Страхування - Базилевич В.Д. - 24.4. Деякі аналітичні закони смертності

Використовуючи формулу (24.3), отримаємо щільність ймовірності смерті після досягнення віку х. Підставимо у формулу (24.3)2 = *+ Ах

Р(х<Хїх ₊ Ах/Х>х) = ^Р*^{ІХ +} ^⁾-^Р*^іх)*М^. (24.12)

У цьому виразі F_x(x) = f_x(x) - щільність неперервної ви-

f(x)

падкової величини X, "вік у момент смерті". Функція --

(1-.?(*)..

у формулі (24.12) може інтерпретуватися в термінах умовної щільності. Для кожного віку х вона дає значення в точці х умовної функції щільності випадкової величини X за умови дожиття до віку х і позначається через і(х). Тоді

MW-T^ff^- <²⁴¹³⁾

l-F_x(x) s(x)

З властивостей функцій f_x(x) і 1-F(x) маємо, що ц(д:)>0.

У актуарній науці і в демографії и(х) називається інтенсивністю смертності. У теорії надійності, яка досліджує ймовірності безвідмовної роботи механізмів і систем, ця величина називається інтенсивністю відмов.

Як і функція дожиття, інтенсивність смертності може використовуватися для визначення розподілу випадкової величини X. З формули (24.13) для будь-якого додатного у маємо рівність для диференціалів

-u(y)dy = dlns(y). Інтегруючи цей вираз від х до х + п, одержимо

Х+П / v

f / j і ^s(^x + n) , - І u(y)dy = ln--^L = _nPx.

Тоді

x+n

_вр, = ехр{- \x(y)dy). (24.14)

x

Іноді зручно переписати формулу (24.14), зробивши заміну t = у - х:

п

_пр_х =ехр{- ji(x+t)dt}. (24.16)

о

Зокрема ми змінимо позначення з тим, щоб вони відповідали використаним у формулі (24.6), поклавши вік осіб, що вже жили, таким, що дорівнює 0, і позначивши вік дожиття через х. Тоді одержимо

X

хРо = s(x) = ехр{- Ju(r)d*}. (24.16)

о

Крім того,

Р_х (*) = 1 - а(х) = 1 - ехр{- |ц(г)Л} (24.17)

о

і

х

(*) = ехр{-|ц(0Л>Ц<*)=, Ро И". (24.18) о

Нехай іг(_Ж)(г) і позначають відповідно функцію роз-

поділу і щільність Т(х), тривалості майбутнього життя особи (х). Помітимо, що 2^,(0 =і Ч" (див. позначення (24.4)). Таким чином,

/Т(х,(0=-Г иЯ_х)= - 1--=

йІ ОХ . 8(Х) .

, , ^У (24.19)

а(х+г)[ 8'(х+*))

8{х) у в(л;+г)_>

Отже, _ір_хл(х + І)йЧ є ймовірністю того, що особа (х) помре у

віці між гИ + йЬ. Очевидно, що ІіР_жи(х+*)Л = 1.

о

Формулу (24.19) можна подати у такому вигляді:

~а-А)-~(А)-.^*+*). (24.20)

Оскільки Ііт,,^ _пр_х=0, маємо Ііт^^-Іп _пр_х) = -ко. Таким чином,

х+л

Ііт ( и(і/)гіі/ = +оо.

л->оо * X

Використовуючи наступну формулу теорії ймовірностей Р(А^В)=Р(А)+Р(А)Р(В/ А), де А - доповнення до події А, отримаємо корисну формулу. Нехай А = {Г(дс)^г}, £ = {*<Т(х)£1},0<г<1. Тоді Р(АиВ)=Р(Т(х)й1)=Я_я, і⁾(А)=_Ід"аР(В/А)=_и д_ж+г

Отже, д_х = _Ід" + _<р_х1__Ід_ж+<.

x

24.3. Таблиці смертності

Таблиця смертності містить розташовані за віком індивідуумів значення основних функцій d_x і, можливо, додаткових функцій, які можна отримати з них. Перш ніж навести таку таблицю, розглянемо інтерпретацію таких функцій, яка безпосередньо пов'язана з ймовірнісними функціями, що обговорювалися в попередньому розділі.

Згідно з формулою (24.9) умовна ймовірність того, що особа (х) помре протягом г років, обчислювалась так:

8(Х + І)

*?*⁼¹-ІГТ~

s(x)

і, зокрема,

s(x + l)

^ах⁼¹--7~Г'

s(x)

Розглянемо тепер групу з 1₀ новонароджених, поклавши, наприклад, ^=100000.

