Логіка - Карамишева Н.В. - Принципи побудови формально-логічних систем

Визначають на рівні металогіки. Серед них основні такі:

1. Єдності семантичного (змістовного) та синтаксичного (формального) аспектів мови, що створюють методом формалізації.

2. Логічного слідування, який визначає необхідний взаємозв'язок між формулами та вивідністю (доказовістю) однієї формули з іншої за суворо встановленими правилами.

3. Несуперечності, який означає, що в межах певної системи 5 не може бути виведеною водночас формула виду А та її заперечення -o А.

Формальний вираз несуперечності системи: -> (А л -"А).

Якщо існує суперечність (одночасне доведення формули А і А), то з цих формул можна вивести "все, що завгодно".

Розрізняють формальну й неформальну несуперечність системи 5.

Формальна несуперечність означає, що в межах певної системи 5 не може бути водночас виведеною формула виду А та її заперечення -" А.

Неформальна (змістовна) несуперечність означає, що для певної системи 5 можна побудувати таку інтерпретаційну (семантичну) модель, в межах якої тотожно-істинними формулами є всі формули цієї системи. Якщо в системі 5 виявлена змістовна суперечність, то ця система не може мати змістовної інтерпретації.

4. Повноти, який означає виявлення необхідного зв'язку між тотожно-істинними та доведеними формулами в межах певної системи 5.

Система 5 є дедуктивно повною, якщо - і лише якщо - всі тотожно-істинні формули цієї системи є доказовими. Повнота системи 5 виражається метависловлюванням: (1= А) -> (Ь- А), де А - формула, замість якої можна підставити конкретну формулу, 1= - символ логічного слідування, І--символ дедуктивного виведення, -> - символ імплікації.

Розрізняють повноту в семантичному і синтаксичному аспектах: а) формальна система 5 семантично повна, якщо будь-яка тотожно-істинна формула може бути доведеною в межах цієї системи; б) формальна система 5 є синтаксично повною, якщо в межах цієї системи до її множини аксіом не можна без суперечності приєднати як аксіому жодну недоказову формулу.

Принцип повноти виявився обмеженим, коли німецький математик К. Гедель логічно обґрунтував принцип неповноти формальної системи: "Будь-яка несуперечлива і достатньо багата змістовно (семантично) формальна система 8 дедуктивно неповна, тобто в її межах можна побудувати певну формулу А, до якої не можна застосувати процедуру розв'язання".

5. Незалежності, що означає: в межах певної системи 5 жодна аксіома не може бути виведена із множинності інших. Розрізняють незалежність логічного слідування і незалежність відносно дедуктивного виведення: а) формула виду А певної системи 5 є незалежною відносно логічного слідування, якщо ні сама формула А, ні її заперечення -"А не є логічним наслідком з інших тотожно-істинних формул (аксіом цієї системи); б) формула виду А системи 5 незалежна відносно дедуктивного виведення, якщо ні А, ні її заперечення -< А будуть невивід-ними з інших доказових формул (аксіом цієї системи).

6. Розв'язуваності (вирішеності). Він означає, що в межах певної системи 5 існує загальний метод або алгоритм, який дає змогу відносно формули А встановити, чи є вона вивідною, чи ні.

На підставі сформульованих принципів на металогічному рівні здійснюють аналіз конкретних формально-логічних систем, побудованих у символічній логіці, й визначають, чи відповідає вона сформульованим принципам.

Особливості формально-логічних систем

На підставі металогічного аналізу визначають особливості побудованих логіками та математиками конкретних систем (класичних і некласичних логічних теорій) та можливості їх інтерпретації.

1. Формально-логічні системи задаються двома способами: матричним і аксіоматичним. Матричний спосіб побудови формально-логічної системи означає:

- побудову матриці (таблиці) істинності для логічних постійних або пропозиційних зв'язок кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквівалентності, заперечення, на підставі якої задаються функції істинності для формул, побудованих за певними правилами;

- логічні закони визначаються як елементи певної системи 5.

Аксіоматичний спосіб побудови формально-логічної системи означає побудову числення певного типу логічної теорії, що

2. Надається більша строгість виведення одного висловлювання (формули) з іншого відповідно до правил, встановлених на підставі логічних законів. Розрізняють два етапи в розвитку символічної логіки, в межах якої будували різні формально-логічні системи, які отримали назву "класична символічна логіка" та "некласична символічна логіка".

У межах класичної символічної логіки (формально-логічних систем, побудованих методом формалізації) розрізняють такі рівні формування логічного знання:

- логіка висловлювань (логічне числення першого порядку);

- розширення логіки висловлювань через створення нової формально-логічної системи, яка отримала назву "логіка предикатів" ("логічне числення другого порядку").

На кожному рівні формування логічного знання розробляють особливу формалізовану мову, за допомогою якої створюють формально-логічну систему. Формалізована мова першого і другого порядку - мова символічної логіки, що складається з алфавіту цієї мови. До формалізованої мови першого порядку належить мова логіки висловлювань, а до формалізованої мови другого порядку - мова логіки предикатів.