Логіка - Карамишева Н.В. - Рівносильні формули логіки висловлювань

Формули називаються рівносильними, якщо таблиці істинності цих формул будуть збігатися. Рівносильні формули називаються ще еквівалентними, бо в процесі кожного набору значень для своїх змінних вони набувають однакового значення істинності або значення хибності (див. таблицю істинності для формули еквівалентності А = В).

Рівносильну формулу можна отримати внаслідок заміни пропозиційних зв'язок на підставі відношення залежності між ними. Визначають, що для будь-якої формули можна назвати рівносильну для неї формулу, яка містить символи -і, V, V. Наприклад, формулу виду -1 А V-" В можна замінити формулою виду -" (А л В), що означає -oА /-іВ = -" (А л В); формулу виду А -> В можна замінити формулою -" А V В, що означає А -> В = -і А V В; формулу А V В можна замінити формулою -" (-"А Л В), що означає А V В =->(-* А Л -> В).

Рівносильні формули називаються законами логіки висловлювань.

Закони логіки висловлювань (ЛВ) - рівносильні, тотожно-істинні формули, що входять до структури класичної символічної логіки як формальної системи. До них належать: закон тотожності, закон несуперечності, закон виключеного третього, закон асоціативності, закон дистрибутивності, закон ідемпотентності, закон комутативності, закон контра позиції, закон поглинання, закон подвійного заперечення, закони де Моргана та ін.

Закон тотожності визначає, що кожне висловлювання є логічним наслідком самого себе. Формальний вираз закону А-> А.

Закон несуперечності визначає, що висловлювання А неправильне, якщо водночас істинні його ствердження і його заперечення. Формальний вираз закону -1 (А л -> А).

Закон виключеного третього визначає, що висловлювання А або істинне, або хибне за значенням істинності, але не може бути водночас істинним і хибним. Формальний вираз закону А 1 А.

Закони тотожності, несуперечності, виключеного третього вперше сформулював Арістотель. Вони є також законами традиційної логіки (див. 3.3). У символічній логіці ці закони розглядають як елементи певної формально-логічної системи і методом побудови таблиці істинності визначають як тотожно-істинні формули.

З виникненням і подальшим розвитком символічної логіки були визначені нові закони логіки висловлювань.

Закон асоціативності (лат. associâtіо - з'єднання) - закон, що визначає еквівалентність кон'юнкції або диз'юнкції з трьома змінними за різного розставлення дужок. На підставі цього закону здійснюють певні логічні операції над висловлюваннями А, В, С для кон'юнкції, диз'юнкції; над класами. Так, ви-

Закон дистрибутивності (лат. (розміщення, розподіл) виражає співвідношення кон'юнкції та диз'юнкції в логічних операціях складання й множення:

Закон експортацїі визначає, що коли змінні А, В, С з'єднані символами кон'юнкції та імплікації, то з істинності кон'юнкції А а В випливає істинність С: (А а В -> С) К А -> (В -> С), де ь- - символ дедуктивного виведення (чит.: якщо істинність кон'юнкції А л В імплікує С, то, якщо істинне А, - випливає з істинності В слідує істинність С).

Закон ідемпотентності (лат. - той, що зберігає те ж саме) означає: добуток двох висловлювань А л А чи сума двох висловлювань А V А еквівалентна самому висловлюванню А, тобто, для кон'юнкції А л А = А (кон'юнкція двох висловлювань А й А еквівалентна А); для диз'юнкції А V А = А (диз'юнкція двох висловлювань А чи А еквівалентна А).

Закон комутативності (лат. - змінюючий) означає, що при множенні (кон'юнкції) та додаванні (диз'юнкції) результат не залежить від порядку змінних. Закон комутативності: для кон'юнкції (А Л В) = {В л А) (чит.: А та В еквівалентне В й А); для диз'юнкції (А V В) = (В V А) (чит.: А або В еквівалентне, що В або А).

Закон контрапозиції (лат. - протиставлення) - закон, за яким імплікації можна протиставити її заперечення: (А -> В) = (-> В -> -o А) (чит.: якщо з висловлювання А випливає висловлювання В, то із заперечення висловлювання В випливає заперечення А).

Закон поглинання визначає, що в кон'юнктивному або диз'юнктивному висловлюванні зі змінними А, В здійснюється поглинання додаткового висловлювання. Закон поглинання: для кон'юнкції А л (А v В) = А (чит.: А й (А або В) еквівалентне А); для диз'юнкції А V (А V В) = А (чит.: А або (А або В) еквівалентне А).

Закон подвійного заперечення визначає, що подвійне заперечення висловлювання А (заперечення заперечення) еквівалентне його ствердженню. Зображають формулами:

1. -" А -> А (чит.: якщо неправильно, що не А, то А);

2* "" -" А = А (чит.: неправильно, що не А еквівалентне ствердженню А).

Закони де Моргана сформулював шотландський логік О. де Морган: