Математична статистика - Руденко В.М. - Методи статистичного оцінювання параметрів

Точкове оцінювання застосовують для приблизної оцінки параметрів генеральної сукупності за статистиками вибірки. Спостережені вибіркові показники є статистичними оцінками параметрів генеральної сукупності з певною точністю (або з певними статистичними похибками). До того ж статистичні оцінки є випадковими величинами, яким притаманний неконтро-льований розкид навіть, якщо вибірки взято з тієї ж самої генеральної сукупності.

При оцінюванні бажано, щоб втрата інформації, яка може бути суттєвою для прийняття статистичних рішень, була мінімальною. Отже, для того, щоб оцінки були надійними, вони мають відповідати деяким вимогам, тобто володіти певними властивостями.

Основними властивостями статистичних оцінок є спроможність, незмі-щенність, ефективність:

o Спроможність. Статистична оцінка ®_n спроможна тоді, коли при постійному збільшенні обсягу вибірки (n -"со) вона наближається до значення параметра ©, який оцінює. Статистика ©" є спроможною оцінкою параметpa 0 , коли для будь-якого додатного числа є є справедливим співвідношення

limP{©_n -0>є = 0. (4.2)

Наприклад, вибіркове середнє X є спроможною оцінкою генерального середнього fi, оскільки при збільшені числа випробувань X наближається до свого математичного сподівання (див. вираз (3.45)). Спроможною оцінкою вважається і вибіркова дисперсія.

Вимога спроможності означає, що оцінка має нести практичний сенс, наближати нас до істини і не бути абсурдною. З другого боку, у більшості ситуацій можна запропонувати декілька спроможних оцінок для одного й того ж самого параметра. Отже, властивість спроможності необхідна, але недостатня вимога. її необхідно доповнити іншими вимогами.

o Незміщенність. Статистика вважається незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює параметру, що оцінюється. Вибіркове середнє X є незміщеною оцінкою генерального середнього fi, оскільки м[ X ] =ц, чого не можна сказати, наприклад, про вибіркові показники дисперсії. Для математичного сподівання можна записати

1 Г 2 1 2 (_л 1 1 2 2

- пег - п- =<7 11--1 =-сг = ег--.

п п п) п п

Отже, математичне сподівання вибіркової дисперсії дорівнює

,^_г2п п -1 _{2 2} а²

Щз ] =-о =о--. (4.4)

пп

Як видно, оцінка з² параметру а² є зміщеною. Від'ємне зміщення дорівнює а²/п, залежить від обсягу вибірки п і в ситуації спроможності досягає нуля, якщо п-> є". Вимога незміщенності особливо чутлива для малої кількості спостережень. Ця вада оцінки з² усувається переходом до незміщенної оцінки

*² =-- ^{3 2}. (4.5)

п -1

o Ефективність. Точкова оцінка називається ефективною, якщо вона має найменшу міру дисперсії вибіркового розподілу у порівнянні з аналогічними оцінками, тобто виявляє найменшу випадкову варіативність. Наприклад, серед трьох показників положення центру нормального розподілу (середнього Х, медіани ма і моди Мо) найбільш ефективною оцінкою вважається Х і найменш ефективною - Мо, оскільки для їхніх дисперсій характер-

2 2 2

ним є співвідношення ³х < ³_ма < $_мо [43, С. 100].

Для статистичного оцінювання параметрів генеральної сукупності бажано використовувати оцінки, які задовольняють одночасно вимоги спроможності, незміщенності й ефективності. Крім того, важливо знати, за якими методами відбувається вибір і побудова тієї чи іншої моделі статистичного оцінювання.

Методи статистичного оцінювання параметрів

Методи статистичного оцінювання розкривають математичні процедури, за допомогою яких будуються різні моделі "найкращого" оцінювання параметрів за результатами тих чи інших статистик. У прикладній статистиці розроблено багато видів оцінок¹⁹, серед яких найчастіше використовуються ме-

¹⁹ Див., наприклад, Кобзар А.И. Прикладная математическая статистика. - М., 2006

[37].

тоди моментів, максимальної правдоподібності, найменших квадратів, які стали вже "класичними", а також методи "цензурування", "урізування", використання порядкових статистик та ін.