Логіка - Карамишева Н.В. - 3.4. Логічні форми міркувань та операції над ними

До логічних форм міркувань належать поняття, висловлювання, умовивід.

3.4.1. Поняття

Мислення - це відображення світу в поняттях.

Слово "поняття" в контексті його використання набуло багато смислів. У логічній семантиці - це концепт терміна (лат. - думка, поняття). Відповідно, поняття не можна ототожнювати з термінами, - оскільки існує багато термінів, які виражають одне і те саме поняття. Мовною формою виразу понять є слово чи словосполучення.

У гносеології поняття - абстрактне відображення цілісності пізнавального об'єкта через виявлення сукупності його суттєвих, необхідних і специфічних властивостей; в епістемології - форма виразу знання як результату пізнавальної діяльності; у традиційній логіці - форма мислення, що відображає предмети, явища, процеси об'єктивного світу в їх суттєвих і специфічних ознаках; у символічній логіці - результат уявного відокремлення предметів певного класу, тобто подібних у певному відношенні.

Поняття є форма мислення, що відокремлює класи предметів будь-якого походження за суттєвими і специфічними властивостями (ознаками) у процесі їх пізнання.

Логічна теорія поняття

У логіці чітко розрізняють об'єкт пізнання та його відображення у понятті. Об'єкт пізнання поділяється на емпіричний об'єкт (предмет, явище, процес, певна подія, що існує об'єктивно, поза мисленням людини) й абстрактний об'єкт (продукт творчого мислення людини). Об'єкт пізнання постає як сукупність певних властивостей (ознак). Властивості, притаманні тому або іншому об'єкту, поділяються на суттєві та несуттєві види. Суттєвими є властивості, котрі визначають сутність об'єкта, який вивчають, а несуттєвими - такі, що не визначають його сутнісну характеристику. Суттєві властивості називають ще основними (висхідними); з яких випливають похідні - необхідні й ненеобхідні. Необхідними є властивості, котрі випливають із основної (суттєвої) та визначають існування певного об'єкта, його функціонування й розвиток, а ненеобхідними (випадковими) є властивості, які можуть бути притаманні йому або непритаманні, - специфічні (відмінні, особливі, видові) й неспецифічні. Специфічними є властивості, притаманні лише певним об'єктам пізнання і непритаманні іншим, а неспецифічними - властивості, що можуть бути притаманні й іншим об'єктам пізнання.

Виокремлення різних властивостей в об'єкта пізнання здійснюється у процесі його пізнання і залежить від різних аспектів дослідження. Як приклад назвемо властивості, притаманні студенту:

1. Суттєва (основна, вихідна) властивість - учень вищого навчального закладу (бути учнем).

2. Несуттєва властивість - в якому вищому навчальному закладі студент навчається.

3. Похідна властивість - вивчати певні науки, передбачені програмою навчання.

4. Необхідні властивості, притаманні студентові - відвідувати лекції та практичні заняття; писати контрольні, курсові, дипломні роботи: складати заліки, іспити.

5. Ненеобхідні властивості - отримувати стипендію, займатися певним видом спорту, брати участь в олімпіадах тощо.

6. Специфічні властивості - форма навчання студента (вчитися очно або заочно); навчатися у двох вищих навчальних закладах водночас.

7. Неспецифічні властивості - читати підручники та монографічну літературу (ці властивості притаманні й іншим людям, котрі не є студентами).

У логіці на підставі узагальнення суттєвих, необхідних, специфічних властивостей, що були виявлені у процесі пізнання різних об'єктів, абстрагуючись від несуттєвих, ненеобхідних, неспецифічних властивостей, виокремлюють клас однорідних предметів, явищ, процесів. Формальне зображення такого узагальнення: клас А, якому притаманні властивості а, б, в, с,... л. Наприклад, клас студентів, котрим притаманні властивості: "бути учнем вищого навчального закладу" (а); "вивчати певні науки" (б); "відвідувати лекції та практичні заняття" (в); "складати заліки й іспити" (с) та ін.

Окрім властивостей, у понятті відображаються відношення. Скажімо, поняття "дружба", "сучасник", "мати", "батько", "причина" виражають певні відношення.

У логіці властивості й відношення позначаються терміном "предикат" (див. 3.4.2; 4.2.2).

На підставі логічного аналізу поняття як форми мислення та форми виразу знання, яке здійснювали філософи і логіки, ще від античності, визначено: структуру поняття; види понять; відношення між поняттями за обсягом; способи утворення понять; логічні операції над змістом і обсягом поняття.

