Інвестиційний аналіз - Боярко І.М. - 12.4. Моделі портфеля фінансових інвестицій

Базові положення сучасної портфельної теорії (Modern Portfolio Theory) походять з розробок доктора Гаррі Марковіца (Harry Markowitz), який у 1952 році, опублікував в журналі "Journal of Finance" свою фундаментальну роботу "Portfolio selection".

Марковіц запропонував математичний апарат для пошуку ефективного портфеля, здатного забезпечувати найменший рівень ризику для зазначеного рівня дохідності, або максимізувати очікувану дохідність за прийнятного рівня ризику. Проте модель Марковіца не уможливлює вибір оптимального портфеля, а пропонує набір ефективних портфелів.

Модель Марковіца передбачає пошук таких пропорцій розподілу інвестицій між наявними інвестиційними активами, щоб при прийнятному для інвестора рівні очікуваної дохідності ризик портфеля (його вимірником в моделі обрано стандартне відхилення доходності) був мінімальним.

Вибір ефективних портфелів здійснюється на основі аналізу так званих кривих байдужості, які відображають відношення інвестора до очікуваної доходності та ризику у вигляді графіка, де на осі абсцис відкладається міра ризику - середньоквадратичне відхилення доходності (ст rt), а на осі ординат - очікувана доходність портфеля - E

1 і* port

Усякий інвестор має теоретично нескінченну кількість кривих байдужості, кожна з яких включає всі комбінації ефективних портфелів, які є рівноцінними для інвестора. Відповідно, як наслідок, криві байдужості не можуть перетинатися.

Графік кривих байдужості гіпотетичного інвестора подано на рисунку 12.4.

Як видно рисунку 12.4, портфель С має вищу цінність для інвестора порівняно з іншими портфелями (А, B, D), оскільки він знаходиться на кривій байдужості вищого порядку. Проект В є більш ризикованим порівняно з портфелем D, оскільки при однаковій цінності для інвестора він має вище стандартне відхилення доходності, проте й вищу очікувану прибутковість.

У портфельній теорії Марковіца робиться два припущення:

- про прагнення інвестора максимізувати свій дохід;

- про необхідність мінімізації ризику.

Відповідно, приймаючи рішення щодо формування інвестиційного портфеля інвестор вважатиме будь-який портфель, що лежить на кривій байдужості, розташованій вище і лівіше, привабливішим, ніж будь-який портфель, що лежить на кривій байдужості, розташованій нижче і правіше. Інвестор, який робить вибір між двома ідентичними у всьому портфелями, вибирає портфель з більшою очікуваною прибутковістю.

Для практичного використання моделі Марковіца необхідно для кожного фінансового активу визначити очікувану дохідність, її стандартне відхилення і коваріацію між фінансовими активами.

Очікувана доходність портфеля інвестицій ( Eport) обчислюється за формулою:

EVr" ^ Х E , (12.3)

де d. - питома вага капіталу, вкладеного в інвестиції і-ого виду, в загальному обсязі інвестицій на формування портфеля, одн.;

E. - очікувана доходність г-го виду інвестицій у складі портфеля, %.

Коваріація між парою інвестиційних активів у складі портфеля вимірює вплив їх взаємодії на дисперсію доходності портфеля. Вона

дорівнює добутку парного коефіцієнта кореляції ру і стандартних відхилень доходності кожного інвестиційного активу ( ст., ст.):

Cov- = р хсг хсг . (12.4)

Коефіцієнт кореляції визначає наявність і вимірює силу взаємозв'язку між доходністю двох інвестиційних активів. Він приймає значення від -1 до +1. Отже, коефіцієнт кореляції визначає знак коваріації, оскільки стандартні відхилення завжди більші за 0 або дорівнюють йому.

Додатна коваріація вказує на те, що доходності обох інвестиційних активів мають однаковий напрям відхилення від очікуваної величини. Тобто, коли за одним з активів спостерігається перевищення доходністю середньої очікуваної величини, то і за другим активом буде перевищення, і навпаки. Відповідно, позитивна коваріація сприяє зростанню ризику інвестиційного портфеля.