Для кожного новонародженого випадкова величина "вік у момент смерті" має розподіл, заданий функцією дожиття $(х). Позначатимемо через Цх) кількість осіб у групі, що дожили до віку х. Припишемо всім особам в групі номери / = 1,2,..., і помітимо, що

де /, - індикатор дожиття особи з номером ], тобто

Ґ1, якщо особа з номером j доживе до віку X, ' 10, інакше.

k

Оскільки Jkf[/j] = e(x), то M[L(x)]=Јm[/_/] = /₀s(x).

Нехай l_x = M[L(x)]. Тобто І_х - математичне сподівання кількості осіб, що дожили до віку х з /₀ новонароджених, і

K = k s(x). (24.21)

Далі, в припущенні, що індикатори Ij взаємно незалежні, L(x) має біноміальній розподіл з параметрами п = І_ь і p~s{x).

Зазначимо, проте, що в рівнянні (24.21) не використовувалося припущення про незалежність.

Аналогічно позначимо через " Л_х кількість померлих у віці між х і х + п з початкової сукупності, що складається з людей. Нехай _пгі_в ^яЛ^["І)_Я1. Оскільки для новонародженого ймовірність смерті у віці між х і х + п дорівнює 5(дг)-а(ж + л), використовуючи міркування, що наводилися вище щодо І_х отримаємо

"^ = М["І),]=і₀[5(х)-₈(лс + л)]=І_х-І"". (24.22)

Якщо п = 1, то опустимо лівий нижній індекс у виразах "І)_я і _пй_х. З формули (24.21) видно, що

і ^аі* - ¹ " йх~

І_х ах з(х) dx -dl_x =l_xi(x)dx.

(24.23) (24.24)

Оскільки

Співмножник І_хх(х) у (24.24) можна інтерпретувати як очікувану щільність смертей у віковому інтервалі (х₉ x + dx). Зазначимо, що

/_х=4,-ехр

**₊"=**-ехр

о

с+л

(24.25) (24.26) (24.27)

Для зручності посилань назвемо групу з ^ новонароджених, кожен з яких має функцію дожиття з(х), сукупністю випадкового дожиття.

Нижче наведено таблицю смертності населення Тернопільської області віком до 10 років¹ (табл 24.1). Функції $_х, d_x та о/_л в цій таблиці представлені для ^ =100000. Подібні таблиці не створюються на основі спостереження за 100 000 новонароджених аж до смерті останнього з них, а ґрунтуються на оцінках

ймовірності смерті за умови дожиття до різного віку на основі даних про смертність населення у відповідні роки. Ілюстративні таблиці смертності наведені в деяких роботах¹. Зробимо деякі зауваження щодо таблиці.

1. Очікується, що близько 1 % новонароджених, які входять до сукупності дожиття, помруть на першому році життя.

2. До віку 10 років доживе більше 98 % із групи новонароджених.

3. Відносне збільшення кількості смертей очікується для віку 4, 7 та 10 років.

4. Хоча значення І_х було округлено до цілих чисел, відповідно до формули (24.21) це робити не обов'язково.

Таке представлення, як у цій таблиці, є стандартним методом опису розподілу віку в момент смерті. Іншим способом є представлення функції дожиття в аналітичній формі, наприклад в(л:) = е^-еж, с>0, х> 0. Однак більшість досліджень смертності для потреб страхування використовує вираз 8(х) =-.

Оскільки величина 100 000 б(х) представлена лише для цілих значень Ху при обчисленні в(х) для нецілих значень аргументу необхідно використовувати інтерполяцію.

Приклад 24.1. Використовуючи таблицю, обчислити ймовірність того, що особа у віці трьох роки:

1) доживе до віку 10 років;

2) помре, не доживши до віку 8 років;

3) помре між 6 та 9 роками.

Згідно з формулою (24.8), ймовірність того, що особа віком трьох років доживе до 10 років, дорівнює £&0)₌к₌^ 5.

8(3) /з 98 458 Згідно з формулою (24.9), ймовірність того, що особа віком З роки не доживе до віку 8 років, дорівнює *3)-*(8_{иА = 1}_98258

8(3) /з 98458

Згідно з формулою (24.10), ймовірність того, що особа віком 3 роки помре між 6 та 9 роками, дорівнює

в(6)-в(9) ^-^ 98341-98230

=0,0011

в(3) і, 98 458

Перейдемо тепер до другої, неймовірнісної, інтерпретації таблиць смертності. Вона за природою детерміністична і приводить до поняття сукупності детермінованого дожиття, або когорти.

Сукупність детермінованого дожиття, як видно з таблиці смертності, має такі характеристики:

o спочатку складається з ^ осіб віку 0;

o для членів сукупності в будь-якому віці діють фактичні річні коефіцієнти смертності (вибуття), які визначаються величинами д_х в таблиці смертності;

o сукупність є замкнутою. До неї не може входити ніхто, крім тих ¿0 осіб, які були в ній на самому початку. Вихід із цієї сукупності обумовлений фактичними річними коефіцієнтами смертності (вибуття) і лише ними.