І. Структура поняття.

Поняття має зміст і обсяг. Зміст поняття - це сукупність суттєвих, специфічних властивостей, притаманних об'єктам пізнання (предметам, явищам, процесам та ін.), що належать до певного класу. В змісті поняття відображаються не всі властивості, характерні для предметів, а лише суттєві (основні, вихідні) й специфічні властивості, без котрих предмет втрачає якісну визначеність.

Обсяг поняття - множина усіх об'єктів пізнання, яким притаманні суттєві та специфічні властивості, відображені в змісті поняття.

За точністю визначеності змісту й обсягу розрізняють визначені та невизначені поняття. Визначеними є поняття, що точно називають свій зміст і обсяг. Наприклад, зміст поняття "Галактика" - гігантська космічна система, яка складається із зірок, газу та пилу; обсяг - усі Галактики.

Невизначеними називають такі поняття, які не точно засвідчують свій зміст і обсяг, тобто поняття фіксують невизначені властивості, внаслідок чого складно визначити його обсяг. Приклади таких понять: "дурна людина"; "цікава книга"; "престижна праця"; "складний тест".

Ф. Бекон, І. Кант виокремили логічне й емпіричне значення поняття; сучасною мовою - логічний і фактичний зміст і обсяг поняття. Підставою такого розрізнення є гносеологічна і логічна характеристика поняття. У гносеологічному аспекті поняття - це форма відображення об'єктивно існуючих предметів, явищ, процесів у їх суттєвих і специфічних властивостях. У логічному аспекті поняття - суть абстракції й ідеалізації, що за змістом розкривають властивості й емпіричних, й абстрактних об'єктів.

Логічний зміст поняття - сукупність властивостей, які визначаються у змісті поняття формально, в абстракції від емпіричних знань про предмет або клас предметів, що відображаються в понятті, й дає змогу відрізнити одне поняття від іншого. Формальний вираз логічного змісту поняття: клас А узагальнених у понятті предметів володіє властивостями а, в, с,... л, не притаманними іншим класам. Наприклад, у математиці виокремлюють клас трикутників, котрим суто логічно задають властивості, не притаманні іншим геометричним фігурам, скажімо, чотирикутникам.

Фактичний зміст поняття - сукупність властивостей, які встановлюють у процесі пізнання на підставі отриманого знання про предмет або клас предметів. Такий зміст поняття означає, що предмет або клас предметів втрачає одні властивості й набуває нових, унаслідок чого варто уточнювати зміст поняття. Наприклад, фактичний зміст поняття "атом" історично змінювався: 1) атом - неподільна частинка матерії; 2) атом - структурно організована первинна частинка матерії, яка складається з ядра й електрона, що обертається навколо нього.

Логічний обсяг поняття - множина мислимих (уявних) предметів, які відповідають логічному змісту поняття незалежно від реального (фактичного) існування таких предметів, наприклад, множина всіх трикутників, усіх літературних героїв, героїв народних казок та ін.

Фактичний обсяг поняття - множина реально існуючих предметів, що відповідають фактичному змісту поняття, скажімо, множина всіх людей, усіх наук, усіх мов і под.

Виокремлення логічного та фактичного змісту й обсягу поняття дає змогу точніше встановити, чи є певне поняття порожнім за логічним і фактичним обсягом. Логічно порожнім є поняття, зміст якого суперечливий ("число, що ділиться на нуль"); фактично порожнім є поняття, обсяг якого не містить у собі жодного предмета ("вічний двигун").

Певні поняття можуть бути логічно непорожніми за обсягом, а фактично - порожніми. Так, поняття "трикутник", "квадрат" позначають абстрактні математичні об'єкти, котрі реально не існують.

Логічно непорожніми за обсягом можуть бути поняття "круглий квадрат", "вічний двигун" (можна допустити їх існування як уявний предмет), а фактично - порожніми (насправді таких предметів не існує); певні поняття - логічно непорожніми і фактично непорожніми за обсягом (наприклад, "людина, яка кожен день п'є чай"); певні поняття - логічно і фактично порожніми за обсягом. До них належать суперечливі поняття за змістом ("Жива смертна істота, яка є безсмертною" і "Розумна людина, яка не має розуму").