Від'ємна коваріація передбачає, що доходності інвестиційних активів мають різний напрям відхилення від середньої очікуваної величини: перевищення за одним супроводжується зниженням доходності нижче очікуваної за іншим. Це дозволяє знижувати ризик портфеля за рахунок компенсації втрат доходності за одним активом збільшенням прибутковості іншого. Цей спосіб зниження портфельного ризику називається диверсифікація активів.

Для правильно проведення диверсифікації портфеля необхідно пам'ятати, що:

- коли інвестори додають у портфель інвестиційні активи з аналогічними вже наявним в портфелі активам щодо відхилень і тенденціям зміни дохідності, його ризик не зменшується;

- для мінімізації ризику необхідно залучити інвестиційні активи з іншою амплітудою коливань дохідності, тобто парні коефіцієнти кореляції та коваріації цих активів мають бути від'ємними.

За цих умов теоретично можливо сформувати майже безризико-вий портфель з ризикованих інвестиційних активів, але на практиці відшукати інвестиційні активи з від'ємною кореляцією дуже важко (майже неможливо).

Нульова коваріація, яка відповідає відсутності ризику інвестування в активи, може з'явитися в двох випадках:

- якщо коефіцієнт кореляції дорівнює 0, що означає незалежність грошових потоків пари інвестиційних активів;

- якщо середньоквадратичне відхилення хоча б одного з інвестиційних активів дорівнює нулю, тобто актив є безризиковим.

Стандартне відхилення портфеля інвестицій (ст ) характеризує сукупний ризик портфеля і обчислюється за формулою:

\_п n-1 n

°Vr" =Jl df°f + d4fovy, (12.5)

Y i=1 i=1 j=i+1

де i та j - номери інвестиційних активів, що входять у портфель.

Прикладне застосування цієї моделі обмежене з огляду на складність інформативного забезпечення розрахунків очікуваної дохідності, стандартного відхилення й коваріації інвестиційних активів, а також складністю прийняття інвестиційного рішення при виборі з набору ефективних портфелів з однаковою корисністю для інвестора.

Більш розповсюдженим в практиці є використання моделі, запропонованої В. Шарпом (W. Sharpe), так званої моделі оцінювання капітальних активів (Capital Asset Pricing Model, CAPM).

Базовими припущеннями цієї моделі є такі положення:

- інвестори оцінюють ефективність інвестиційних рішень за двома параметрами - очікуваною середньою дохідністю та рівнем ризику, який вимірюється за допомогою b-коефіцієнту;

- існує безризикова ставка доходу для інвестицій;

- можливості для безризикованого інвестування необмежені, оскільки існує можливість придбання та продажу активів у будь-якому обсязі;

- відсутні податки й операційні витрати;

- існують необмежені можливості коротких продажів (запозичені активи із зобов'язанням повернення);

- усі інвестори не схильні до ризику, й інвестують у ризикованіші активи лише за умови збільшення доходів (отримання премії за ризик);

- усі інвестори однаковою мірою поінформовані стосовно очікуваної дохідності й ризику інвестицій і характеризуються однаковими очікуваннями щодо майбутнього;

- фінансові ринки конкурентні, а горизонт прийняття рішень однаковий для всіх інвесторів.

Очікувана доходність інвестиційного портфеля в моделі CAPM також є зваженою середньою показників очікуваної доходності окремих інвестиційних активів в його складі (див. формулу 12.3).

При цьому для визначення очікуваної доходності інвестиційних активів використовується однофакторна модель У. Ф. Шарпа, базова формула якої є такою:

RIt =ч +PlRmt + eu, (12.6)

де Rtt - норма доходності інвестиційного актива і у період t;

Rmt - норма доходності ринку активів у період t; ос., Я. - параметри актива j;

e.{ - випадкова помилка, що вимірює різницю між реальною до-ходністю активу і в період t та теоретичним значенням, що передбачається рівнянням регресії (її очікуване значення повинно дорівнювати нулю).

