В", "оскільки А, то В", "у випадку А і В", "А імплікує В" тощо.

Слід розрізняти матеріальну імплікацію та умовне висловлювання.

В умовному висловлюванні ліва частина зумовлює праву, тобто вони знаходяться в певній смисловій та змістовій залежності. Наприклад, "Якщо воду охолодити до 0 °С, то вона перетвориться на лід". У матеріальній імплікації ліва та права частини можуть не знаходитись у залежності, а лише пов'язані сполучником "якщо то..." Наприклад, "Якщо вчора була гарна погода, то сьогодні зранку йде дощ".

5) Подвійна імплікація.

Подвійною імплікацією (еквіваленцією) висловлювань А та В називають висловлювання А"-"В (читають "якщо і тільки якщо А, то В"), яке є істинним тоді і тільки тоді, коли значення істинності атомів збігаються. Визначенню відповідає таблиця:

Подвійна імплікація є таким відношенням між атомарними висловлюваннями, коли з А випливає В, а з В випливає А. Тобто, при правильно визначеному відношенні між А а В ці судження будуть рівнозначними. Це відоме вже нам виділяюче судження. Наприклад, "Якщо і тільки якщо геометрична фігура є квадратом, то вона є рівнобічним прямокутником". Якщо поміняти ліву та праву частини висловлювання, то його смисл не зміниться.

Оскільки логіка висловлювань відволікається від предметного змісту атомів, то важливим для нас є значення істинності подвійної імплікації. 1) Якщо вона є істинною, то це означає, що обидва атоми є одночасно або істинними, або хибними. 2) Якщо вона є хибною, то це означає, що значення істинності атомів є протилежним.

6) Заперечення.

Запереченням висловлювання А називають висловлювання ~А (читають "неправильно, що А" або просто "не А"), яке є істинним, коли А - хибне, і навпаки. Цьому визначенню відповідає таблиця:

З таблиці видно, що два суперечливих твердження завжди мають протилежні значення істинності.

Використовуючи пропозиційні змінні та символи логічних операцій, будь-яке висловлювання можна *формалізувати, тобто замінити формулою логіки висловлювань, яка буде відображати його структуру.

Наприклад, "Неправильно, що коли зберуться Петро та Микола, то вони будуть грати в шахи".

У структурі цього висловлювання с три атоми:

А - буде Петро;

В - буде Микола;

С - вони будуть грати в шахи, та такі логічні операції: заперечення (~); коли (якщо)..., то ... (—>);... та(і)...(л).

Отже, структура цього висловлювання:

-(А Л В) -> С.

Читаємо: "Неправильно, що, якщо А і В, то С". Зрозуміло, що ця формула відображає множину висловлювань такого типу, бо А, В. С можуть символізувати різні за змістом твердження.

3. Відношення еквівалентності між складними висловлюваннями
4. Особливості імплікації
5. Відношення логічного слідування
МОДУЛЬ 3. УМОВИВІД
Розділ 7. Безпосередній дедуктивний умовивід
Короткий зміст розділу
1. Поняття умовиводу та його структура
2. Види умовиводів
3. Правильний та неправильний умовивід
4. Обернення судження