У традиційній логіці обсяг окремого поняття та відношення між обсягами понять графічно зображається коловими схемами, що мають назву кола Ейлера, за іменем німецького математика Л. Ейлера (1707-1783 рр.), який увів їх в логіку,

і позначаються символами А, Б, С,... всередині кола. У сучасній логіці обсяг понять графічно зображається діаграмою Вен-на, за іменем англійського логіка Дж. Венна (1834-1923 рр.). Діаграма Венна доповнює кола Ейлера і має такий вигляд:

де коло зображає обсяг поняття А, якому притаманна властивість, що визначена у змісті поняття А; прямокутник зображає поняття (не-А), якому не притаманна ця властивість. Скажімо, обсяг поняття "працелюбна людина" (А) зображується колом, а "непрацелюбна людина" (не-А) - прямокутником.

Обсяг поняття в сучасній символічній логіці інтерпретується як клас (множина), а предмети, що належать до певного класу за суттєвими та специфічними властивостями, є елементами цього класу.

Визначимо основні положення логіки класів (множин) у контексті теорії поняття.

Отже, клас (множина) - це сукупність предметів різного походження, мислимих як єдине ціле, наприклад, клас усіх людей (множинність усіх людей), усіх літературних героїв (множинність усіх літературних героїв), усіх мов, усіх наук, усіх математичних об'єктів (чисел, рівнянь, функцій) та ін.

Кожен окремий предмет, що входить у визначену сукупність, є елементом цього класу. Кожен клас позначається символами А, В, С, а його елементи - символами а, в, с, або одним символом з індексом - а,, а2,ад. У літературі використовується також така символіка: X, У, £ - для позначення множин; х, у, 2 або х,, дг2,... хп - для позначення елементів множин.

Належність предмета а, до класу А позначається символом є. Формальний вираз належності елемента а. до класу А: ах є А. Наприклад, А - клас усіх наук. Математика (а,) - елемент цього класу. Формально ах є А.

Певний клас задається внаслідок відокремлення властивості, притаманної всім предметам цього класу і не притаманний жодному предмету, який не є її елементом.

Підклас - структурна частина певного класу, що має специфічні властивості, не характерні для іншої частини цього класу. Відношення між класом А та його підкласом В можна інтерпретувати як відношення між родовим і видовим поняттям. Формально це відношення позначається символом с і має такий вираз: А с В (чит.: В є підмножиною множини А).

Розрізняють такі види класів.

Універсальний клас - клас усіх класів (множина всіх множин), тобто клас, який вміщує як підклас будь-які класи. Позначається символом и. Термін "універсальний клас" набув двох значень: 1. Клас усіх елементів певної предметної галузі знання (приміром, клас усіх рослин у ботаніці, клас усіх чисел в арифметиці, клас усіх знакових систем у семіотиці). 2. Клас, що містить як свої елементи всі без винятку класи. Відокремлення універсального класу в цьому значенні спричинило виникнення парадоксу класу всіх класів (множини усіх множин), сформульованого Б. Расселом (див. про це 3.7).

Загальний клас - це клас, який складається з певної кількості елементів (клас громадян України, клас сучасних держав).

Кінцевий клас (множина) задається через перелік усіх елементів цього класу (множини), наприклад, множина студентів у групі ІУ; множина тварин у київському зоопарку.

Безкінцевий клас (безмежна множина) задається властивостями, притаманними лише усім елементам цього класу (множин), скажімо, множина усіх натуральних чисел, множина усіх зірок у Всесвіті.

Одиничний клас - клас, що містить лише один елемент, скажімо, клас природних супутників Землі.

Порожній клас - не містить жодного елемента. Позначається символом 0, наприклад, клас усіх чисел, що діляться на нуль.

У логіко-математичній теорії класів (множин) здійснюються операції, які будуть інтерпретовані в контексті встановлення логічних відношень між обсягами понять.

II. Види поняття.

Поняття поділяються за змістом і обсягом за визначеною підставою (властивістю).

За змістом.:

1. Залежно від того, що відображається в понятті - емпіричний об'єкт (предмет, явище, процес, подія, ситуація) або властивості об'єктів, відношення між ними, функціональні характеристики об'єктів, поняття поділяють на конкретні й абстрактні. Конкретне поняття відтворює окремий предмет У сукупності його властивостей (річка, майданчик, дерево, будинок); живі істоти (людина, собака, лев); явища природи (сніг, дощ, гроза); події (книжкова ярмарка, театральна вистава). Абстрактне поняття виражає властивості, притаманні емпіричним об'єктам (вихованість, рентабельність, толерантність); відношення між об'єктами (кохання, доброзичливість, еквівалентність); класи (раціональних чисел, математичних задач, логічних числень); системи об'єктів (системи Галактик, інформаційні системи); абстрактні об'єкти (число, вектор, логічний закон).

