Страхування - Базилевич В.Д. - 25.1. Страхові угоди з виплатами в момент смерті

25.1. Страхові угоди з виплатами в момент смерті

25.2. Страхові угоди з виплатами наприкінці року смерті.

25.3. Страхові ануїтети.

25.4. Нетто-премії.

25.5. Нетторезерви.

Як вже зазначалося, страхові системи призначені для зменшення несприятливих фінансових наслідків випадкових подій певного вигляду. У цьому розділі розглянуто моделі страхування життя, призначені для зменшення фінансових наслідків такої випадкової події, як передчасна смерть. Через довгостроковий характер цього виду страхування величина інвестиційного доходу, що отримується аж до моменту виплати, створює великий елемент невизначеності. Ця невизначеність має дві причини: невідома прибутковість і невідома тривалість інвестиційного періоду. У цьому розділі для невизначених інвестиційних доходів розглядається детермінована модель. Іншими словами, модель буде побудована в термінах функції 7 тривалості майбутнього життя.

25.1. Страхові угоди з виплатами в момент смерті

Нехай величина і час виплати за угодою страхування на випадок смерті залежать тільки від довжини інтервалу з моменту укладення угоди страхування до моменту смерті страхувальника. В описі моделі використовуватимуться функція страхових виплат Ь_{ і функція дисконтування и,. У межах нашої моделі о, є коефіцієнтом дисконтування від моменту виплати до моменту укладення страхової угоди (тобто у зворотному напрямку), причому £ є довжиною інтервалу часу від моменту укладення договору до моменту смерті страхувальника. Якщо йдеться про змішане страхування, яке розглядається нижче в цьому розділі, то і може бути більшим або дорівнювати довжині інтервалу часу від укладення договору до моменту виплати.

За такої функції дисконтування припустимо, що відповідна інтенсивність нарахування відсотка 5 є детермінованою величиною. Це означає, що модель не передбачає ймовірнісного розподілу для інтенсивності нарахування відсотка.

Визначимо функцію поточної вартості г_г формулою

₂, =Ь,_и(. (25.1)

Таким чином, г_і позначає поточну вартість страхової виплати на момент укладення договору. Час, що минув з моменту укладення договору до моменту смерті страхувальника, є тривалістю майбутнього життя страхувальника. Ця випадкова величина позначається через Т = Т{х). Вона була визначена у розділі 24. Поточна вартість страхової виплати на момент укладення договору є випадковою величиною Х = г_т. Отже,

2 = 6_хо_т. (25.2)

Перший етап аналізу страхування життя полягає у визначенні величин 6, і и₍. Наступним етапом буде визначення деяких характеристик імовірнісного розподілу випадкової величини 2. Проаналізуємо ці етапи стосовно декількох стандартних видів страхування.

Страхові угоди з постійними страховими виплатами

Страхування на випадок смерті строком на п років припускає, що страхова виплата здійснюється тільки у випадку, якщо страхувальник помре протягом п років з моменту укладення договору страхування. Якщо у момент смерті особи (х) проводиться виплата розміром 1, то

¹ |0,г>и, ' [0,Г>д.

Тут и - поточна вартість суми розміру одиниця в кінці періоду нарахування відсотків, зазвичай це один рік, и = е~⁸.

У цих визначеннях використовуються три припущення. По-перше, оскільки тривалість майбутнього життя - невід'ємна величина, визначаємо Ь_п о, і % тільки на множині невід'ємних чисел. По-друге, для значення і, за якого функція 6₍ дорівнює нулю, значення о, неістотно. Для таких і задається значення и, з міркувань зручності. По-третє, якщо не обумовлене протилежне, інтенсивність нарахування відсотка передбачається постійною.

Математичне сподівання випадкової величини 2, що позначає поточну вартість, називається актуарною поточною вартістю страхування. Цей термін типовий для страхування власності й цивільної відповідальності. Точніший, хоч і більш громіздкий термін - математичне сподівання поточної вартості виплат*

Актуарна поточна вартість страхування, за якого проводиться виплата розміром 1, найчастіше позначається через А. Вік страхувальника на момент обчислення задається в індексі.

Актуарна поточна вартість М [2] для страхування строком на п років з виплатою розміром 1 у момент смерті особи (х)

позначається через Лх:іГі (наводимо позначення, прийняте в Міжнародній системі актуарних позначень). Цю величину можна обчислити таким чином:

~А_хД = М[г]=М[г_Т]= £яМ*)**^в £^и'іРхИ,(*)<*<. (25.3) Момент у'-го порядку випадкової величини X можна знайти таким чином:

м[г>]= £ (о¹)' o ,_Рх ц,(*)<" = {V⁶'* o ,р,цДі)(й.

