Математична статистика - Руденко В.М. - 5.3. ПЕРЕВІРКА ОДНОРІДНОСТІ ВИБІРОК

У дослідженнях з педагогіки чи психології часто виникає необхідність з'ясувати, чи розрізняються генеральні сукупності, з яких узято вибірки. Наприклад, чи відрізняються між собою експериментальна і контрольна група учнів за результатами тестування навчальних досягнень. Методи перевірки статистичних гіпотез про однорідність вибірок можуть бути реалізовані на основі параметричних і непараметричних критеріїв для незалежних (незв'язаних) і залежних (зв'язаних) вибірок. Отже, гіпотези про однорідність вибірок - це гіпотези про схожість або відмінність двох і більше вибірок.

Для варіанту незалежних вибірок постановка математико-статистичної задачі виглядає так: дві вибірки обсягом п₁ і п₂ взято випадковим методом з двох генеральних сукупностей, неперервні функції розподілу яких Р₁(х) і Р₂(х) є невідомими. Потрібно перевірити їхню однорідність (неоднорідність). Нульова й альтернативна гіпотези мають вигляд:

Но: Р1(х) = Р2(х); Яі: Р1(х) Ф Р2(х).

В математиці розроблено декілька методів (критеріїв) перевірки однорідності двох незалежних вибірок. Проте з точки зору прикладної статистики у дослідника нерідко виникає проблема оптимального вибору критерію перевірки однорідності. Тому розглянемо і проаналізуємо особливості та можливості використання декількох критеріїв.

Критерій Стьюдента t

Для перевірки однорідності незв'язаних вибірок нерідко використовується критерій Стьюдента і, статистика якого має вид:

де X1 і X2, s₁² і s^у, п₁ і п₂ - середні, дисперсії та обсяги першої і другої вибірок відповідно.

Критичне значення критерію і_кр для заданого рівня значущості а й числа ступенів вільності (п₁+п₂-2) можна отримати з таблиць розподілу Стьюдента, а також за допомогою функції =СТЬЮДРАСПОБР(). Якщо | і | > | і_кр|, то гіпотезу однорідності (гіпотезу Н₀ про відсутність розходження) відхиляють.

Приклад 5.5. Перевірити статистичні гіпотези на рівні значущості 0,05 щодо однорідності двох незалежних вибірок за критерієм Стьюдента (емпіричні дані рис. 5.11 представлено умовними значеннями).

Послідовність рішення:

o Ситуації відповідає варіант неспрямованих гіпотез: Н₀: /і} - /і₂ = 0 (ці не відрізняється від /г₂);

Ні: ц_} - ц₂ Ф 0 (и_} відрізняється від /г₂).

o Перевірка припущень: розподіл досліджуваних параметрів, а також дисперсії невідомі; вибірки незв'язані; обсяги вибірок різні; виміри інтервальні.

o Розрахунки емпіричного критерію показано на рис. 5.11 і 5.12. Емпіричне значення критерію і_емп можна оцінити також з елементарних розрахунків:

o Критичне значення і_кр для рівня значущості 0,05 можна отримати за

допомогою функції =СТЬЮДРАСПОБР(), яка повертає значення і_{0 05} ~ 2,03 двобічного ^-критерію, що відповідає варіанту неспрямованих гіпотез.

o Прийняття рішення. Оскільки і_емп<і_0о05, тобто 1,77 < 2,04, нульова гіпотеза Н₀ приймається на рівні значущості 0,05.

o Формулювання висновків. На рівні значущості 0,05 відсутні підстави стверджувати про неоднорідність незалежних вибірок. Проте слід мати на увазі, що статистика критерію Студента перевіряє не збіг функцій розподілу вибірок, а збіг характеристик випадкових величин - математичних очікувань.

Перевірку гіпотез можна провести шляхом визначення ймовірності р_емп за допомогою функції =СТЬЮДРАСП(Б27;Б26+С26-2;2) (див. комірку В29 рис. 5.11 і 5.12 р_ем" ~ 8,48%). Якщо р_емп--0; нульова гіпотеза Н₀ відхиляється. Як бачимо, ця умова не виконується: 8,48% > 5%, а це значить, що нульова гіпотеза h₀ повинна бути прийнята.

Експрес-оцінювання ймовірності р_ем" можна провести і за допомогою функції MS Excel =ТТЕСТ(). Аргументами функції виступають: вибіркові масиви і деякі параметри. Для двобічної моделі нульова гіпотеза h₀ приймається на рівні значущості а, якщо виконується умова а < ТТЕСТ < 1- а, інакше h₀ відхиляється. У комірку В30 внесено вираз =TTECT(B3:B20;C3:C22;2;2) і отримано вже відоме значення, яке дорівнює приблизно 8,48% (див. рис. 5.11 і 5.12). Отже, на рівні значущості а = 0,05(5%) умова 5% < 8,48% < 95% виконується, тому нульова гіпотеза h₀ приймається.

Перевірку статистичних гіпотез щодо однорідності двох незалежних вибірок можна здійснити за допомогою пакета "Аналіз даних" розділ "Двови-бірковий t-тест з однаковими дисперсіями" (рис. 5.13).

Рис. 5.13. Меню пакета "Аналіз даних"

Для реалізації цього засобу у відповідне діалогове вікно необхідно ввести параметри, як показано на рис. 5.14, виконати команду "ОК" і отримати результати т-тестування (рис. 5.15).

Рис. 5.14. Діалогове вікно "Двовибірковий ?-тест з однаковими дисперсіями"

Рис. 5.15. Результати двовибіркового ?-тесту

Двовибірковий ?-тест (рис. 5.15) розраховує значення основних статистик (середні, дисперсії), емпіричних і теоретичних критеріїв, що дає можливість приймати статистичні рішення аналогічні попереднім. Проте цей метод передбачає виконання вимоги рівності дисперсій сукупностей.