2. Залежно від того, яка властивість - позитивна чи негативна (заперечна), що притаманна певному емпіричному або абстрактному об'єкту, відображається в понятті, - їх поділяють на позитивні й заперечні. Позитивне поняття засвідчує наявність у предмета, явища, процесу, події певних властивостей (вихованість, швидкість, знання). Заперечне поняття вказує на відсутність певної властивості у певного предмета, явища, процесу, події (невихованість, нешвидкість, незнання).

3. Залежно від того, що відображається в понятті - одиничний предмет або сукупність предметів, мислимих як єдине ціле, - поняття поділяють на збірні й незбірні. Збірне поняття відображає сукупність однорідних предметів, котрі мисляться як єдине ціле (ліс, бібліотека, армія, студентство, людство). Незбірне поняття - окремий предмет, що входить у певну сукупність, але мислиться як певна окрема цілісність (дерево, книга, солдат, студент, людина).

4. Залежно від відображення в понятті властивостей, що характеризують відношення, поняття поділяють на безвідносні й співвідносні.

Безвідносне поняття відображає предмети, явища, процеси та їх властивості (наприклад, метал, атом, будинок, пожежа), а співвідносне поняття - предмети як структурні частини певного відношення (наприклад, "учитель - учень" є структурними частинами відношення у процесі навчання, "керівник - підлеглий" - структурні частини відношення у процесі праці, "вихователь - вихованець" - структурні частини відношення у процесі виховання).

За обсягом:

1. За кількістю предметів, що входять в обсяг поняття, їх поділяють на загальні, одиничні, порожні.

Загальне поняття охоплює певну кількість предметів, яким притаманні властивості, що визначаються у змісті поняття (наука, книга, теорія, тварина). Найзагальніші за обсягом поняття в логіці називають категоріями. Категорія (грец. kategorіа - судження, ознака) - всезагальне за обсягом поняття, що набуває категоріального статусу в системі певного знання (наукового, філософського і под.) й у зв'язку з іншими категоріями визначає рух думки у процесі міркувань від абстрактного до конкретного, від всезагального до одиничного і навпаки. Ознаки категорій - всезагальність, універсальність, абстрактність. Приклади філософських категорій: "матерія", "рух", "час", "простір".

Одиничне поняття охоплює одиничний предмет (винахідник телефону, природний супутник Землі, перший космонавт).

Порожнє поняття не охоплює жодного реально існуючого предмета (наприклад, восьма частина світу, третій полюс Землі).

2. За точністю визначення кількості предметів, що входять в обсяг поняття, їх поділяють на реєструвальні й нереєструвальні.

Реєструвальне поняття охоплює точно визначену кількість предметів у певний час (планета Сонячної системи, столиця європейської держави).

Нереєструвальне поняття не охоплює точно визначену кількість предметів (атом, квітка, риба, дерево).

III. Поняття родове і видове.

Рід (лат. genus) та вид (лат. species) (родова і видова відмінність) - взаємозв'язок категорій, які виражають загальну сутність предметів однакового походження і відокремлюють відмінності (специфічні властивості), притаманні частині предметів, належних до певного роду.

Логічний зміст категорій рід і вид визначив Арістотель. "Рід - категорія, яка виражає сутність... рід повинен виокремити предмет від іншого, а видова відмінність (різновид) від того, що належить до одного і того самого роду". За Арістотелем, рід - первинна сутність, а вид - вторинна. Так, первинна сутність людини - в тому, що вона "жива істота", а вторинна (видова відмінність людини від інших живих істот) - наявність двох ніг, безкрилість і под.

У традиційній логіці - це терміни, які позначають родове та видове поняття. Родове поняття відображає сукупність предметів, що мають певні загальні суттєві властивості, а видове - частину сукупності предметів (роду) за специфічними властивостями.

