Логіка - Карамишева Н.В. - Відношення логічного слідування між формулами

Між певними формулами логіки висловлювань існує відношення логічного слідування. Це означає: якщо із формули виду слідує формула виду то кожен раз, коли формула Р є істинною, то й формула Р2 є істинною. Формальний вираз відношення логічного слідування: Р, -" Р2. Наприклад, із формули виду А слідує формула виду А v В; із формули виду -> -o А слідує формула виду А; із формули виду А v А слідує формула виду А.

На підставі встановлення відношення рівносильності та слідування здійснюють операцію доведення певних формул на істинність за правилами виведення. Операція доведення - невід'ємна частина будь-якого числення висловлювань.

Числення логіки висловлювань - система символів і правил логічного виведення із аксіом довільних формул або теорем з метою їх доведення на істинність. Розрізняють натуральне й аксіоматичне числення логіки висловлювань.

Натуральне числення логіки висловлювань відтворює логічну будову звичайних міркувань. Вперше натуральні числення розробили незалежно один від одного польський логік С. Яськовський (1906-1965) і німецький логік Г. Генцен (1907-1945) у 30-х роках XX ст.

Розглянемо одну із систем натурального числення, яку позначимо літерою 5. Основні правила системи 5.

1. Правила логічного слідування

(А -> В, А) -" В (правило модус поненс); (А -" В, -і В) -" -" А (правило модус толленс); (А, В) -> А л В (правило ВК - введення кон'юнкції); (А л В) -> А; (А л В) -> В (правило УК - усунення кон'юнкції);

А-> (А v В); В -" (А v В) (правило ВД - введення диз'юнкції);

(А 1 В, А) -" -і В; (А 1 В, - В) -" А (правило УД - усунення диз'юнкції);

((А -> В, В -> А)) -" (А = В) (правило ВЕ - введення еквівалентності);

(А = В) -> (А -> В); (А = В) -"(В -> А) (правило УЕ - усунення еквівалентності));

А -> -і -і А (правило (В32) - введення подвійного заперечення);

-" -і А -> А (правило У32 - усунення подвійного заперечення).

2. Правила побудови доведення.

2.1. Правила побудови прямого доведення. Пряме доведення формули А1 -> (А2 ... (Ая -> С) будується в такий спосіб. На будь-якому кроці доведення можна визначити:

1. Одну із формул А., А2,... Ап як припущення.

2. Формулу, що випливає з раніше невизначених формул за правилами логічного слідування.

3. Раніше доведену формулу.

Пряме доведення формули вважають побудованим, якщо відповідно до 1-3 ми отримуємо послідовність формул, котрі завершуються формулою С. Наприклад, доведемо

2.2. Непряме доведення формули А, -> (А2 -" (Ал -> С) будується так: На будь-якому кроці доведення можна визначити:

1. Одну з формул А,, А2,... Ая як припущення.

2. Формулу, що суперечить формулі С.

3. Формулу, що випливає з раніше визначених формул за одним із правил логічного слідування.

4. Раніше доведену формулу.

Непряме доведення формули А, -> (А -> (Ая -> С) вважають побудованим, якщо відповідно до 1-4 ми отримуємо послідовність формул, котрі містять пару формул, що перебувають у відношенні суперечності й завершуються однією з них. Доведемо формулу ((А -" В) а -> В) -> -" А.

Доведення:

Аксіоматична побудова числення висловлювань

Логічні системи такого типу називаються гільбертовськими за ім'ям німецького математика Д. Гільберта (1862-1943). Порівняно із системами натурального числення в численнях гільбертовського типу формальна структура доведення суттєво відрізняється від логічної будови звичних міркувань.

У процесі побудови числень висловлювань гільбертовського типу вибирають кінцевий запас логічних тотожностей як аксіом і зазначають правила, за допомогою котрих можна отримати з аксіом нові логічні тотожності як теорем відповідної логічної системи.

Розглянемо систему 5, в якій аксіомами є такі формули: А, А (В -" А)

Єдиним правилом виводу є правило модус поненс (А -> В, А) -> В.

Доведення в системі 8 формули будується в такий спосіб. На будь-якому кроці доведення можна визначити:

1. Одну із аксіом.

2. Формулу, що слідує із раніше визначених формул за правилом модус поненс.

Доведення формули Р вважають побудованим, якщо відповідно до 1-2 отримуємо послідовність формул, що завершуються формулою Р. Наприклад, доведення формули А А будують так. Доведення:

Металогічна оцінка логіки висловлювань

На рівні мета-логічного аналізу визначають, що логіка висловлювань (ЛВ) відповідає принципам побудови формально-логічних систем:

- принципу несуперечності, тобто в ній не виводять жодних двох формул, одна з якої була б запереченням іншої;

- принципу повноти, тобто всі тотожно-істинні формули є доведеними формулами ЛВ;

- принципу розв'язуваності, тобто в ЛВ існує алгоритм, який дає змогу для будь-якої формули виду А встановити, доведена вона чи ні.

Інтерпретація логіки висловлювань (ЛВ) означає:

- роз'яснення смислу логічних символів, що позначають пропозиційні змінні (логічні сполучники) у складному висловлюванні;

- побудову семантичної моделі з метою визначення істиннісних значень виразів формалізованої мови ЛВ та опису цих значень.

Логіка висловлювань може бути інтерпретована у всіх сферах діяльності людей (науковій, філософській, юридичній, економічній та ін.), де необхідна точність міркувань і строгість виведення з істинних засновків істинного висновку.

Логіка висловлювань, в межах якої визначені закони слідування (виведення) одних висловлювань із інших, може бути інтерпретована в міркуваннях, де має місце строге виведення. Наприклад, логіки і математики визначили інтерпретацію логіки висловлювань у теорії релейно-контактних схем, у теорії автоматів тощо. Для інтерпретації логіки висловлювань задають клас (множину) висловлювань, у межах якої висловлювання з певним змістом може бути формалізовано мовою логіки висловлювань й інтерпретована певна формула, тобто перетворена на висловлювання, якій надають значення істинності.

Розглянемо операції формалізації висловлювань мовою логіки висловлювань й інтерпретації формул логіки висловлювань у сфері права.

1. "З появою держави та права в суспільстві виникають нові види суспільних відносин: політичні й правові". Для формалізації цього складного висловлювання визначимо його формальну структуру та тип логічного зв'язку. До них належать зв'язки кон'юнкції (і, та), які пов'язують терміни "держава", "право", "політичні й правові відносини", та імплікація (слідування), виражена неявно. Записуємо це висловлювання формально, тобто мовою логіки висловлювань:

2. Побудуємо формулу логіки висловлювань: А1В. Інтерпретуємо її в сфері права. Наприклад: "Державна влада в країні здійснюється або внаслідок дотримання основних прав людини (А) або внаслідок порушення основних прав людини (В)". Строга диз'юнкція унеможливлює водночас співістинність цих двох висловлювань (дотримання основних прав людини) (а) та порушення основних прав людини (В), отже, одне з цих висловлювань (А, В) - істинне, а інше - хибне. Надамо значення істинності висловлюванню А, висловлюванню ж В - значення хибності. Знаходимо значення істинності для цієї інтерпретованої формули А1 В. На підставі таблиці істинності (див. вище) враховуємо: якщо висловлювання А - істинне, а висловлювання В - хибне, то складне висловлювання, що побудоване за формулою А 1 В, - істинне.