Страхування - Базилевич В.Д. - Розділ 22. МОДЕЛІ ПРОЦЕСУ ПОЗОВІВ

22.1. Статична модель для кількості позовів за фіксований проміжок часу.

22.2. Динамічна модель для кількості позовів за фіксований проміжок часу.

22.3. Від'ємний біноміальний розподіл.

Нещасні випадки, які призводять до подання позовів, відбуваються у непередбачувані моменти часу. Невизначеність цих моментів є такою ж важливою компонентою ризику в діяльності компанії, як і невизначеність величин самих позовів. Одне з головних припущень теорії ризику полягає у тому, що процес настання страхових випадків та величини пов'язаних з цим позовів можуть і повинні досліджуватись окремо. Наприклад, частота автомобільних аварій серед власників страхових угод з деякою компанією залежить від вікової структури клієнтів компанії (зрозуміло, що ймовірність потрапити у аварію велика для молодих людей та людей похилого віку), погоди у цьому регіоні у проміжок часу, що досліджується, тощо. Однак ці фактори не впливають на розмір страхової виплати на ремонт автомобіля після аварії; ця сума передусім визначається маркою автомобіля.

У найбільш загальному випадку процес позовів - це довільний точковий процес, тобто довільна випадкова послідовність точок Т_і9Т₂,... на вісі часу. Однак реальні статистичні дані вказують на те, що цей процес має певні властивості й може бути досить точно описаний за допомогою відносно простих моделей. Найбільш важливою є пуассонівська модель, у якій припускають, що інтервали між позовами T₂-T_ltT₃-T_2> ... - незалежні та однаково розподілені за експоненціальним законом з деяким параметром X (іншими словами, процес позовів є пу-ассонівським процесом з інтенсивністю X). Крім того, нерідко нас цікавить лише загальна кількість позовів v(r) за деякий проміжок часу тривалістю t. Імовірнісні характеристики величини v(f) тісно пов'язані з характеристиками процесу позовів Т,, jT₂,... та, якщо для цього процесу придатна певна проста модель, можуть бути описані в дуже простих термінах. Наприклад, якщо процес є пуассонівським із інтенсивністю Х_у то величина v(r) має пуассонівський розподіл із параметром Xt.

22.1. Статична модель для кількості позовів за фіксований проміжок часу

Найпростіша модель, що описує надходження позовів, базується на таких припущеннях:

1) аналізується фіксований проміжок часу;

2) кількість угод N фіксована та невипадкова;

3) кожна угода за проміжок часу, що розглядається, може призвести лише до одного позову (а може й не призвести до позову);

4) ризики, пов'язані з угодами, незалежні, тобто настання чи ні страхового випадку за однією угодою не впливає на настання страхових випадків за іншими угодами;

5) угоди однорідні в тому сенсі, що ймовірність позову д за проміжок часу, який розглядається, одна для всіх угод;

6) ми цікавимось лише загальною кількістю позовів v за проміжок часу, що розглядається, не звертаючи уваги на моменти настання позовів.

За наведених припущень можна показати, що розподіл кількості позовів задається формулою

Р(у = і) = С^і"_Я^,р^к-р = 1-Я, тобто має біноміальний розподіл. Середнє значення кількості позовів М? = Ид, її дисперсія £>у = ІУ/?с;.

В описаній моделі природно припустити, що кількість угод N велика, а ймовірність подання позову £ мала. При цьому середня кількість позовів Му ~ г/с;, за проміжок часу, що розглядається, наближається до числа А,, тобто Му-► Л. при г/->оо, £-"0. В цій ситуації можна наблизити біноміальний розподіл для кількості позовів більш простим розподілом Пуассона:

Це твердження має назву "теорема Пуассона". Математичне сподівання та дисперсія кількості позовів у цьому розподілі дорівнюють Му = £)у = X.