Розрізняють відношення між родовим і видовим поняттям за змістом і обсягом. За змістом родове поняття абстрактніше, ніж видове, в якому, крім загальних (родових) властивостей, відображаються специфічні властивості, які не відображаються в інших видових поняттях, належних до того самого роду. За обсягом родове і видове поняття перебувають у відношенні підпорядкування, що означає: обсяг родового поняття (А) вміщує обсяг видового поняття (В), а обсяг видового поняття становить частину обсягу родового поняття. Відношення підпорядкування зображають колами Ейлера в такий спосіб:

Відношення між родовим і видовим поняттям за змістом і обсягом набуло значення закону зворотного відношення. Згідно з ним, чим ширший обсяг поняття, тим вужчий його зміст і навпаки. Йдеться про відношення обсягу та змісту родовидових понять. Наприклад, відношення між родовим поняттям "мова" і видовим поняттям "штучна мова" означає: обсяг поняття "мова" - найширше, але вужче за змістом, а обсяг поняття "штучна мова" - вужче за обсягом, але ширше за змістом (оскільки вміщує специфічні властивості).

IV. Відношення між обсягами понять

Абстрактний взаємозв'язок між поняттями, який встановлюють на підставі виявлення їх змісту й обсягу; зображаються коловими схемами (кола Ейлера). Існують відношення сумісності та несумісності.

Відношення сумісності притаманні поняттям, обсяги яких повністю або частково збігаються. Відношення сумісності має такі різновиди: рівнооб'ємності, підпорядкування, перехрещення.

Відношення несумісності існують між поняттями, обсяги котрих не містять загальних елементів. Відношення несумісності має такі різновиди: співпідпорядкування, протилежності, суперечності.

Види відношень між сумісними поняттями: рівнооб'ємності (тотожності), перехрещення, підпорядкування.

Відношення рівнооб'ємності (тотожності) існують між поняттями, обсяги яких збігаються, тобто обсяг поняття А тотожний обсягу поняття В. Наприклад: "квадрат" (А) і "рівносторонній прямокутник" (В):

Відношення перехрещення існують між поняттями, що мають певну загальну частину своїх обсягів, або, інакше, обсяги понять збігаються у певній їхній частині: "співак" (А) і "композитор" (В); "письменник" (А) і "мандрівник" (В):

Відношення підпорядкування притаманні поняттям, обсяг одного з яких вміщує обсяг іншого поняття (відношення між родовидовими поняттями, між класом і його підкласом). Наприклад: "наука" (А) і "гуманітарна наука" (В); "тварина" (А) і "домашня тварина" (Б):

Види відношень між несумісними поняттями: співпідпорядкування, протилежності, суперечності.

Відношення співпідпорядкування існують між поняттями, що входять в обсяг одного родового поняття, але виключають одне одного: обсяг поняття "мова (клас мов)" (А) вміщує поняття "природна мова" (Б), "штучна мова" (С):

Відношення протилежності існують між поняттями, які належать до одного й того самого роду, але до його крайніх флангів: "здорова людина" (А) і "хвора людина" (Б); "унітарна (проста) держава" (А) та "федеративна (складна) держава" (Б); "істинне висловлювання" (А) і "хибне висловлювання" (Б):

де С - символ, що позначає певний рід, до якого належать протилежності А і В.

Відношення суперечності (протиріччя) існують між позитивним і заперечним поняттями, коли одне поняття вказує на певну ознаку, притаманну певному предметові, а інше заперечує її: "розумна людина" (А) і "нерозумна людина" (-" А); "законна дія" (А) - "незаконна дія" (-"А).

V. Операції над класами

Операції, внаслідок котрих виникають якісно нові класи. До них належать: об'єднання класів, перетин класів, доповнення класів.

Об'єднання (додавання) класів - операція над класами А і Б, після чого утворюється новий клас, що складається з предметів, кожен з яких є елементом класів, котрі додаються. Тобто, це вичислення сукупного обсягу цих класів. Символ об'єднання класів - и; формально: А и В.

Наприклад: 1. Об'єднання класу письменників (А) і класу українських письменників (Б) утворює новий клас письменників:

2. Об'єднання класу студентів (А) і класу учнів вищих навчальних закладів (ВНЗ) (Б) утворює той самий клас студентів-учнів ВНЗ:

Здобутий унаслідок об'єднання (додавання) клас називається сумою. Мета операції об'єднання - виявлення всіх елементів класів, які об'єднуються. Після виконання операції об'єднання класів, можна про кожний елемент нового класу сказати, що він належить або до А, або до В. Так, сума класів письменників і класу українських письменників - це клас письменників; сума класів студентів і учнів ВНЗ становить один і той самий клас.

