Страхування - Базилевич В.Д. - Навчальний тренінг

Модель, описана вище, є статичною, тобто не містить сценарію надходження позовів у часі. Вона фіксує лише взаємодію індивідуальних угод. У динамічній моделі фіксується взаємодія кількості позовів, що надійшли за різні проміжки часу, які не перетинаються, та ігнорується структура портфеля і взаємодія індивідуальних угод. Тому вона є прийнятною і для опису процесу позовів від окремої угоди, якщо угода за час своєї дії може призвести до декількох позовів (як це буває, наприклад, при страхуванні автомобілів).

Позначимо - кількість позовів, що надійшли за час (0; і)* Через цю величину можна виразити і більш складну величину у(і₁₍ £₂), яка дорівнює кількості позовів, що надійшли за проміжок часу (*_х; і₂). Зробимо такі припущення.

1. Процес надходження позовів є стаціонарним, тобто розподіл випадкової величини у(і₁₉ і₂) залежить від довжини і₃ проміжку (£(; і₂), що розглядається, і не залежить від його розташування на часовій вісі. Іншими словами, розподіл кількості позовів, що надійшли за будь-який проміжок (т;т + і), залежить тільки від і; позначимо Р_п (і) ~ Р(у(т, т + г) = л).

2. Процес є ординарним у тому сенсі, що надходження двох або більше позовів за малий проміжок часу Ді практично неможливе. Це твердження можна виразити рівністю P(v(t, т+Лг)^2) = о(Лг).

3. Процес надходження позовів не має післядії, тобто величини v(t,, t₂), v(f₂, t₉)_t...,v(t_n__l9 t_n) t_x <t₂<...<t_n є незалежними. Ці величини виражають кількість позовів, які надійшли за проміжки часу, що не перетинаються.

Наведені припущення є досить природними як при описі надходження позовів від усього портфеля угод, так і при описі надходження позовів від індивідуальної угоди у випадку, коли угода за час своєї дії може призвести до декількох позовів.

Описана вище динамічна модель процесу позовів з необхід-

(XtY

ністю призводить до того, що для деякого X > 0 Р (г)=-е~^и,

.... пі

тобто розподіл кількості позовів, що надійшли за фіксований

проміжок часу, обов'язково є пуассонівським (доведення цього твердження можна знайти у праці Г.І. Фаліна¹). Параметр X називається інтенсивністю процеса v(r) і знаходиться як середнє число позовів в одиницю часу.

Зазначимо найбільш важливі властивості пуассонівського процесу.

1. Інтервали між надходженнями позовів мають однаковий експоненціальний розподіл з параметром X.

2. Ймовірність надходження позову за малий інтервал часу (t, t + h) не залежить від надходження позову до моменту t і дорівнює Xh + o(li).

3. Інтервали часу між надходженнями позовів - незалежні випадкові величини.

4. Момент Т_п надходження (подання) п-го позову має гам-ма-розподіл з параметрами X та а = п (розподіл Ерланга), тоб-

X^я

то щільність Т_п має вигляд (х)=-- o x*~^le~ , х > 0.

б. Якщо відомо, що на інтервалі (0, І) був поданий позов, то момент його подання має рівномірний розподіл на інтервалі

(0,г), тобто P(Tj <x/v(r) = l)=*, для 0<x<t.

22.3. Від'ємний біноміальний розподіл

Зазвичай X визначається деякими додатковими факторами. Наприклад, при страхуванні автомобілів X залежить від кількості днів з поганою погодою. Оскільки остання величина є випадковою, то природно внести до моделі, що розглядається, поняття зовнішнього випадкового середовища. Математично це означає, що параметр X є випадковою величиною з деякою щільністю розподілу ґ_к(х).

Тому, якщо ми хочемо обчислити розподіл кількості позовів у цій моделі, слід усереднити розподіл Пуассона я, = тс_і (Л.) відповідно до міри /_х(х). Іншими словами, розподіл кількості позовів задається формулою

ао тс

щ =Мщ(Х) = /*,(*)o£(*)<**= Р-е-'Д (*)<**o (22.1)

0 о ¹*

Крім того, як зазначалось вище, пуассонівський розподіл виникає і у разі аналізу кількості позовів за деяких видів індивідуальних угод, наприклад, угод страхування автомобілів. У цій ситуації параметр X розподілу Пуассона описує індивідуальні особливості власника угоди і змінюється від угоди до угоди. Припустимо, що портфель містить N угод, які можуть бути розбиті на деяку кількість к груп з більш-менш однорідними показниками частоти аварійності. Це розбиття може враховувати вік автомобіля, складність маршрутів його поїздок тощо та в узагальненому вигляді зводиться до того, що кількість позовів, викликаних угодами з і-ї групи, відповідає розподілу Пуассона з одним і тим самим параметром Х_г Нехай

- кількість угод в 1-й груш, а_х =-- - частка угод 1-го типу в загальному портфелі. Якщо ми розглядаємо навмання вибрану угоду і не знаємо, до якої групи вона належить, то розподіл кількості позовів, які виникають за проміжок часу, що розглядається, е таким: п_л = ^ Р(у = п / угода належить до і-ї групи) х

х Р (угода належить до і-ї групи) = V--а. = М -е~^х , де

і л! ^д! )

середнє береться за розподілом а,.