З наведених вище характеристик маємо

А =*о(1-?.)Ч-<*о.

*г=1| (!-",)=*,-<*, =4-(4,+<*.).

='х-. (1-?.-.)=^, -<*,-, = *> "і/*"

і,=о

*о у=о ,

(24.28)

де І_х позначає число осіб, що дожили до віку х у сукупності дожиття. Число ¿0 називається коренем таблиці смертності. Ці рівності можна переписати так:

*2=кРі=0"Ро)Рі*

_{К=К-уРх-1=к}

Пл

(24.29)

720

Між сукупністю детермінованого дожиття і моделлю складних відсотків є аналогія, деякі положення якої підсумовуються в табл. 24.2.

Таблиця 24.2. Поняття теорії складних відсотків і відповідні їм поняття в теорії сукупностей детермінованого дожиття

Заголовки до стовпців табл. 24.1 для І_х*оІ_х,д_х9 р_х належать до сукупності детермінованого дожиття. Хоча математичні основи для сукупностей випадкового і детермінованого дожиття різні, функції І_х, <і_х, 5_Х, р_х мають однакові математичні властивості і аналізуються однаково. Поняття сукупності випадкового дожиття має перевагу в тому, що воно дає змогу користуватися усім апаратом теорії ймовівностей. Сукупність детермінованого дожиття концептуально простіша і її легше використовувати, хоча вона не відображає випадкових коливань чисельності тих, хто дожив до певного віку.

Далі отримаємо вирази для основних числових характеристик розподілів випадкових величин Т(х) і К(х) і виведемо загальний метод обчислення деяких з цих характеристик.

Математичне сподівання Т(х), що позначається через е_х, називається повною очікуваною тривалістю життя. Використовуючи формулу (24.20), отримаємо

00

^{ех = Аї} [Т( х)] ^{= j* o ,pjix+t)d} t =

⁰ (24.30)

00 00

= f*4(-,a)-*-(-,p,)t +*-,Р***-

0 0

З існування M[T(x)] випливає співвідношення Mmt-(-_tp_x) = 0. Таким чином,

І-мо

Z = ),P,dt- (24.81)

0

Повна очікувана тривалість життя у різному віці часто використовується для порівняння рівнів охорони здоров'я країн.

Аналогічно підраховується другий момент:

00 00

М[Т(дс)^г] = і^г ■ ,р_хіх(х+t)dt = 2 ■ _tPldt.

0 0

Тоді дисперсія дорівнює

Л[Г(*)] = М[Г(*)¹]-(М[Г(*)])² =2j* ,P,dtM_x)

о * '

Медіану тривалості майбутнього життя особи {х)₉ яка позначається через т(х), можна знайти як розв'язок рівняння

р(г(х)>т(*))4 або *("*у> Л 2 s(*) 2

відносно m(x). У конкретному випадку тп(0) є розв'язком рівняння s(m(0)) = l/2.

Модою розподілу випадкової величини Т(х) буде те значення t, за якого значення функції _tp_xu(x+t) буде максимальним.

Математичне сподівання випадкової величини К(х) позначається через е_х. Ця величина називається покроковою очікуваною тривалістю життя. Ті числові характеристики дорівнюють:

■*" 00 00 00

е_х = M[K]=^k-_kPxq"_k = Y,4_kp_x - _Mp_a) = Y,^iPx=Y,kPx

*=0 *=0 *=0 h 1

М[ЛГ(*)²] = £*² o _кр,д", = £(2Л+1)- _мРг =£(2Л-1)- ,р,;

*=0 *=0 я=1

ВД = М[ЛГ^Ї]-(М [А"])' = ¿(2/8-1) _іЛ -4.

Символ Ь_х означає загальну очікувану кількість років, прожитих між віком х та х + 1 особами з цієї групи, що містить /₀ новонароджених, які дожили до віку х. Тоді

00

0

де інтеграл у правій частині дорівнює числу років, прожитих тими, хто помер у віковому інтервалі між х та х +1, а І_х+1 дорівнює числу років, прожитих у віковому інтервалі між х та х + 1 тими, хто дожив до віку х + 1. Інтегрування частинами дає і і і

ь" - - * o +Ь + +'"і =

0 0 0

Функція Ь_х також використовується при визначенні вікового коефіцієнта смертності в інтервалі між х і х + 1, який позначається через т_х, де

і

_т _ 0 _ *х *дг+1

0

Наведені вище визначення для т_х і Ь_х можна поширити на вікові інтервали довжиною більшою від одиниці.