Перетин (множення) класів - операція над класами А і В, унаслідок чого утворюється новий клас, що складається зі спільних елементів класів, які перемножуються, тобто визначення загальних властивостей, притаманних класу А і класу В.

Наприклад, результатом перетину класу науковців (А) і класу викладачів ВНЗ (В) буде клас науковців-викладачів ВНЗ (загальною властивістю цих класів є "науково-дослідницька діяльність").

Зображення цього прикладу перетину класів:

3. Доповнення (або заперечення) класу (доповнення класу А до універсального класу и) - логічна операція, що полягає в утворенні нового класу через додавання елементів, котрі не належать до класу А, тобто, утворення нового класу, кожен елемент якого складається з тих елементів універсального класу, які не містяться в класі, що заперечується.

Скажімо, клас природних мов (А) є доповненням до класу неприродних (штучних) мов (А') і внаслідок їх суми виникає універсальний клас мов:

Логічні операції над класами підпорядковані певним законам, що можна розглядати як закони відношення до обсягів понять.

Операції об'єднання та перетину класів здійснюються за такими законами (див. закони логіки висловлювань - 4.2.1):

Операція доповнення здійснюється за такими законами:

VI. Визначення поняття, або дефініція

Логічна операція, що дає змогу розкрити зміст поняття, відрізнити одне поняття від іншого, уточнити смисл терміна. Визначення поняття або дефініція (/)/) є важливою логічною операцією, з якої починається формулювання певної теорії.

Структура визначення: визначуване та визначаюче поняття. Поняття, яке підлягає визначенню, називається визначуваним, а поняття, за допомогою якого визначається визначуване поняття (Dfd)i - визначаючим (лат. definiens - І)/л). Наприклад, у визначенні "Мова - знакова система, яка є засобом виразу думок, спілкування та переданий інформації" визначуваним поняттям (£)/с/) є "мова", а визначаючим (І>^п) - "знакова система, яка є засобом виразу думок, спілкування та передання інформації".

За видом розрізняють номінальне та реальне визначення.

Номінальне (лат. nominis - ім'я, назва) визначення розкриває смисл терміна, яким позначено певний об'єкт пізнання, походження (етимологія) терміна. Так, термін "логіка", як уже зазначалося раніше, походить від грецького logos, що означає слово, розум.

Реальне (лат. realis - речовий) визначення розкриває суттєві та специфічні ознаки, притаманні певному предметові чи явищу. Наприклад: "Орбіта - траєкторія руху космічного тіла навколо іншого".

За способом реальне визначення поділяють на явне й неявне.

Явне визначення має структуру Dfd = Dfn. Це означає: визначуване поняття (Dfd ) перебуває у відношенні, що дорівнює визначаючому поняттю (Dfn). У явному визначенні розкривається зміст визначуваного поняття (Dfd), що завжди, в будь-якому контексті може бути замінене визначаючим його виразом (Dfn). У структурі неявного визначення неможливо відділити визначуване та визначаюче поняття як самостійні частини, тому вони не дають способу заміни визначуваного поняття визначаючим.

До явних визначень належать: визначення через найближчий рід і видову відмінність; генетичне; операціональне; через абстракцію. Визначення "через найближчий рід і видову відмінність" (definitio per genus proximum et differentiam) - спосіб явного визначення, що має структуру Dfd = Dfn, тобто у визначаючому понятті (Dfn) називають приналежність визначуваного поняття (Dfd) до певного (найближчого) роду та специфічні ознаки (видову відмінність) з метою відокремлення визначуваного поняття від інших (видових) понять, які також належать до цього роду. Наприклад: "Математика - наука про кількісні відношення та просторові форми реального світу", де "наука" - найближчий рід; "про кількісні відношення та просторові форми реального світу" - видова відмінність математики від інших наук.

Генетичне визначення - спосіб, у якому зазначено природне походження предмета чи спосіб створення певного класу емпіричних або абстрактних об'єктів: "Квадрат - геометрична фігура, яка створюється внаслідок перпендикулярного установлення його прилеглих сторін".

Операціональне визначення - спосіб визначення, в якому названо опис дії над об'єктом у певній експериментальній ситуації.

Визначення через абстракцію - спосіб визначення, коли зміст визначуваного поняття (Dfd) розкривають через зазначення у визначаючому понятті (Dfn) дещо абстрактного: форми; величини; напрямку руху; ваги; росту; розміру та ін., що притаманне певним однорідним предметам. Наприклад: "Вектор - математична абстракція об'єктів, які характерні величиною та спрямованістю руху від початку до кінця".