Очікувана доходність інвестиційного активу і дорівнює:

E(R )_аг + Я х E(Rm). (12.7)

де E(Rm) - очікувана доходність середнього ринкового портфеля.

Параметри регресійного рівняння (12.7) ос., Я., що характеризують постійну надлишкову доходність та ризиковість інвестиційного активу відповідно, знаходяться за допомогою методу найменших квадратів за формулами:

Я_ П§R~Rit-(ІRm)(ІRit) _ Cov(R,Rm) (128)

nfn (J

ПІ Ri -IX Rmt) m

t-1 V t_i ) О _E(R)-Яi хE(Rm). (12.9)

де t - порядковий номер період часу із наявного статистичного ряду даних, що використовується в регресійному аналізі, t _ 1, n.

Коефіцієнт Я. показує, на скільки процентів зросте (знизиться) очікувана норма доходності інвестиційного активу, якщо очікувана норма доходності ринку зросте (знизиться) на 1%.

Значення ос. може бути більшим і меншим за нуль. Чим вище а, тим вищою є інвестиційна привабливість активу. Якщо а > 0, актив недооцінено, якщо а < 0, актив переоцінено.

При виборі об'єкту інвестування необхідно надавати перевагу інвестиційним активам з високим значенням коефіцієнту о та низьким коефіцієнтом Я.

Для визначення дисперсії (ризику) доходності інвестиційного активу a2(Rit) в однофакторній моделі Шарпа використовується така формула aRu ) = cr>i + Д xR +eu )==ІЇ°1 (12.10)

де ст2т - дисперсія ринкової норми доходності інвестиційного активу і;

а2. - дисперсія випадкової величини ev

Як видно з формули 12.10, сукупний ризик інвестиційного активу поділяється на дві складові:

- систематичний ризик, пов'язаний з впливом на інвестиційний актив ринкової норми доходності, який не може бути диверси-кований;

- несистематичний (специфічний) ризик, пов'язаний дією поза-ринкових факторів та може бути диверсикований шляхом вибору інших активів, які слабо або від'ємно корелюються з інвестиційним активом і. Він може бути оцінений за допомогою такої формули:

X (R - E (Rit ))2

а = V~-2-, (12.11)

V n - 2

де E(Rj) - сподівана норма прибутковості проекту j в році t.

Всі ці параметри оцінки інвестиційного активу наочно відображаються в лінії ринку фінансового активу (Security Market Line, SML), яка описується таким рівнянням:

R = Rf + Pi X (Rm - R/), (12.12)

де R. - очікувана доходність інвестиційного активу, %; R/ - доходність безризикових інвестиційних активів, %; Rm - середня ринкова доходність, %; Pi - бета-коефіцієнт як міра систематичного ризику, одн.

Показник (Rm - R/) має відображає ринкову (середню) премію за ризик. Аналогічно показник (Ri - R/) - це премія за ризик у разі вкладання капіталу в певний інвестиційний актив. Як видно з формули (12.12), модель САРМ передбачає, що премія за ризик певного інвестиційного активу прямо пропорційна ринковій премії за ризик.

Крім того, з формул (12.8) та (12.12) слідує, що головним фактором, який визначає доходність інвестиційного активу є коваріація

його доходності з середьоринковою доходністю. Тобто БМЬ графічно інтерпретує залежність очікуваної дохідності інвестиційного активу від коефіцієнта коваріації (рис. 12.5).

Рисунку 12.5. Лінія ринку фінансового активу

P-коефіцієнт портфеля (Pport) визначається як середня зважена з P-коефіцієнтів його складових:

Pport = |d x/p . (12.13)

i=1

де і - порядковий номер інвестиційного активу у складі портфеля,

i=Uv.

В свою чергу, ризик портфеля ( aport) визначається як:

ароЛ =^//L ха2я + |(<2 хст2) . (12.14)

Отже, ризик портфеля також може бути розділений на два види - систематичний і несистематичний.