Другий інтеграл показує, що момент у-го порядку 2 дорівнює актуарній поточній вартості страхування строком на п років з виплатою величиною 1 у момент смерті особи (х)_у розрахованої виходячи з інтенсивності нарахування відсотка, що дорівнює заданій інтенсивності нарахування відсотка, помноженій на /, тобто /6.

Тоді

л[Я]=а"я|-^а*ї|) , (25.4)

2-1

де А хм є актуарною поточну вартістю страхування строком на п років з виплатою розміром 1 за інтенсивності нарахування відсотка 25.

Безстрокове страхування на випадок смерті допускає виплату у разі смерті страхувальника, в який би момент у майбутньому вона не відбулася. Якщо величина виплати становить 1 і виплата проводиться у момент смерті особи (х), то

6, =1, г£0, о, = о', г>0, £ = о^т, Т£0.

Актуарна поточна вартість дорівнює

XI

а, = М[г]= |и'o ір_х МОЛ (25.5)

о

Безстрокове страхування на випадок смерті є граничним випадком для страхування на випадок смерті строком п років

ПрИ 71-ЮО.

Приклад 25.1. Нехай функція щільності тривалості майбутнього життя Т для особи (х) має вигляд

Гі/85,0^г<85,

Для випадкової величини X, що позначає поточну вартість безстрокового страхування на випадок смерті з виплатою розміром 1, укладеного з особою (х)> за інтенсивності нарахування відсотка б, обчислимо актуарну поточну вартість, дисперсію:

а,=м[я]= и'и(і)<іі= Ге⁶'--, б*о.

І і 85 856

_г , І-е"¹⁷⁰⁸ Згідно з формулою (25.4) D[Z =

fl-g-*^68> 856

1705

Визначимо тепер величину початкового інвестиційного фонду для портфеля страхових угод. Використаємо модель індивідуальних ризиків і нормальну апроксимацію.

Приклад 25.2. Припустимо, що кожна з 200 незалежних осіб:

o має вік х;

o схильна до постійної інтенсивності смертності, а = 0,05;

o уклала договір страхування з виплатою 12 одиниць у момент смерті.

Страхові виплати проводяться із засобів інвестиційного фонду, причому 6 = 0,07. Розрахуємо мінімальну величину фонду h у момент t = 0, щоб коштів для страхових виплат на випадок смерті кожного зі страхувальників виявилося достатньо з ймовірністю 0,95.

Для кожної особи

6_#=12,£>0, и, = и',г£0,2 = 12і/,Г£0. Вважатимемо, що страхувальники яким-небудь чином пронумеровані, наприклад, номерами укладених з ними договорів. Тоді у момент н = 0 поточна вартість всіх майбутніх виплат

200

дорівнює S = ^Z,, де ZЎ - поточна вартістю у момент часу

_Л . .. /=і

t = 0 тієї виплати, яку доведеться провести у момент смерті особи з номером j.

Для постійної інтенсивності нарахування відсотка 5 і постійній інтенсивності смертності ц актуарна поточна вартість безстрокового страхування життя з виплатою величиною 1 дорівнює

А_х = fe-Vud^-.

Отже, для нашого прикладу

M[Z]=12A* =12^ = 5, ^{L J} 0,12

мГ2²1 = 144 ²Ах=144-^-- = 37,89 і D[Z] = 12,89.

^{L J} 0,05 + 2(0,07)

Використовуючи ці значення середнього і дисперсії кожного з доданків в сумі 5, отримаємо

m[s]=200'5=1000, D[S] =200 12,89 = 2578, ЩЩ = 55,77.

Необхідна мінімальна величина фонду визначається зі співвідношення P(S^/*)=0,95, що еквівалентно

's-m[sj /1-1000^

0,95.

уіЩ8] 55,77

Застосовуючи нормальну апроксимацію (див. табл. 23.1), отримаємо

л-1000 , _а._к . _{1л01 па} -= 1,645, /1 = 1091,74.

55,77

Різниця між початковим капіталом 1091,74 і математичним сподіванням справжньої вартості всіх платежів 1000, що становить 91,74, є ризиковою надбавкою. Надбавка на одну особу становить 0,4587, або 3,82 %, на виплату розміром 1, або 9,17 % актуарній справжній вартості.