До неявних визначень належать: аксіоматичне; індуктивне; контекстуальне.

За аксіоматичним визначенням - смисл термінів, що вводяться у формальну систему, визначають на підставі аксіом цієї системи (див. 4).

Індуктивне визначення - спосіб, згідно з яким визначуване поняття ^ґа^) подане через перелік елементів, що входять у обсяг поняття, котрі визначаються. Наприклад, у логіці, коли визначають поняття формалізованої мови, перелічують усі елементи цієї мови.

Контекстуальне визначення дається на підставі встановлення зв'язку визначуваного поняття (Dfd) з іншими поняттями в певному контексті або смисл терміна визначають за контекстом. Наприклад: а) "Рух - спосіб існування матерії" - контекстуальне визначення, в якому термін "рух" має філософський смисл; б) "Рух - перетворення евклідового простору, що зберігає відстань між двома точками" - контекстуальне визначення, в якому термін "рух" має математичний (геометричний) смисл.

Окрім названих видів, розрізняють також семантичне та синтаксичне визначення.

Семантичне визначення - спосіб, за яким смисл певного терміна встановлюють через вказівку на об'єкт, що є денотатом терміна, тобто предметом позначення. Семантичне визначення поділяють на емпіричне й теоретичне. Емпіричне, або остенсивне визначення, - це вказівка на предмет та одночасне його позначення певним іменем (терміном). Наприклад, у зоопарку показують невідому дитині тварину і зауважують, що це - мавпа.

Теоретичне визначення засвідчує назву певних абстрактних об'єктів науки та розкриття смислу термінів, які позначають ці об'єкти (приміром, абстрактні об'єкти логіки: поняття; висловлювання; умовивід; логічний закон; слідування; відношення та ін.) і подає їх дефініції.

Синтаксичне визначення використовується тоді, коли вводиться певний символ у формальну систему і дається його значення і позначення терміна. Наприклад, символ л означає пропозиційну зв'язку та позначає кон'юнкцію. -

Крім явних і неявних способів визначення понять існують прийоми, що заміняють визначення. До них належать: вказівка; опис; характеристика; порівняння.

Вказівка - прийом, який заміняє визначення поняття; показ предмета, що належить до певного класу, та його назва (ім'я предмета). Предмет, що вказується, є денотатом імені. Так, денотатом імені "гроші" є гривня, євро, долар, фунт стерлінгів і под.

Опис - перелік зовнішніх ознак одиничних предметів із метою їх відокремлення від інших предметів: опис зовнішності окремої людини ("мовний портрет"); опис місцевості, де перебуває людина в певний час; опис об'єкта безпосереднього спостереження.

Порівняння - логічний прийом встановлення необхідності та відмінності між об'єктами в процесі пізнання об'єктивного світу, завдяки чому визначають нові властивості в об'єктів дослідження. Порівняння є підставою для побудови аналогій, наприклад, людину іноді порівнюють із доцільно сконструйованою машиною.

Характеристика - виявлення сукупності властивостей досліджуваного об'єкта та відокремлення таких суттєвих, необхідних, специфічних властивостей, які дають змогу відокремити один предмет від інших, що належать до одного класу. Скажімо, коли характеризують людину як працівника, то називають властивості: працелюбність; ініціативність; дисциплінованість; здатність до інновацій; повага до колег та ін.

Характеристика об'єкта дослідження може бути об'єктивною або суб'єктивною, точною або неточною, повною або неповною.

VII. Правила визначення понять і логічні помилки за їх порушення:

1. Визначення поняття повинно бути точним, чітким, однозначним. Отже, визначаючим поняттям (Dfn) повинні бути точні за смислом терміни, а не образні вирази чи метафори. Наприклад, не будуть визначенням понять такі вирази: "Математика - цариця наук"; "Догматизм - застигла думка".

2. Визначення повинно бути співмірним, тобто визначуване (Dfd) і визначаюче (Dfn) поняття перебувати у відношенні тотожності (Dfd = Dfn). За порушення правил співмірності виникають помилки: "занадто широке визначення" або "занадто вузьке визначення".

