Концепції сучасного природознавства - Карпов Я. С. - 2.9.5.5 Принцип найменшого примусу Гаусса

У 1829 р. у статті "Про нове загальне начало механіки" Гаусе висунув як найбільш загальне начало твердження: система зі зв'язками, без тертя, зазнаючи дії будь-яких сил, рухається таким чином, що примус з боку зв'язків і тиск на зв'язки має найменше значення; "рух відбувається з найменш можливим примусом, якщо за міру примусу, застосованого протягом нескінченно малої миті, прийняти суму добутків маси кожної точки на квадрат величини її відхилення від того положення, яке вона зайняла б, якби була вільна".

Розвитком ідеї Гаусса був принцип прямолінійного шляху, сформульований у 1892-1893 pp. Герцом. Цей принцип продовжує разом із тим лінію Якобі — геометризацію варіаційного принципу й динаміки в цілому. Він сформульований у зв'язку з відомою спробою Герца побудувати механіку без поняття сили. Принцип найменшого примусу Гаусса є загальним началом і може бути виражений одним з найпростіших аналітичних формулювань, в якому виведення рівнянь руху будь-якої системи зводиться до визначення мінімуму функції другого ступеня. Встановлення цього принципу пов'язане, як указує Гаусе, з його роботами, присвяченими способу найменших квадратів.

2.9.5.6 "Механіка без сили" Герца

У XVII ст. у працях Галілея і Ньютона було закладено принципові основи класичної механіки. У XVIII і XIX ст. Ейлер, Даламбер, Лагранж, Гамільтон, Якобі, Остроградський, спираючись на ці основи, побудували чудову споруду аналітичної механіки й розробили її могутні математичні методи. Здавалося, що механіка — цей "рай математичних наук", як назвав її Леонардо да Вінчі, — досягла високого ступеня досконалості і своєї завершеності. Але завершеність ця була лише видимою, тому що навіть в основних поняттях і законах механіки були помітними численні труднощі, які вдалося тільки тимчасово відсунути, але аж ніяк не подолати у ході могутнього прогресу аналітичної механіки.

Ще до корінного перегляду фізичного змісту основних принципів класичної механіки, пов'язаного із теорією відносності й квантовою теорією, з'явився ряд робіт, які намагалися по-новому осмислити старі принципи. Ці спроби були пов'язані насамперед із тим, що поряд з фізикою дискретних тіл виникла фізика континууму поля, яка потребувала критичного перегляду класичної механіки. Такою спробою була, зокрема, книга Генріха Герца (1857—1894) "Принципи механіки, викладені в новому зв'язку", що відіграла важливу роль не тільки в розвитку класичної механіки, але й в історичній підготовці теорії відносності Ейнштейна.

Граничним поняттям Ньютонової механіки була сила, що діє на дане тіло. Вона була граничним поняттям тому, що питання про її походження виходило за межі механіки. Поняття потенційного поля ще не означало переходу до інших граничних понять, але наближало такий перехід.

Механіку Герца часто називають "механікою без сили". Хоч Герц і ввів поняття сили, однак воно не є основним, вихідним поняттям його механіки. У цьому полягає насамперед основна відмінність механіки Герца від звичайного ЇЇ викладу. Складність поняття сили в класичній механіці, абсолютизація її багатьма крайніми послідовниками Ньютона й приваблива можливість пояснити силу рухом якихось (хоча б і прихованих) мас привели багатьох фізиків другої половини XIX ст. до спроби переглянути зміст і місце поняття сили в системі механіки.

Шлях до виключення поняття сили підказує вже сама механіка Галілея-Ньютона. Поруч із власне силами, що є причиною зміни стану руху, ця механіка ввела інший вид сил, що обмежують ступінь свободи руху останніх. Напрямок сил визначається чисто геометричними умовами, а їх величина залишається, чесно кажучи, невідомою.

Елементарна механіка у звичайному викладі плутає ці два види сил, розглядаючи сили умов як власне сили, величина яких спочатку невідома. Вона зводить, таким чином, сили обмеження руху до власне сил. Однак уже в аналітичній механіці розрізнення цих сил виступає дуже різко, набагато різкіше, ніж в елементарній механіці. У рівняннях аналітичної механіки сили умов руху мають зовсім інший вигляд, ніж власне сили, які визначені тільки геометричними умовами руху.

Герц поставив перед собою задачу, зворотну тій, котру так чи інакше вирішує елементарна механіка: чи не можна всі власне сили звести до сил обмеження руху? Можливо, що взагалі всі зміни швидкості, які спостерігаються, котрі начебто є непотрібними з погляду геометричних зв'язків, зумовлені насправді не силами, а саме якимись, можливо, ще не дослідженими, геометричними зв'язками1. Сама сила є лише спосіб опису цих зв'язків, що застосовується при відомих допущеннях, але аж ніяк що не є чимось необхідним для однозначного й зрозумілого наукового пізнання світу. Поняття про силу як про причину уповільнення або прискорення в механіці Герца зникає назавжди. Сила, з погляду Герца, є тільки мірою перенесення або взаємоперетворення руху між "напряму пов'язаними" системами. Загадкова потенційна енергія консервативних систем звичайної механіки виявляється звичайною кінетичною енергією прихованих матеріальних систем. В основі дій, що спостерігаються між віддаленими тілами (наприклад, планетами) лежить матеріальний процес, що протікає в прихованих матеріальних системах, що пов'язують звичайні системи або системи, "що спостерігаються".

Механіка Герца являє собою найвищою мірою зрозумілу, математично обгрунтог вану картину механіки. Єдиним недоліком цієї картини є (згідно з А. Т. Григор'яном) її ілюзорність. Герц довів лише, що приховані або адіабатично-циклічні системи, які доповнюють звичайну систему до вільної, мають усі властивості звичайних консервативних систем. Але звідси ще не випливає, що реальні консервативні системи є такими, якими їх зображує механіка Герца.

Носієм прихованих циклічних систем, на думку Герца, є світовий ефір, але так як прихованим системам Герц приписує загальноприйняті властивості механічних рухів, то ефір у механіці Герца має характер суто механічної системи; частинкам ефіру приписуються властивості звичайної інертної матерії, звичайні механічні рухи й кінетична енергія, рухи частинок ефіру підпорядковуються законам класичної механіки й т.д. Механічна теорія ефіру, на якій базується система Герца, виявилася неспроможною. Головний недолік механіки Герца не в її конкретних механічних конструкціях, а в універсалізації развинутої ним інтерпретації сил.

Однак у деяких важливих ідеях теорії відносності й механіки Герца є багато спільного. У теорії відносності рух планет навколо Сонця пояснюється без залучення діючих сил за допомогою уявлення про інерцію як про фундаментальну властивість тіл. Планети рухаються аналогічно тілам у механіці Герца по найкоротших лініях у рімановому просторі. У цьому розумінні відмінність теорії відносності від механіки Герца полягає в тому, що в першій матеріальні тіла, що рухаються, визначають метрику простору — часу, його геометрію, у той час як у Герца такий рух визначають кінематичні умови, які створюються завдяки прихованим масам системи. Незважаючи на значну історичну обмеженість, пов'язану з механічною картиною світу, механіка Герца відіграла значну роль у розвитку однієї з основних проблем фізики — проблеми просторово-часової форми руху матерії.