Страхування - Базилевич В.Д. - 27.2. "Практичні" оцінки ймовірності банкрутства в класичній моделі ризику, дифузійна апроксимація процесу ризику

Фактично явну формулу для ймовірності банкрутства ц/(и) в класичній моделі ризику, що розглядалася у попередньому підрозділі, можна вказати лише для того випадку, коли виплати страхової компанії розподілені за експоненціальним законом. У цьому ж параграфі ми наводили формулу (27.13) для ймовірності банкрутства тоді, коли виплати є сталими величинами. Але ця ситуація досить рідко трапляється у практичній діяльності страхових компаній, до того ж формула (27.13) є досить складною для обчислень.

Тому останнім часом було докладено багато зусиль на пошуки наближених формул для обчислення функції у(и), що е ймовірністю банкрутства компанії при початковому капіталі и. Розглянемо ці формули.

Перш ніж переходити до їх розгляду, відзначимо дві леми, які будуть використані при обчисленнях.

Лема 27.2^і. Якщо У - випадкова величина, яка має експо-неціальний розподіл з математичним сподіванням р, то

МУ = ц, МУ²=2ц², МУ³=6ц³ (27.23)

і взагалі МУ" =!ц

Лема 27.3². Нехай

V")

Я,=сі-^У_к (27.24)

*=1

це прибуток страхової компанії на відрізку [0, і) у класичній моделі ризику. Тоді характеристична функція випадкової величини ()₍ дорівнює

Ме"⁹' = ехр{*(ігс + Х[Ме"^у* -1])}. (27.26)

Апроксимація Беекмана-Боверса для (и)

Вперше цю апроксимацію запропонував голландський вчений Дж. Беек-ман¹.

Нехай

Н(и) = Р{гаіЯ_і <-u:infQ, <0}. (27.26)

Тоді

Н(и) = і^^)₌₁__(1+Є)ч;(и), (27.27)

1-ф(0)

звідки

У(и)=-±~а-Щи)). (27.28)

1 + 0

Нехай |л_н та о*_н - математичне сподівання і дисперсія, що відповідають розподілу Н(и). Ідея побудови апроксимаційної формули полягає в заміні Н(и) у (22.32) гамма-розподілом ОДі), перші два моменти якого збігаються з моментами Н(и).

Тоді наближена формула для (и) матиме вигляд

4>_вв(")=-а-С(и)) = -і- [РІ^-Р*<ід;= (27.29)

1 "г*¹"¹ -*. =- -е ах,

1 + Є_л{Г(у)

_{" _^цЄ_ 1+Є}

Иг+Ш^/^-и^^{1 У} І + а^Рз/Зи^-Щ'

Позначимо к-п момент функції розподілу Дг) виплат У_А через р_А, тобто

и^ЛГУ,*, Й = 1,2,3. (27.30)

За допомогою перетворення Лапласа - Стілтьєса функції ■Р(г) можна визначити величини и_н та о_я через моменти функції Р(г) ^я 2Єц. [Зи₂ 20^ ]

Алгоритм застосування апроксимаційної формули (27.29) такий':

1) знаходимо перші три моменти ц,,ц₂,ц₈ функції розподілу Щг) (функції розподілу виплат У_к );

2) значення ймовірності банкрутства (їх) обчислюємо за формулою (ЗО), користуючись таблицями гамма-розподілу С?(и), у якого математичне сподівання дорівнює ц_н, а дисперсія о²_н.

Якщо виплати страхової компанії мають експонеціальний розподіл, використовуючи лему 27.2 неважко встановити, що наближена формула (27.29) в цьому випадку є точною.

Апроксимація де Вільдера

Наступна наближена оцінка є однією з найвідоміших та найполулярніших у сучасній акту-арній математиці. Вперше її запропонував бельгійський учений Філіпп де Вільдер².

Ідея цієї оцінки така: ми апроксимуємо процес ()_{ у загальній класичній моделі ризику процесом (?(*)" У якого виплати мають експонеціальний розподіл так, щоб

^{М£* = М£*(г) при к - 1, 2, 3.}

За ймовірність банкрутства (и) приймаємо ймовірність банкрутства _вуіи) в процесі <3(г), для якого ми знаємо точну формулу.

Процес ф(г) визначається трьома параметрами (X, с, Д) або (X, 9, Д). Використовуючи лему 27.3 та властивості семи інваріант⁸, можна встановити такі рівності:

Д=І^Є,Є = ^з._вД = -?4х. (27.33)

Зц₂ Зц₂ 2и_г

Отже,

1 -

Ч'(и) = Ч>лн(") =-^е *^|+в". (27.34)

1+9

За самою побудовою апроксимації у випадку експонеціаль-ного розподілу виплат у(и) = \?_Ву(и)¹.

Дифузійна апроксимація для процесів ризику

Наступна апроксимація досить давно відома в загальній теорії випадкових процесів. її вивів Г. Хедвігер². Показано також, що її можна застосовувати для процесу ризику страхової компанії.

Нехай И - простір функцій на [0,), які неперервні справа і для яких, що існує границя зліва (простір функцій без розривів другого роду).

Означення. Послідовність Х_п збігається за розподілом до випадкового процесу X (будемо записувати це так: Х_я -^->Х), якщо для будь-якої обмеженої і неперервної функції і на х0

ЕПХ_а)-*ЕПХ). (27.35)

Використовуючи поняття збіжності за розподілом³, можна встановити таку дифузійну апроксимацію для (и)

Ми)~у_в(и)е*^. (27.Щ

Порівняємо цю апроксимацію з апроксимацією Крамера - Лундберга. Константа Крамера - Лундберга - це корінь рівняння

А. ₀

Тому

- > | 1 + Яг+- ^(г)-1 = Дц+±Д²(а²+ц²).

^ оі ² / ²

звідси

^2£^ ₌ _2Є^ _(27>37)

ц +а² ц +0^

З цієї нерівності випливає, що

_Ч/_/)(и)^в"^Яи.

Експоненціальна апроксимація

Позначимо через р_| моменти функції Р(у) розподілу виплат У₄ так, що

ц₍=Мц', ¿ = 1,2,3.....

Тоді має місце експоненціальна апроксимація, запропонована Ф. де Вільдером¹:

■ (27.38)

Апроксимація Лундберга

Використавши оцінку Ове Лундберга², можна отримати таку апроксимацію ймовірності банкрутства:

І, V ^1/ ^2 ,/

Тут індекс Ь означає "Лундберг", хоча потрібно зазначити, що Лундберг ніколи не пропонував цієї апроксимації, а лише на початку 60-х років XX ст. запропонував оцінку для збіжних послідовностей у теорії випадкових процесів.

Апроксимація Peni. Використовуючи теорему А. Рені¹, можна отримати апроксимацію Рені

2_М|0и

Уя(и)=-^"^МІ+в). (27.40)

В. Калашников у своїй праці² показав, що

sup І і|/_л (и)- ці (и) |<; Для всіх 0 >0.

Таким чином, ми маємо оцінку зверху абсолютного відхилення апроксимації Рені від точного значення ймовірності банкрутства.