Помилка "занадто широке визначення" виникає тоді, коли при визначенні певного поняття вказують найближчий рід, але не називають видову відмінність. Так, визначаючи поняття "логіка" як "наука про мислення", вказують найближчий рід - "наука про мислення", але не називають видову відмінність, яка характеризує відмінність логіки від інших наук, що також вивчають мислення; визначаючи поняття "людина" - жива істота, вказують найближчий рід "жива істота", але не називають видові відмінності людини від інших живих істот (здатність виробляти знаряддя праці, володіти розумом, мовою, засвоювати знання і под.).

Помилка - "занадто вузьке визначення" виникає тоді, коли, визначаючи певне поняття, називають лише певну видову відмінність. Наприклад, розкриваючи поняття "логіки" як науки, зазначають: "Логіка - наука про виведення знання".

3. Визначення не повинно утворювати кола, тобто визначуване (Dfd) і визначаюче (Dfn) поняття не можна визначати через самих себе. Порушення цього правила призводить до помилки "коло у визначенні" або до тавтології (лат. idem per idem - те саме слово; те саме через те саме), сутність якої полягає в тому, що визначуване (Dfd) і визначаюче (Dfn) поняття формулюються одними термінами і тим самим не розкривається зміст визначуваного поняття: "Психологія - - наука про психіку"; "Розумна людина - людина, що має розум"; "Політик - людина, яка займається політикою"; "Законність це дотримання законності".

4. Не можна визначати поняття через такі поняття, котрі самі потребують визначення. Порушення цього правила призводить до помилки - "визначення невідомого через невідоме" (лат. ignoratum per ignoratum). Наприклад: "Інтенція - це іманентний напрям свідомості".

5. Не можна давати заперечного визначення, оскільки таке визначення не розкриває зміст поняття, що визначається. Заперечне визначення лише вказує, що визначуване поняття (Dfd) фіксує відношення несумісності з іншим поняттям, яке також потребує визначення: "Норма права - це не моральна норма"; "Логіка - не психологія", "Логічна помилка в міркуваннях - це не граматична помилка".

VIII. Логічні операції над обсягами понять.

До них належать: узагальнення й обмеження поняття; поділ обсягу поняття; класифікація.

Узагальнення й обмеження поняття - логічна операція, за допомогою якої здійснюється перехід від видового поняття до родового, від одиничного - до загального (узагальнення поняття) і навпаки, від родового поняття до видового, від загального до одиничного. Межою узагальнення поняття є найширше за обсягом поняття - категорія, а межою обмеження загального поняття - одиничне поняття. Наприклад, узагальнення обсягу поняття "планета Сонячної системи" здійснюється в такій послідовності: планета Сонячної системи (А) -" "космічне тіло" (В) -" тіло (С); обмеження обсягу поняття "планета Сонячної системи" виконується в такій послідовності: планета Сонячної системи (А) -> Земля (В).

1. Узагальнимо й обмежимо поняття "мова". Узагальнення: мова (А) -> знакова система (В) -> система (С). Колова схема:

Обмеження: мова (А) -> штучна мова (В) -> мова програмування (С) -" Паскаль (2>).

Колова схема:

IX. Поділ обсягу поняття

(Лат. divisio) - логічна операція, за допомогою якої обсяг загального поняття (роду) розділяється на видові поняття за визначеною ознакою; в символічній логіці - те саме, що розчленування класу на підкласи (множину на підмножину).

Структура поділу обсягу поняття: 1. Ділене поняття (загальне поняття, рід або клас). Позначається символом А. 2. Члени поділу (лат. membra division is) - видові поняття або підклас (підмножина). Позначається символами ах, а.,, ... ап. 3. Підстава поділу (лат. fundamentum diuisionis) - визначена властивість, яка дає змогу здійснити операцію поділу обсягу загального поняття. Позначається символом Р.

Структуру поділу обсягу поняття можна зобразити так: А<Р> (av а2,... ад). Наприклад: "Усі водії поділяються на тих, хто їздять за правилами, і тих, хто їздять не за правилами". Ділене поняття - "усі водії" або клас водіїв (А). Члени поділу: підклас водіїв, "хто їздять за правилами" (а,); підклас водіїв, "хто їздять не за правилами" (а2). Підстава поділу: необхідність дотримуватися правил дорожнього руху, не порушувати їх. Формальна структура поділу: А < Р > (а{> а2).

Не буде поділом обсягу поняття переліку предметів, котрі належать до певного класу, якщо не названа певна властивість, що відокремлює їх один від одного. Наприклад: "Натуральне число - це 1, 2, 3, 4,... і т. д."; "Чотирикутник - це квадрат, ромб, трапеція, паралелограм".