Оптимальний портфель окремого інвестора лежить у точці дотику його карти байдужості й ефективної множини портфелів, загальної для всіх інвесторів, так званої лінії ринку капіталу (Capital Market Line, CML) (рис. 12.6). При цьому, оскільки карти байдужості

в кожного інвестора різні, то й оптимальні портфелі в них також можуть бути різні.

Рис. 12.6. Лінія ринку капіталу та ефективна множина Рівняння лінії ринку капіталу є наступним: E (Rpott ) = Rf + (E (Rm)-Rf ) = Rf + (E (Rm)-Rf ) xpPpott, (12.15)

де Rf - безризикова ставка прибутковості.

Найскладнішим питанням стосовно практичного використання моделі САРМ є визначення показників, а саме безризикової ставки доходу, ринкової дохідності, очікуваної дохідності активів, р-коефіцієнтів як міри системного ризику.

Як безризикову ставку під час практичних досліджень обирають, як правило, дохідність за короткотерміновими (від трьох місяців до року) державним зобов'язанням, облікову ставку (або ставку рефінансування) центрального банку, або розраховану визначеним способом середньозважену ставку за кредитами на міжбанківському ринку (наприклад, ставку LIBOR - London Interbank Offered Rate).

Для розрахунку ринкової дохідності використовують фондові індекси, які вимірюють середньозважений рівень цін за певною групою активів. Суттєва проблема, пов'язана з практичним використанням індексів, полягає в тому, наскільки індекс адекватний ситуації на ринку, оскільки індекси:

- не враховують доходність від реінвестування та проміжних витрат;

- не повною мірою репрезентує ринковий портфель;

- не враховують закордонних інвестицій.

Водночас іншого підходу для визначення ринкової дохідності, крім використання фондових індексів, поки не знайдено, тому дослідники переймаються переважно лише міркуваннями методів стосовно розрахунку їх.

Загалом середньоринкову дохідність ринкового портфеля Rm можна обчислити за формулою:

R = Rk + RD + R, (12.16)

де Rm - доходність ринкового портфеля за індексом; Rk - доходність від приросту капіталу (ринкових цін); RD - доходність від виплати дивідендів і відсотків; Rp - доходність від реінвестування коштів.

При визначенні Я-коефіцієнтів на практиці, як правило, використовують його скориговану величину Яa (adjusted beta), яка розраховується за формулою:

ßа = Y х Яh + (1 - Y), (12.17)

де Яh - статистична оцінка Я-коефіцієнта;

Y - рівень впевненості в правильності статистичної оцінки, який зазвичай знаходиться в межах від 0,5 до 1 (в більшості випадків дорівнює 0,66).

В портфельному аналізі інвестицій необхідно враховувати, що портфелі, що створюються з допомогою моделі САМР, можуть бути менш ефективними порівняно з портфелями, що створюються за допомогою оцінки коваріації, оскільки в цю модель закладено більше умовних припущень, які не дозволяють адекватно відобразити динаміку очікуваної прибутковості інвестиційних активів.

Більш адекватною порівняно з розглянутими моделями є арбітражна теорія оцінювання капітальних активів (Arbitrage Pricing Theory, АРТ), яка враховує вплив на дохідність фінансових активів не лише ринкового ризику, а й інших чинників. Вона була розроблена професором Йельського університету С. Россом у 1976 році як альтернативна по відношенню до моделі Шарпа.

Арбітраж - це отримання приросту доходності портфеля за рахунок різниці в цін купівлі-продажу інвестиційних активів, тобто він передбачає продаж певної кількості інвестиційного активу за високою ціною з одночасною купівлею цієї ж кількості активу за низькою ціною.

Вихідні положення АРТ передбачають, що:

- в рівноважному стані ринку ціни на інвестиційні активи не дозволяють проводити арбітражні операції;

- очікувана доходність та ризик інвестиційних активів визначається системою факторів.

Дохідність портфеля в даній моделі визначається як приріст вартості на одиницю вкладень і розраховується за формулою:

Я = Ук~У" х100%, (12.18)

де V - ринкова вартість інвестиційного портфеля на початок періоду, %;

Vk - ринкова вартість інвестиційного портфеля на кінець періоду, %.

Оскільки арбітражна теорія оцінювання капітальних активів виходить з того, що доходність інвестиційних активів залежить від дії певної сукупності факторів. то очікувана доходність інвестиційного активу Е (Яг) може бути описана такою формулою:

Е (Я ) = а1 +^(Ь]1 х Б;) + вг, (12.19)

де аг - мінімальна (гарантована) доходність інвестиційного активу, %; Ь;1 - чутливість фактору) до зміни фактора 1; Е. - значення показника-фактору;

вг - несистематична доходність інвестиційного активу, %

Крім того, очікувана доходність окремих інвестиційних активів в моделі АРТ може бути визначена за формулою:

п

Е(Я) = А, +Х(Ь; хЯ;), (12.20)

;=1

де Ъг] - чутливість очікуваної доходності інвестиційного активу і до зміни значення фактору у,

Л0 - доходність безризикових інвестицій;

Л - премія за ризик, зумовлений дією фактору), для інвестицій в актив і.

Очікувана доходність арбітражного портфеля буде розраховуватися як середньозважена з очікуваних доходностей інвестиційних активів з врахуванням структури портфеля:

У Я XV-

Яро* - у1 , (12.20)

де Яроп - середньозважена дохідність інвестиційного портфеля, %; Я - доходність і-го інвестиційного активу, %; Vi - вкладення в і-й інвестиційний актив, грош. одн.; V - загальна вартість портфеля, грош. одн.

При визначенні оптимального складу портфеля інвестор прагне максимізувати його середньозважену доходність.

Зауважимо, що при формуванні арбітражного портфеля необхідно додержуватися таких умов:

- не передбачає додаткове залучення інвестиційних ресурсів для фінансування портфеля;

- обсяг інвестиційних вкладень в певний вид інвестиційних активів, а, відповідно, й питома вага активу в інвестиційному портфелі є постійною, тобто:

УЛ< -УАЧ ^ (12.2і)

¿=1 ¿=1

де Лб/г - зміна питомої ваги інвестиційного активу і в портфелі, одн.; ЛЧ1 - зміна обсягів вкладення капіталу в актив і, грош. одн.

- портфель має бути не чутливим до зміни факторів формування доходності інвестиційних активів, тобто середня зважена чутливість для всіх інвестиційних активів в портфелі для кожного з факторів має дорівнювати нулю.

Приклад 12.4. Проведемо оптимізацію портфеля інвестицій, у складі якого вже наявні три види активів А, В, С, та існує можливість придбати на ринку інвестиційний актив Основні інвестиційні характеристики активів такі:

Розв'язок. На основі формули 12.20, визначимо граничний розмір премій за ризик для цих інвестиційних активів, який існує при даних значеннях очікуваної доходності:

'Л0 + 1,0 + 0,6хА, = 11,5

Отже, існує можливість збільшити доходність портфеля за рахунок скорочення частки активів А, В, С на їх питому вагу в арбітражному портфелі шляхом їх продажу та купівлі на вивільненні при цьому кошти активу D.

При цьому арбітражна премія за ризик у розрахунку на 1 грошову одиницю інвестиційних ресурсів буде становити:

11,0 - 8,78 = 3,22 грош. одн.

Згідно з арбітражною теорією оцінювання капітальних активів інвестор буде здійснювати арбітражні операції до тих пір, поки очікувана доходність арбітражного портфеля не стане дорівнювати нулю, що відповідає стану ринкової рівноваги.

Порівняно з моделлю САРМ модель АРТ має такі переваги:

- є багатофакторною, що дозволяє їй більш повно відображати умови, які впливають на доходність інвестицій;

- не передбачає істотних спрощуючих вихідних положень моделювання.

Разом з тим модель АРТ не позбавлена певних недоліків, а саме:

- не містить чіткого переліку факторів, які впливають на ризик та доходність інвестиційних активів;

- є трудомісткою в частині попередньої інформаційної підготовки процесу оптимізації портфеля.