Страхування - Базилевич В.Д. - 21.4. Рандомізація розподілів

Ідея рандомізації винятково важлива при описі індивідуальних позовів з позиції портфеля як єдиного цілого. Розглянемо, наприклад, портфель з N угод страхування життя на один рік. У цьому випадку індивідуальний позов X,, пов'язаний з і-ю угодою, набуває два значення: 0 та 1 із ймовірностями р і о/ відповідно (тут ми приймаємо величину страхової виплати як одиницю виміру грошових сум). Якщо припустити, що параметр q цього розподілу однаковий для всіх угод, це буде означати повну статистичну однорідність портфеля. Однак насправді ймовірність позову д залежить від віку х застрахованого д = д_х, і тому змінюється від позову до позову. Розподілимо портфель на групи угод відповідно до віку застрахованого; нехай N -

. . . . Я_х

кількість угод, власники яких мають вік х років, а_х ^=_^" -

частка осіб у віці х років серед клієнтів компанії.

Якщо ми цікавимось індивідуальними позовами з позицій портфеля як єдиного цілого, то це означає, що ми розглядаємо навмання обрану угоду. Оскільки угода вибирається випадково, ймовірність позову q від цієї угоди також є випадковою величиною. Ця величина набуває конкретного значення q , якщо власник обраної угоди має вік х років; ймовірність цієї події дорівнює частці а_х осіб у віці х років серед клієнтів компанії.

Тепер безумовна ймовірність позову може бути визначена

як

Р (був позов / вік застрахованого = х років) o Р (вік особи = х років), і тому Р (був позов) = Р (був позов) = ^ <7_хо:_х.

x

Вираз у правій частині цієї формули можна трактувати як середнє значення ймовірності q, якщо розглядати її як випадкову величину, що набуває значення q_x із ймовірністю а_х.

Таким чином, можна сформулювати загальну процедуру. Нехай розподіл величини позову F(x)> залежить від деякого параметра 9 і за відомого значення 0 = у є розподілом відомого виду F(x, у). Припустимо тепер, що параметр 8 у свою чергу є випадковою величиною з розподілом G (у). Тоді безумовний розподіл величини позову такий:

+00

F(x) = M₀F(x, 9)= F(x, y)dG(y)

-OD

Ця процедура отримання розподілу величини позову називається рандомізацією, а останній розподіл називається сумішшю.

Операція рандомізації дає змогу врахувати неоднорідність портфеля угод та природним чином отримати ряд розподілів, які дуже добре описують реальні статистичні дані. Вона дає можливість також по-новому розглянути відомі класичні розподіли. Зокрема, якщо величина У позову, що був поданий, має експоненціальний розподіл з параметром 9, який змінюється від угоди до угоди і для навмання вибраної угоди має гамма-розподіл з параметрами X та а. Тоді безумовна щільність є в точності щільністю розподілу Парето з параметрами а і X.

21.5. Моделювання спеціальних умов угод страхування

Розглянемо деяку угоду страхування, за період дії якої може бути подано лише один позов. Позначимо через V втрати клієнта за цей проміжок часу. Розглянемо також структурова-ну модель виду U = JoZ, дее/ - індикатор події "був нещасний випадок", а випадкова величина Z описує розподіл втрат клієнта за умови, що вони дійсно були. У попередніх моделях неявно припускалося, що позов X до страхової компанії подавався на всю величину втрат £/. Відповідно, індикатор / події "було подано позов" збігається з індикатором J події "відбувся нещасний випадок", а величина У, що описує реальні виплати страхової компанії у випадку подання позову, збігається з величиною Z в останній моделі.

Однак реально угоди страхування містять деякі додаткові умови, які призводять до того, що сплачується не вся величина збитків, а лише її деяка частина. Наприклад, якщо втрати клієнта менші за деяку величину сі, то позов взагалі не розглядається; якщо втрати клієнта перевищують поріг сі, то задовольняється лише частина позову, яка перевищує поріг &, Цю умову можна виразити формулою

ГО, якщо£/ <>сі,

и-сі, якщо и ><і. Можна показати, що розподіл величини позову У, що був дійсно поданий, пов'язаний з розподілом величини дійсних збитків X формулою

Припустимо тепер, що угода страхування містить таку умову: втрати клієнта відшкодовуються лише до деякої суми Ь. Іншими словами, якщо втрати клієнта менші, ніж Ь, то компанія повністю їх відшкодовує, а якщо втрати перевищують рівень Ь, то компанія відшкодовує лише суму її. Цю умову можна подати за допомогою формули

Р(Уйх) =

и, якщо и < її, Ь, якщо и>Ь. Розподіл величини позову, що був дійсно поданий, задається формулою

1, якщо х>Ь,

Р^^х), якщох<Ь. Приклад 21.3. Величина збитків за аварії автомобіля (за умови, що аварія сталася) має експоненціальний розподіл із середнім значенням 10 000 грн. Страхова компанія встановила верхню межу своїх виплат, яка дорівнює 20 000 грн.

Обчислимо математичне сподівання величини позову, який дійсно було подано.

Ймовірність того, що величина позову У, який було подано, перевищує деяку величину х:

0, якщолг^Ь,

Р(£>х), якщох<£. Ця функція є доповнювальною до функції розподілу величини У. Отже,

Р(У>х)

МУ = Р(У > х)йх = Р(2> х)<1х = | "^ІооаоЛе =

о

10 000 - (1-е"²) * 8647 грн.

■10 000е^,000°20000

Висновки

1. Уведено поняття індивідуального позову. Розгянуто дискретні моделі індивідуальних позовів, неперервні моделі індивідуальних позовів.

2. Для того щоб розділити вплив різних факторів на величину позову, застосовуються структуровані моделі індивідуальних позовів.

3. Найбільш популярними розподілами, які використовуються в актуарній математиці є рівномірний, експоненціальний, розподіл Парето, гамма-розподіл.

4. Якщо параметри розподілу можуть змінюватися, то для підрахунку функції розподілу індивідуального позову використовується процедура рандомізації.

5. Також розглянуто питання моделювання спеціальних угод страхування (обмежені суми відшкодування, поріг відшкодування і т. ін.).

Навчальний тренінг

Основні терміни і поняття

Індивідуальний позов; дискретна модель індивідуального позову; числові характеристики індивідуального позову; індикатор страхової події; структурована модель індивідуального позову; неперервна модель індивідуального позову; функція розподілу; щільність розподілу; рівномірний розподіл; експоненціальний розподіл; розподіл Парето; гамма-розподіл; ран-домізація розподілів.