Концепції сучасного природознавства - Карпов Я. С. - 2.9.5 Розвиток аналітичної механіки

2.9.5.1 Принцип Гамільтона

Керуючись ідеєю оптико-механічної аналогії, вбачаючи її насамперед у єдиній математичній формі законів руху променів і матеріальних частинок, Вільям Роуан Гамільтон (1805—1865) використовує в механіці принцип найменшої дії, застосовуючи його для дослідження конкретних явищ. Гамільтон виходив із того, що за умови істинного руху тіл величина, яка дорівнює добутку енергії на час і називається в нього "дією", повинна мати якесь мінімальне значення. Трохи пізніше Гамільтона й незалежно від нього принцип найменшої дії розвиває М. В. Остроградський, який поширив його на більш широке коло явищ. Цей принцип справедливо називається принципом Гамільтона — Острофадського. Він став могутньою математичною зброєю фізики й широко використовується у роботах Максвелла, Гельмгольца, Умова, Ейнштейна, де Бройля, Шредінгера й інших учених.

Перейшовши до механіки, Гамільтон показав значення свого нового варіаційного принципу, а його характеристична функція для задач механіки ("функція Гамільтона") виявилася тотожною енергії механічної системи. Знаючи, як виражається функція Н через координати й імпульси матеріальних точок, які складають систему, можна відразу скласти диференціальні рівняння, що визначають координати й імпульс. Одержана система диференціальних рівнянь ("канонічні рівняння") рівносильна системі рівнянь руху, зокрема — системі рівнянь Лагранжа другого роду, але має особливі властивості, що полегшують її дослідження.

Нарешті, Гамільтон пов'язав свою канонічну систему диференціальних рівнянь першого порядку з відповідним диференціальним рівнянням для частинних похідних, яке, як з'ясувалося, задовольняє його характеристична функція Н. Виникла велика теорія, завдяки якій було створено нову зручну форму рівнянь руху, новий підхід до проблеми їхнього вирішення (інтегрування). Вона висвітлила більш повно й глибоко аналогії між механікою й оптикою, виявила нові можливості геометричної інтерпретації, нарешті, вона привела до встановлення зв'язку між хвильовими й корпускулярними уявленнями — але останнє досить повно виявилося лише через століття.

Необхідно зазначити, що описану вище теорію Гамільтон ще не зміг сформулювати в загальному й закінченому вигляді. Узагальнення результатів і методів Гамільтона, усунення зайвих обмежень, ретельна розробка математичних методів є заслугою К. Г. Якобі та М. В. Остроградського.

2.9.5.2 К. Г. Якобі

Карл Густав Якобі (1804-1851) — один з найвідоміших німецьких математиків і механіків першої половини XIX ст. Основна праця Якобі з механіки — його чудові "Лекції з динаміки ". Ці лекції являють собою розвиток класичної аналітичної механіки Лагранжа і містять багато нових ідей як з математики (теорія диференціальних рівнянь у частинних похідних, обчислення геодезичних ліній на еліпсоїді), так і з механіки.

Вихідним моментом досліджень Якобі з механіки є принцип Гамільтона-Остроградського. У своїх "Лекціях" Якобі розвинув теорію канонічних рівнянь Гамільтона, істотно розширивши клас механічних систем, до яких вона застосовувалася. Найважливіший результат К. Якобі — його теорема про те, що канонічні рівняння є рівняннями характеристик певного диференціального рівняння в частинних похідних першого порядку, тобто інтегральні поверхні зазначеного рівняння в частинних похідних складаються з інтегральних кривих системи канонічних рівнянь, що визначають рух механічної системи. Тим самим інтегрування канонічних рівнянь зводиться до визначення повного інтеграла рівнянь у частинних похідних.