Інформаційні технології та моделювання бізнес-процесів - Томашевський О.М. - 9. Додаткові економічні задачі динамічного програмування

9.1. Задача про заміну обладнання

Під обладнанням будемо розуміти верстати, агрегати, машини тощо. В процесі експлуатації обладнання відбувається фізичне та моральне його зношування, тобто старіння. Внаслідок старіння обладнання знижується його продуктивність, збільшуються витрати на ремонт та обслуговування, знижується його вартість. Тому настає час, коли вигідніше замінити старе обладнання на нове. У зв'язку з цим виникає задача визначення оптимального терміну заміни старого обладнання новим, який може визначатись, наприклад, максимальним прибутком від експлуатації обладнання.

Введемо позначення:

r (t) - вартість продукції, яка виробляється за один рік на обладнанні віком ґ років;

u (t) - річні витрати на обслуговування обладнання віком ґ років;

s (t) - залишкова вартість обладнання віком t років;

р - вартість нового обладнання.

Покажемо, як визначити оптимальні терміни заміни обладнання в період часу тривалістю п років. При цьому процес розв'язування задачі розіб'ємо на n кроків. За критерій оптимальності на і -му кроці (і = 1,2,. ",n) приймемо умовний прибуток, який одержується від експлуатації обладнання (старого або заміненого новим на певному кроці) за роки від і -го до n -го. Зауважимо, що під умовним прибутком на окремому і -му кроці розуміємо різницю між вартістю виробленої продукції та експлуатаційними витратами за і -тий рік. Крім того, вважатимемо, що на і -му кроці термін експлуатації обладнання приймається той, який є на початку і -го року.

Варіантом розв'язку на і -му кроці (тобто для і -го року) є одна з альтернатив: продовжувати експлуатацію обладнання або замінити обладнання на нове на початку і -го року. При цьому вважатимемо, що заміна старого обладнання на нове відбувається миттєво.

Запишемо основне функціональне рівняння. Для цього позначимо через fi (t) максимальний умовний прибуток, який отримується за роки від і -го до n -го при умові, що на початку і -го року маємо обладнання віком t років. Окремо рівняння запишемо для t > 0 і t = 0. Тоді матимемо наступні рекурентні співвідношення:

якщо експлуатувати старе обладнання,

якщо на початку і -го року замінити обладнання, де r (t) - u (t) - різниця між вартістю виробленої продукції і експлуатаційними витратами за і -й рік при експлуатації старого обладнання; fi+1 (t) - сумарний умовний прибуток від експлуатації обладнання впродовж кроків, що залишились

r (0) - u (0) - різниця між вартістю виробленої продукції і експлуатаційними витратами за і -й рік при експлуатації нового обладнання.

Рекурентні рівняння дають можливість не тільки визначити, яке рішення приймати на кожному кроці, а й визначити умовний прибуток, який отримується при прийнятті кожного рішення.

Приклад 9.1. Фірма планує визначити оптимальну політику заміни наявного на даний час обладнання, якому три роки, впродовж чотирьох

наступних років (n = 4), тобто до початку п'ятого року:

Таблиця 9.1. Вхідні дані для прикладу 9.1

Фірма також вимагає заміни обладнання, яке знаходиться в експлуатації шість років. Вартість нового обладнання становить 100 тис. у. о.

Розв'язування. На початку першого року маємо обладнання трирічного віку. Тому ми можемо його впродовж першого року експлуатувати або замінити новим. Якщо обладнання на початку першого року замінили, то на початку другого року його вік становитиме один рік, у протилежному випадку вік обладнання становитиме чотири роки. Такий же підхід використовується на початку кожного року, починаючи з другого по четвертий. Отже, на початку другого року можливе тільки обладнання з терміном експлуатації один або чотири роки. На початок третього року обладнання може мати вік один, два або п'ять років. І, нарешті, на початок четвертого року вік обладнання може становити 1, 2, 3 або 6 років.

Почнемо знаходити умовно оптимальні рішення на кожному кроці, починаючи з четвертого. При цьому використаємо позначення: Е - старе обладнання експлуатується, З - старе обладнання замінюється на нове. Результати розв'язування помістимо в таблиці 9.2.-9.5.

Таблиця 9.2. Результати розв'язування прикладу 9.1. Крок 4

Таблиця 9.3. Результати розв'язування прикладу 9.1. Крок 3

Таблиця 9.4. Результати розв'язування прикладу 9.1. Крок 2

Таблиця 9.5ю Peзyльтaти poзв'язyвaння пpиклaдy 9.1. Kpoк 1

Послідовність отримання оптимального розв'язку є такою. На початку першого року оптимальним розв'язком при t = 3 є заміна обладнання (табл.9.5). Отже, на початок другого року обладнання матиме вік один рік. При t = 1 на початку другого року оптимальним розв'язком буде або експлуатація обладнання, або його заміна (табл.9.4). Якщо на початок другого року прийняти рішення продовжити експлуатувати обладнання, то на початок третього року воно матиме вік два роки. При t = 2 на початку третього року оптимальним розв'язком буде експлуатація обладнання (табл.9.3). Тому на початок четвертого року обладнання матиме вік три роки. При t = 3 на початку четвертого року оптимальним розв'язком буде заміна обладнання (табл.9.2). Отже, в цьому випадку, починаючи з першого року, оптимальною стратегією є: З, Е, Е, З.

Якщо на початок другого року прийняти рішення замінити обладнання, то на початок третього року обладнання матиме вік один рік. При t = 1 на початку третього року оптимальним розв'язком буде експлуатація обладнання (табл.9.3). Тому на початок четвертого року обладнання матиме вік два роки. При t = 2 на початку четвертого року оптимальним розв'язком буде експлуатація обладнання (табл.9.2). Отже, тепер, починаючи з першого року, альтернативною оптимальною стратегією є: З, З, Е, Е.

В обох випадках загальний умовний прибуток складає 55,3 тис. у.о.