Страхування - Базилевич В.Д. - 21.2. Структуровані моделі індивідуальних позовів

Для зручності роботи з випадковою величиною індивідуального позову X допускається її структурування. Наприклад, у розглянутих вище моделях страхування життя природно записати величину X як добуток Х = І-У_У де випадкова величина / дорівнює 1 або 0 відповідно до того, чи відбувся чи страховий випадок, а величина У описує розмір страхової виплати у випадку, коли позов дійсно було подано. Зрозуміло, що величина X є індикатором події X > 0:

^1, якщо X > 0, 0, лкшоХ = 0.

Такимчином,Р(/ = 0)=Р(Х = 0)=р₀,Р(7 = 1) = 1-Р(Х = 0) = =1-Аг

Розподіл випадкової величини У буде мати такий вигляд:

Р(У = Ь.)=Р(Х = Ь./Х>0) = ^Р(^{Х = Ьі}>±-%- ,і = 1,2,...,п, ⁴ " ¹ Р(Х>0) 1-р₀

Аналогічно через умовні ймовірності можна підрахувати розподіл X через розподіл У та розподіл індикатора /. Очевидно, що Р(Х = 0) = Р(І = 0). Далі для Ь,>0 Р(Х = Ь,)= = Р(У = о, / / = 1) o Р(І = 1). Оскільки розподіл позову, що був дійсно поданий, завжди розглядається за умови, що 1=1, можна записати:

Р(Х = Ь_І) = Р(У = Ь_І)-Р(/ = 1).

Для прикладу 21.1 Р(/ = 1) = з₁ + <?₂ =0,014, Р(7 = 0) = = 1-0,014 = 0,986.

Р(У = 10000)=^і = 0,286; Р(У = 5000) = ^^ = 0,714. ⁴ ' 0,014 ⁴ ' 0,014

Таким чином для дослідження розподілу індивідуального позову можна задавати розподіл величини позову У, що був дійсно поданий, та розподіл індикатора цієї страхової події.

У деяких видах страхування одна угода може призвести до декількох позовів протягом своєї дії. Типовим прикладом є страхування автомобілів. У цьому випадку природно записати величину X у вигляді суми

Х = У₁+У₂+... + У_>,, де випадкова величина v описує кількість позовів, породжених цією угодою за час її дії, а випадкові величини У, описують величини позовів, що були дійсно подані.

Зазвичай припускають, що в останній моделі випадкові величини У,,У₂,... та v є незалежними, хоча більш детальний аналіз низки випадків свідчить про залежність. Наприклад, після ремонту автомобіль має більше шансів потрапити в аварію, а її наслідки можуть бути тяжчими.

Якщо випадкові величини У^У^,... та v - незалежні, а У^,У₂,... - однаково розподілені, то

МХ = МуМУ₁,2)Х = ЛГуі)У₁+і)у(МУ₁)². (21.1) Формули (21.1) буде доведено у розділі 26 (формули (26.5) та (26.6)). З цих формул можна отримати корисні результати для структурованих моделей X = / o У:

лfx=:ЛfУ-p(^=l),^)x=I>yop(J=l)+(мy₁)²op(^=l)-p(^=o).

Опис індивідуального позову за допомогою структурованих моделей зручний тим, що дає змогу розділити вплив різних факторів на величину позову від цієї угоди. Як правило, на частоту настання страхових випадків, що описується величинами І та v, впливають одні фактори, а на величину позову, що був дійсно поданий і описується змінною У, зовсім інші.

Можливі й інші форми структурування величини позову, пов'язаного з однією угодою страхування. Наприклад, величину позову X у разі автомобільної катастрофи можна представити у вигляді Х = І'(ЬЬ₁ +6₂), де І - індикатор події "відбулась катастрофа", Ь - кількості пасажирів у автомобілі, 6 - величина страхової виплати на одну людину, Ь - величина страхової виплати за автомобіль.

21.3. Неперервні моделі індивідуальних позовів

Оскільки індивідуальний позов X завжди має атом у нулі, тобто з ймовірністю, досить близькою до одниці, дорівнює 0, то, говорячи про неперервну модель індивідуального позову, мають на увазі, що неперервний розподіл має величина позову У, який був дійсно поданий. Випадкова величина У додатна, тоді функція розподілу Е(х) = Р(У < х) і щільність /(*) = ^'(лг) дорівнюють 0 для від'ємних значень х. Таким чином, числові характеристики величини У можна записати згідно зі загальними формулами теорії ймовірностей.

Математичне сподівання (середнє) МУ = ГхДО (х) і дис-

⁰

персія І)У = МУ² -(ЛГУ)², де МУ² = х*аЩх). У випадку, коли

⁰

існує щільність, то МУ = х^х)сІх = |(1 - Р(х)<іх, МУ² =

" ж 0 0

= Іх^іНх)<іх^2{х(1-Р(х))<іх. о о

Найпопулярнішими функціями розподілу величини позову У, що був дійсно поданий, є такі.