Якщо кількість угод велика, то природно описувати розподіл їх за типами за допомогою деякого неперервного розподілу з щільністю f_k{x). Тоді розподіл кількості позовів за проміжок часу, що розглядається, для випадково обраної угоди буде знову мати вигляд (22.1).

Припустимо, що параметр X має гамма-розподіл з парамет-

рами р і а, тобто £(*)=--x^a~^le~**₉ х>0. Як ми зазначали,

Г(а)

гамма-розподіл добре описує ситуацію, коли значення параметра X коливаються навколо деякого значення Х₀; дуже маленькі та дуже великі значення X хоча й можливі, але малоймовірні. Як частинні та граничні випадки воно містить багато інших розподілів. Підставивши щільність розподілу f_x(x) до рівняння (2.1), після нескладних перетворень¹ отримаємо формулу для розподілу кількості позовів

a(a + l)-...(g + i-l)

к, =---р q , (22.ї)

і!

де р = , а=-. Розподіл (22.2) називається від'ємним бі-

р+1 р+1

номіальним розподілом з параметрами р і а. Середнє значення кількості позовів v дорівнює Мv = --, її дисперсія Dv=-

Зазначимо, що для від'ємного біноміального розподілу

Mv .

Dv=-, і тому дисперсія завжди більша за середню. Вико-

Р

ристання реальних статистичних даних свідчить, що від ємний біноміальний розподіл у більшості випадків краще описує ситуацію, ніж пуассонівський розподіл.

Приклад 22.1. У страховій компанії застраховано 10 000 клієнтів на випадок хвороби. Протягом року було зібрано статистику про кількість позовів, що були подані власниками страхових полісів. З'ясувалося, що 8103 клієнта взагалі не зверталися з позовами, 1515 звернулися до компанії один раз, 331 - двічі, 39 - тричі, 10 - чотири рази та двоє клієнтів звернулися з позовами п'ять разів.

Спробуємо спочатку описати дані за допомогою пу ассонівсь-кого розподілу. Враховуючи, що математичне сподівання величини позовів для пуассонівського розподілу М = Х> для

оцінки параметру X візьмемо вибіркове середнє х--у*х,, де

д=10 000 - кількість клієнтів; х₁ - кількість позовів від і-го клієнта. Для даних задачі х = 0,2344 .

Складемо таблицю, яка містить реальні дані за кількістю угод та дані, обчислені за пуассонівською моделлю. Кількість клієнтів, що звернулися до компанії з кількістю позовів і,

X^і

дорівнює тис,, де тс, =-е'^х - ймовірність того, що кількість позовів для цього клієнта буде дорівнювати і.

Таблиця 22.1

Як бачимо, пуассонівська модель погано описує реальні дані. Справді, вибіркова дисперсія

*-1£Ґ

дорівнює для наших даних 0,285, що більш ніж на 20 % перевищує вибіркове середнє, тоді як для розподілу Пуассона математичне сподівання та дисперсія збігаються.

Для від'ємного біноміального розподілу дисперсія більша за математичне сподівання, тому знайдемо параметри а та р цього розподілу. Застосуємо метод моментів, тобто прирівняємо математичне сподівання і дисперсію від'ємного біноміального розподілу до вибіркового середнього х та дисперсії з²: р р

звідки можна визначити параметри р та а:

х х²

р = 4*0,82221, а = -~"1,084.

Побудуємо табл. 22.2, яка містить реальні дані про кількість позовів та дані згідно з від'ємним біноміальним розподілом.

Таблиця 22.2

Як бачимо, тепер співвідношення між реальними та теоретичними даними значно покращилося.

Висновки

1. Для побудови моделей процесу позовів використовується апарат теорії ймовірностей та випадкових процесів.

2. Для знаходження розподілу кількості позовів за фіксований проміжок часу використовуються біноміальний та пуас-сонівський розподіли.

3. За умов стаціонарності, ординарності та відсутності післядії динамічна модель для кількості позовів за фіксований проміжок часу зводиться до пуассонівського процесу.

4. Якщо параметр пуассонівського розподілу у статичній моделі для кількості позовів за фіксований проміжок часу є випадковою величиною, то його рандомізація за відповідних умов приводить до від'ємного біноміального розподілу.

5. Від'ємний біноміальний розподіл у деяких випадках більш точно описує розподіл кількості позовів за фіксований проміжок часу, ніж пуассонівський розподіл.

Навчальний тренінг

Основні терміни і поняття

Процес позовів; статична модель для числа позовів за фіксований проміжок часу; динамічна модель для числа позовів за фіксований проміжок часу; пуассонівський розподіл; пуассонівський процес; від'ємний біноміальний розподіл.