Страхування - Базилевич В.Д. - Ймовірність банкрутства в класичній моделі ризику

Природно поставити питання про ймовірність банкрутства страхової компанії, яка має початковий капітал u, на інтервалі часу [0, + ао). Позначимо цю ймовірність через \і(и). Очевидно, що ф(и) = Р < 0 при деякому t > О}. Будемо розглядати таку функцію

(p(u) = l-v|/(w), (27.8)

яка виражає ймовірність того, що на інтервалі часу [0,+ оо) банкрутство не відбувається. Наведемо без доведення наступну теорему.

Теорема 27.2 ^і. Функція (р(и) диференційована і задовольняє інтегродиференціальне рівняння

X Х"е

q>'(u)=-<p(u)- L(u-z)dF(z). (27.9)

с с^J

о

Зауважимо, що рівняння (27.9) можна отримати і обходячи припущення про диференційованість функції (p(u). Також можна встановити інтегральне рівняння для (p(u).

Теорема 27.3². Функція ф(и) задовольняє інтегральне рівняння - и

Ф(и) = ф(0) + - Гф(и - г)(1 - F{z))dz. (27.10)

^сї

Функція ф(ц) обмежена (це ймовірність, і тому 0 <> ф(ц) й 1) і монотонно не спадає (у разі збільшення початкового капіталу ймовірністьнебанкрутствазбільшується). Томуіснує lim ф(и) = = ф(+ао). Переходячи до границі при и->-ко в обох частинах рівності (27.10), будемо мати

ф(+оо) = ф(0)+-цф(+оо), (27.11)

с

-не

ДЄ |і= (1-F{z))dz.

Звідси ф(0) = Гі--^ф(+оо).

Якщо є ненульовий розв'язок інтегрального рівняння (27.10), то природно вважати, спираючись на теоретико-ймовірнісний зміст ф(и), що ф(+оо) = 1 (при нескінченному початковому капіталі банкрутство не відбудеться). Таким чином,

Ф(0)=1-(^1 Оскільки ф(0)>0, то

Зазначимо, що ^⁼(~~^^) ^{= с}~(^/ Випадковий процес

5, є однорідним процесом з незалежними приростами і

= Хи*. Тому відповідно до підсиленого закону великих чиєї

сел з імовірністю одиниця - -> А.ц. Для застосування закону

великих чисел досить зауважити, що за будь-якого ї і будь-якого п величину 5, можна представити у вигляді суми п незалежних однаково розподілених випадкових величин:

Якщо с < А.ц, то процес (її з ймовірністю одиниця прямує до -оо і тому за будь-якого и з ймовірністю одиниця відбувається банкрутство. У цьому випадку (р(и) = 0 (рівняння (27.10) не має обмеженого розв'язку). У випадку с = Хц теж у(и) = 0 і рівняння (27.10) має лише нульовий розв'язок. Надалі ми будемо припускати, що с > А.Ц,

Сформулюємо важливий результат, що випливає з попередніх теорем, який ми будемо використовувати в подальших дослідженнях.

Теорема 27.4^і. Якщо виплати є експоненціально розподіленими випадковими величинами з математичним сподіванням и, то ймовірність банкрутства Ці(и) за початкового капіталу и дорівнює

Г _х

М/(и)=ГГе^{Є< + >}^ ^ЯКЩ° ^С>^' (27.12)

1, якщо с й

За допомогою перетворення Лапласа функції ср(м), заданої рівністю (27.10), можна отримати явний вигляд цієї функції у випадку, якщо сума виплат страхової компанії є константою.

Теорема 27.5^і. Якщо в моменти часу х₁,х₂,...,т_п,... стрибків процесу Пуассона виплачується одна сума а і ока, то ймовірність небанкрутства за початкового капіталу и дорівнює

= (і-Їі)у±-(АV (_Ц _ _ка)1 ехр(-(и - каі (27.13) V с ;£ок\ с) [с )

х + х Г*. х*0, ^ДЄХ+ 2 І0. *<0.

2 [0, *<0.

Асимптотична поведінка ймовірності банкрутства за великих обсягів початкового капіталу

Дослідимо асимптотичну поведінку ймовірності банкрутства \і(и) на проміжку [0,+) за початкового капіталу и, якщо и -> +<*>.

Користуючись рівнянням (27.10) та враховуючи, що ф(и) = 1 - А.цс, можна отримати таку рівність²:

і|/(и) = - {(1-^(2))^+- ||/(іг-2)(1-^(2))гіг. (27.14)

^С и ^С 0

Позначимо

Ц=- уе^Ну[1'Р(у)Щ (27.15)

Тоді має місце теорема, яка є однією з найважливіших в ак-туарній математиці.

Теорема 27.6^а. Нехай - <1, рівняння

с

- [в^Яу[1-^(і/)]^=1 (27.16)

с ^J

має корінь Я і ц < +оо. Тоді при и -> +°о

ц(и)--^=е^Ни. (27.17)

^У1 (1 + Є)Дц

Запис y(u)~g(u) при и-"-н" означає, що Ііш =1.

Дослідимо умови існування кореня рівняння (27.16). Нехай +00

7і(г) = Ме^гУі -1= |е"<Щг)-1. (27.18)

о

Зробимо такс припущення.

Припущення. Існує г > 0 таке, що Л(г) Т+оо, коли г Т г_к (допускається і можливість г = -Ьоо).

За цього припущення рівняння (27.16) можна записати у вигляді

Л(Я)=-Я, або /і(Я)=(1+6)иД. (27.19)

А.

Лема 27.1^і. При зроблених припущеннях рівняння (27.19) має єдиний додатний корінь Я, причому і? <

Таким чином, теорема 27.6 може бути переформульована так.

Теорема 27.7². (Теорема Крамера - Лундберга). При зроблених припущеннях відносно &(г) і при и -> +оо

4>(и)--^^У-ге"^Ии. (27.20)

де /? - корінь рівняння (27.19).

Праву частину (27.20) називають апроксимацією Крамера - Лундберга, а число Я - коефіцієнтом Лундберга або характеристичним коефіцієнтом.

Якщо виплати є експоненціально розподіленими випадковими величинами з математичним сподіванням и, то 1 гь

Л(г)=--1=--. Тоді рівняння (27.19) має вигляд

1-гр 1-гр Яц , " .

--=(1 + 0)Яц. Це рівняння має тривіальний корінь 0 та єди-

1-Яц

ний додатний корінь Я =-, що і є характеристичним

. 0 + 0)ц

коефіцієнтом.

Зауважимо, що у випадку експоненціального розподілу апроксимація Крамера - Лундберга є точною¹.

Оцінка для ймовірності банкрутства в класичній моделі ризику

Будемо продовжувати досліджувати ймовірність ц/(ц) банкрутства на [0,+оо) у класичній моделі ризику за початкового капіталу и. Будемо вважати, що о А.и (якщо с < Хр, то банкрутство відбувається з імовірністю 1). У попередньому пункті за певних припущень ми встановили асимптотичні формули для \і(и) за великих значеннях и.

Виявляється, що можна вказати оцінку зверху для ймовірності |/(и), яка справедлива при всіх ц > 0. А саме має місце така теорема.

Теорема 27.8². Нехай рівняння

-е""[1-Р(у)]<Іу = 1 (27.21)

с о

має додатний корінь Я. Тоді при всіх и > 0 виконується нерівність

у(и)<е-^Ли. (27.22)

Нерівність (27.22) називають нерівністю Крамера - Лундберга. Доведення цієї нерівності можна знайти також у роботі Г.І. Фаліна³.