1. Рівномірний розподіл на відрізку [а, Ь] із функцією розподілу

0, якщо х < а, х - а

, якщо а < х < о,

1, якщо х > Ь.

Щільність рівномірного розподілу обчислюється за формулою

0, якщо х <: а або х>Ь,

№ = і

6-а

якщо а < х < Ь,

а математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації обчислюються за формулами

.а + Ь "" (Ь-а)² Ь-а Ь-а

МХ =-;І)Х = ---;о_х=-т=г,с, -

12 ' ^х 273' 73(6+а)

Приклад 21.2. Нехай ймовірність потрапити в аварію для застрахованого автомобіля вартістю 100 000 грн дорівнює д = 0,0003. У випадку аварії вартість збитків У розподілена рівномірно від нуля до повної вартості автомобіля.

Обчислимо математичне сподівання та дисперсію величини позову X. Спочатку знайдемо числові характеристики величи-

100000

ни збитків У: математичне сподівання МУ =-= 50 000,

ПО⁵*^{2 2}

дисперсія ВУ = ¹ ' "8,3-Ю⁸.

Тепер знайдемо математичне сподівання величини позову X: МХ = МУ = 50 000 0,0003 = 15. Дисперсія величини позову £)Х = 2)У*с/ + (МУ)²д(1-д)"10^(і. Середнє квадратичне відхи-

лення а = у2)Х =1000, коефіцієнт варіації с = -^^~66. Тут

була використана формула (21.1).

2. Експоненціальний (або показниковий) розподіл з параметром Х>0 із функцією розподілу Е(х) = 1-е~^Хх, х>0. Щільність експоненціального розподілу /(#) = Хе^_х*, х > 0.

Математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації експоненціального розподілу обчислюються за формулами

3. Розподіл Парето з параметрами А.>0 та а>0 із функцією розподілу Р(х) = 1 -1---] ,д:>0 та щільністю

Х+х;

XХ + х)

Основні числові характеристики випадкової величини,

що має розподіл Парето, дорівнюють МУ = ,

а-1

™ _ А.² а X І а / а

" (а-1)'(а-2)' ^СТх"а-1 а-2' ^х^Уа-2"

4. Гамма-розподіл з параметрами X > 0 та а > 0 із функцією

щільності "а

/(*)=-*^а~ V^х*, х>0, Па)

^{де Г(а)= |га_,е~'гі* - класична гамма-функція. Математичне}

сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації гамма-розподДлу обчислюються за формулами г- ,

МУ = -₉ ПУ=- ,о_х=-,с_х=-=. XXX >Лх

Порівнюючи ці розподіли, слід зазначити, що рівномірний розподіл позовів не є типовим для реальних статистичних даних. Як правило, для багатьох видів страхування характерна наявність великої кількості малих позовів і разом з тим можливі великі позови. Експоненціальний розподіл у цілому відображає такий характер величини позову, але, по-перше, в межах експоненціальної моделі великі позови теоретично можливі, проте реально на практиці ніколи не спостерігаються. Це пов'язано з тим, що ймовірність позову, яка перевищує середнє значення, скажімо, у 20 разів, дорівнює Р(У>20/Х) = =е~^х'^20/х "2*10~⁹, тобто вкрай мала. По-друге, для експоненціально розподілених величин середнє значення дорівнює се-редньоквадратичному відхиленню. Це досить жорстка умова, яка може не виконуватись для низки видів страхування.

На відміну від експоненціального розподілу, для розподілу Парето ймовірності великих значень позовів відносно великі: вони спадають за степеневим, а не показниковим законом. Іншими словами, розподілу Парето відповідає частіше виникнення великих позовів. Наприклад, ймовірність позову, що перевищує середнє значення у 20 разів, дорівнює

( у

< а-1>

Це у 3,75-10⁵ разів більше, ніж аналогічна ймовірність для експоненціального розподілу.

Гамма-розподіл у певному сенсі займає проміжне положення між експоненціальним розподілом та розподілом Парето. За великих значень х щільність гамма-розподілу спадає швидше, ніж щільність розподілу Парето, але повільніше, ніж експоненціальна щільність. Зазначимо, крім того, що при а>1 гамма-розподіл добре моделює ситуацію, коли здебільшого позови групуються навколо деякого значення, а невеликі позови хоч і можливі, але малоймовірні.

Гамма-розподіл відіграє винятково важливу роль в актуар-ній математиці, оскільки виникає в цілій низці розділів, зовнішньо ніяк між собою не пов'язаних. Наприклад, відомий розподіл %² ("Хі-квадрат") є гамма-розподілом з параметрами

X = 0,5, а = -. Сума п незалежних випадкових величин, що ма-2

ють експоненціальний розподіл з параметром X, має гамма-розподіл з параметрами X та а = л. Саме тому у подальших дослідженнях ймовірності банкрутства страхових компаній гамма-розподіл було обрано як основний розподіл.