Математична статистика - Руденко В.М. -
3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Основним завданням математичної статистики є опис і пояснення імовірнісної поведінки об'єктів досліджень. Математична статистика вирішує це завдання вивченням генеральної сукупності за допомогою вибіркової сукупності - вибірки. Досліджуючи ту чи іншу вибірку, мають на увазі її випадкову (імовірнісну) природу, тобто вибірку розглядають як сукупність випадкових значень, що характеризує певні властивості генеральної сукупності. Для отримання випадкових значень організують випробування (іспити, спостереження тощо) при певних (відомих) умовах. Отже, оцінюючи генеральну сукупність за допомогою вибірки за її імовірнісними властивостями, ми постійно маємо справу із сукупністю набутих значень випадкових подій, отриманих у результаті випробовувань.

Враховуючи те, що властивості випадкових подій вивчає теорія ймовірностей, яка вважається теоретичною базою статистичних досліджень, розглянемо основні поняття і закономірності цієї галузі математичних знань.

Нагадаємо, що сукупність отриманих у випробуваннях емпіричних значень випадкової величини також називають вибіркою, яка підлягає статистичній обробці. Слово "емпірична" означає те, що статистичні обчислення проводяться за даними випробувань (дослідів або спостережень). З цієї ж причини для поняття "сукупність вибіркових значень" використовують термін "вибіркова функція" розподілу. Наприклад, у результаті повторних вимірювань деякої величини отримано п значень: х/, х2, ... хп. Ці значення природно вважати реалізацією набору з п незалежних однаково розподілених випадкових величин з невідомою функцією розподілу Р(х), властивості якої необхідно визначити, знайти.

Щоб оцінки були вірогідними, вибірка має бути представницькою (репрезентативною). її імовірнісні властивості повинні збігатися або бути близькими до властивостей генеральної сукупності. Це можна досягти, якщо гарантувати всім об'єктам генеральної сукупності однакову ймовірність потрапити у вибірку.

3.1. ВИПРОБУВАННЯ ТА ПОДІЇ

Основні поняття і означення

З точки зору теорії ймовірностей дослідження властивостей генеральної сукупності шляхом вивчення властивостей вибірки виконують за допомогою моделювання ситуації випадкових подій, отриманих у результаті випробувань.

Випробування - це здійснення певних дій або умов, які можна відновити довільне число разів (наприклад, виконання студентами або учнями тесту).

Елементарна подія (ю) - можливий результат випробування (наприклад, результат виконання одного завдання: "виконано" - "не виконано", "1" -"0"). Поняття елементарної події належить до основних понять теорії ймовірностей і не визначається через інші простіші поняття.

Сформулюємо спочатку основні поняття алгебри подій, пов'язаних з випробовуваннями, на описовому рівні.

Сукупність усіх можливих елементарних подій {а>1, а>2, соп} утворює простір елементарних подій єО.). Запис у дужках читається: "Елементи ю належать до простору О". У подальшому вважатиме, що простір елементарних подій О є величина скінчена.

Випадковою подією А називається всякий результат випробування, що може відбутися або не відбутися. Випадковою може бути як елементарна подія ю (наприклад, результат виконання студентом одного завдання), так і сукупність { ю1, а>2, сот} із простору подій {а>ь а>2, соп} (наприклад, виконання декількох т завдань із п запропонованих, де т < п). Для випадкової події А можна записати А(ю є А), тобто елементи ю належать до події А. У свою чергу подія А(А єО.) належить до простору подій О.

Достовірною є подія V, яка у випробуванні неодмінно повинна відбутися.

Неможливою називається подія V, яка у випробуванні не може відбутися.

Подія А називається протилежною події А, якщо вона полягає в непояві події А.

Добутком А ■ В подій А і В називається подія С, що полягає в спільній появі і події А, і події В, тобто С = А ■ В.

Сумою а + В подій а і В називається подія с, що полягає в появі хоча б однієї з подій а або В, тобто С = а + В.

Події називаються незалежними, якщо настання однієї ніяким чином не впливає на появу іншої, інакше вони є залежними.

Події є несумісними, якщо в результаті випробовувань вони не можуть відбутися одночасно інакше вони вважаються сумісними. Ніякі дві несумісні події не можуть відбутися разом.

Повною групою подій називається така сукупність попарно несумісних подій, для якої їхня сума є достовірною подією О. Інакше кажучи, у результаті випробовувань для повної групи декількох подій неодмінно повинна відбутися хоча б одна з них.

Отже, першим кроком при побудові імовірнісної моделі реального явища є виокремлення у випробуваннях можливих як елементарних, так і складних випадкових подій, визначення їхніх властивостей (залежні - незалежні, сумісні - несумісні і т.п.), а також можливих результатів операцій над подіями (суми, добутку, доповнення та ін.). Проте, представлений вище понятійний апарат алгебри подій на описовому рівні не здатний до кількісної оцінки цих подій, а, значить, не дає коректної можливості у побудові імовірнісних моделей об'єктів реальності.

Прийнятий у сучасній математичній науці аксіоматичний підхід до теорії ймовірностей, розробником якого був Андрій Миколайович Колмогоров (1903-1987), базується на теорії множин. І хоча основи теорії ймовірностей було сформовано раніше (ХУН-ХУШ ст.), ніж створено теорію множин (в основному в XX ст.), остання дає можливість розглядати теорію ймовірностей і математичну статистику як невід'ємну частину математики, проводити докази, доводити теореми, формулювати означення на рівні математичної строгості. Проілюструємо основні операції над подіями за допомогою математичного апарату теорії множин.

3.1. ВИПРОБУВАННЯ ТА ПОДІЇ
Основні поняття і означення
Операції над подіями
Ймовірність подій
Умовна ймовірність
Формула повної ймовірності
Формула Байєса
Елементи комбінаторики
3.2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
Розподіли випадкових величин