Страхування - Базилевич В.Д. - 27.1. Класична модель ризику

У класичній моделі ризику розміри виплат, які проводить страхова компанія, утворюють послідовність незалежних випадкових величин (Y_k,k>l), однаково розподілених з функцією розподілу F(x). Будемо припускати, що F(0) - 0 (це означає, що величини Y_k додатні), є математичне сподівання MY_k =ц та дисперсія DY_k = ст².

Страхова виплата відбувається у випадку, якщо до страхової компанії надійшов позов. Зробимо такі природні припущення про характер надходження страхових позовів:

1) події, пов'язані з надходженням страхових позовів на інтервалах часу, які не перетинаються, є незалежними випадковими подіями;

2) розподіл числа страхових позовів, які надійшли в інтервалі часу [£, t + Л), не залежать від t, а залежать лише від h

3) ймовірність того, що в інтервалі [r, t + h) надійде принаймні один страховий позов, дорівнює Xh+o>(h)₉ де X -кон-

станте, a lim-= 0;

&#* h

4) ймовірність того, що в інтервалі [t, t + h) надійде більше ніж один позов, є o(h).

Зазначимо, що перелічені припущення, з одного боку, накладають досить жорсткі математичні обмеження на процес надходження страхових позовів. Разом з тим такі обмеження дають змогу робити досить ґрунтовні висновки про параметри діяльності страхової компанії, викладені нижче у вигляді низки теорем, а для деяких ситуацій навіть дають змогу обчислити точні значення ймовірності банкрутства страхових компаній.

З іншого боку, ці припущення досить реально характеризують діяльність страхової компанії. Так, припущення (1) не буде виконуватись лише тоді, коли внаслідок стихійного лиха чи катастрофи до однієї страхової компанії надійшов ряд позовів про відшкодування вартості майна, страхування здоров'я чи життя. Очевидно, що в такому випадку компанія ризикує збанкрутувати за будь-яких своїх параметрів, як-от капітал чи резервні фонди. За цієї ситуації держава повинна відшкодувати значну частину виплат страховій компанії, як це сталося, наприклад, під час повеней у Східній Європі влітку 2002 р.

Припущення (2) свідчить про відносну відсутність сезонного збільшення чи зменшення інтенсивності надходження страхових позовів. Аналіз процесів позовів українських страхових компаній дає змогу переконатися у реальності цього факту.

У припущенні (3) йдеться про лінійну залежність кількості позовів від довжини часового інтервалу, що розглядається (тобто, наприклад, що протягом кварталу надійде приблизно втричі більше позовів, ніж протягом місяця).

Припущення (4) показує низьку ймовірність надходження декількох (більше ніж одного) страхових позовів на малому інтервалі часу.

Отже, за перелічених припущень можна зробити такі висновки.

Нехай у(г) - число страхових позовів (а отже і страхових виплат), які з'явились в інтервалі [0, І) і Р"(г) = Р(у(£) = л), л = 0,1,2,...

Має місце таке твердження (див. підрозділ 22.2).

Теорема 27.1^і. Випадкова величина {І) має розподіл Пуас-сона з параметром Хї, тобто

Р_п(і) =Щ-е'^Хі, п = 0,1,2,... (27.1)

Величина X називається інтенсивністю пуассонівського процесу і характеризує інтенсивність надходження страхових позовів.

Таким чином, число v(t) страхових виплат на інтервалі [0, t) е пуассонівським процесом з інтенсивністю А.. Отже, Mv{t)-Xt. Припускається також, що процес v(r) і послідовність {У_Л} взаємно незалежні. Момент т_А к-то стрибка процесу n(t) є моментом надходження до страхової компанії к-ї вимоги, і в цей момент компанія виплачує суму Y_h .

Випадковий процес _v<i,

S,=Јy_k (27.2)

k 1

виражає суму виплат, проведених компанією на відрізку часу

о

[0, t) (припускається, що ^У_А = 0 ). Згідно з формулою (26.5)

*=і

MS_t = МУ, o Mv(t) = uXr = Xxt. (27.3)

Прибуток компанії за час [0, і) дорівнює

Q,=ct-S_t9 (27.4)

де с - константа, яка характеризує інтенсивність надходження страхових внесків (страхових премій). Математичне сподівання цього прибутку дорівнює

MQ_t = ct-Xat = (c-Xi)t. (27.6)

Відносна страхова надбавка G визначається так:

_e=M&₌JL_i. ₍₂₇₆

MS_t Хі

Нехай и - початковий капітал компанії. Процесом ризику називатимемо випадковий процес

U_t=u + ct-S_r (27.7)

Зазначимо, що U, - це сумарний капітал компанії в момент часу г.