п п

^{"ьх=- і ■ імі(х+ті+п ■ і"я=імйі,}

о

п

[і^ріх+фЛ о

Для сукупності випадкового дожиття _пЬ_х є загальною очікуваною кількістю років, прожитих у віковому інтервалі між хіх + п для осіб, що дожили до віку х з вихідної групи, що містить /о новонароджених, а _пт_х є віковим коефіцієнтом смерт

0

п

m =4--=л

ності, що можна спостерігати для цієї групи на інтервалі (х, х + п).

Символ Т_х означає загальну кількість років, прожитих після досягнення віку х особами, що дожили до цього віку з вихідної групи, яка має ^ новонароджених. Маємо

00 00 00

0 0 0

Останній вираз можна інтерпретувати як інтеграл від загального часу, прожитого між віком х + гіх + * + Л групою з І_х+і осіб, що дожили до цього вікового інтервалу. Звернемо також увагу, що Т_х є межею величини _ЛЬ_Х> коли п прямує до нескінченності.

Середня кількість років майбутнього життя для І_х осіб з групи, що дожили до віку х, визначається виразом

т }"* -г o

*дс *х 0

відповідно до формул (24.30) і (24.31).

Знайдемо вираз для середньої кількості років, прожитих між віками х і х + п групою з І_х осіб, що дожили до віку х:

я

т J^х+< т -Т

і " / " І -}*^Р*'

і_х і_х ь_{х 0}

Ця функція є зрізаною (на п -річному інтервалі) повною

очікуваною тривалістю життя для осіб (х) і позначається о

Через ЄхЯ.

Останньою функцією, пов'язаною з інтерпретацією таблиці смертності, є середня кількість років, прожитих між віком X та х +1 тими особами в групі, що дожили до віку х, які вмирають у деякий момент між цими віками. Ця функція позначається через а(х) і визначається співвідношенням

і

а(ж)-*,-.

і_хии(х + і)(іі о

За ймовірніснісного погляду на таблиці смертності отримали б і

/*'іАЦ(*+*)Л а(х)=±₁-= М[Т/Т<1].

о

Якщо припустити, що І_х+і х(х + ї)сІЇ = <і_х(Іі, 0 < £ < 1, тобто моменти смерті рівномірно розподілені всередині річного вікового інтервалу, то отримаємо

а(х)= ]*<** = -.

о *

Це звичайне наближення функції а(х), придатне для осіб різного віку, окрім зовсім юних і дуже старих, де це припущення може не відповідати дійсності.

Справедлива рівність Ь_х =а(х)І_х +

24.4. Деякі аналітичні закони смертності

У табл. 24.3 наводяться кілька сімейств простих аналітичних функцій смертності й дожиття, що відповідають різним відомим законам. Для зручності посилань наведені назви законів, що лежать у їхній основі, і дати публікації.

Зазначимо такі факти:

o спеціальні символи визначаються формулами т =-,

и~-;

+ _т "

o закон Гомперца є контактним випадком закону Мейке-

ма при А = 0;

o якщо с = 1 у законах Гомперца й Мейкема, то отримаємо експонеціальний (постійна інтенсивність смертності) розподілу;

o доданок А у законі Мейкема не залежить від віку і відповідає смертності від нещасних випадків, у той час як доданок Вс^х описує вплив віку на смертність (старіння) і в цьому сенсі відповідає смертності від "природних" причин.

Таблиця 24.3. Функції смертності й дожиття для різних розподілів

Нижче зібрано основні поняття, згадані в цьому розділі, відповідні терміни, позначення й описи (табл. 24.4).

Таблиця 24.4. Основні позначення розділу 24

Закінчення табл. 24.4

Висновки

1. У цьому розділі розглянуто основні моделі тривалості життя. Основними елементом цих моделей є тривалість майбутнього життя.

2. Роглянуто основні ймовірностні характеристики моделі тривалості життя: функція дожиття, ймовірності смерті, по-крокова тривалість майбутнього життя.

3. Важливою характеристикою моделі тривалості життя є інтенсивність смертності.

4. Незамінним компонентом багатьох моделей актуарної математики є таблиці смертності.

5. Між сукупністю детермінованого дожиття і моделлю складних відсотків є аналогія.

6. У законах смертності Гомперца й Мейкема найчастіше використовуються в моделях тривалості життя.

Навчальний тренінг

Основні терміни і поняття

Тривалість майбутнього життя; функція дожиття; покро-кова тривалість майбутнього життя; інтенсивність смертності; таблиці смертності; сукупність випадкового дожиття; сукупність детермінованого дожиття; корінь таблиці смертності; повна очікувана тривалість життя; покрокова очікувана тривалість життя; віковий коефіцієнт смертності; зрізана повна очікувана тривалість життя; закони смертності; закон Гомперца; закон Мейкема.