Страхування - Базилевич В.Д. -28.3. Перестрахування у динамічній моделі банкрутства

Страхова справа / Страхування - Базилевич В.Д.

Нагадаємо, що модель індивідуального ризику - це найпростіша модель функціонування страхової компанії призначена для розрахунку ймовірності банкрутства (див. розділ 23).

У межах цієї моделі банкрутсво визначається сумарним позовом 5 = Х, + ...+.Х_ЛГ до страхової компанії, де Х₁ - позов від і-ї угоди. Якщо цей сумарний позов більше, ніж резерви компанії, то компанія не зможе виконати всі свої зобов'язання і збанкрутує. Тому ймовірність банкрутства компанії дорівнює Я = Р(Х₁+... + Х_к>и)

Пропорційне перестрахування

Нагадаємо, що зміст договору пропорційного перестрахування є таким. Установлюється деяка частка утримання а, 0<а<1. Якщо індивідуальний позов становить X грн, то суму аХ грн сплачує передавальна компанія, а суму (1-а)Х сплачує перестраховуюча компанія.

Тоді після перестрахування сумарний позов до передавальної компанії дорівнює а5=аХ₁ +...+аХ^. Однак одночасно зменшується й капітал передавальної компанії. До укладання угоди перестрахування він був и + (1 + 0)*М5, де и -початковий резервний фонд, а 0 - відносна страхова надбавка. Укладання угоди перестрахування призводить до виплати перестраховуючій компанії суми (1+9*)-(1-а)М5, де (1-а)М£ -очікуваний сумарний позов до перестраховуючої компанії, а 0* - відносна страхова надбавка встановлена перестраховою компанією. Тому після укладання угоди перестрахування резервний фонд компанії стає таким:

и + (1 + Є)М8-(1+Є^#)-(1-а)М5 = и+(0-Є*+(1+0*)а)М5. Відповідно, імовірність банкрутства буде дорівнювати

Р(а5>ц + [Є-9Ч(1 + Є*)а]-М5) =

= Р(5>[1+0*+(п/М5+0-Є*)/а]М5).

Якщо 6* < 9 + - ^и , то у разі зменшення частки утримання

а від 1 (відсутність перестрахування) до 0 (повне перестрахування) імовірність банкрутства зменшується від початкового значення Р(8>[1 + в + и/МЗУМБ) до нуля. Проте одночасно зменшується і очікуваний дохід передавальної компанії Л = (1 + 9)М5-(1 + 0*)(1-а)М5-аМ5 = [0-0*+а0*]М5. У випадку, коли 9* > 0 і за повного перестрахування компанія буде мати збиток у розмірі (0* - 0)М5. Тоді, очевидно, параметр а не може бути меншим за (0* - 0)/0* (при цьому значенні а очікуваний дохід дорівнює нулю).

Отже, якщо 0* < 9 + и ІМ5, то за межі перестрахування можна зменшити ймовірність банкрутства (з одночасним зменшенням очікуваного доходу).

Якщо 0* > 0 + и ІМ5, то при зменшенні межі утримання ймовірність банкрутства зросте, і тому від перестрахування необхідно відмовитися.

І, нарешті, якщо 0 = 9 + и / М5, то ймовірність банкрутства взагалі не залежить від межі утримання. Проте оскільки очікуваний дохід зменшується разом зі зменшенням частки утримання, від перестрахування також необхідно відмовитися.

Перестрахування перевищення втрат

Нагадаємо, що угода перестрахування перевищення втрат така. Встановлюється певна межа утримання г гривень. Якщо величина індивідуального позову X не перевищує г, то передавальна компанія сплачує їх самостійно. Але якщо індивідуальне звернення перевищує г, то передавальна компанія сплачує суму г гривень самостійно, а залишок Х-г гривень сплачує перестраховуюча компанія. Таким чином, позов X перетворюється на позов Х^{г) = шіп(Х, г) для передавальної компанії і на позов тах(Х - г, 0) = X - Х^1г) для перестраховуючої компанії.

Нехай передавальна компанія перестрахувала ТУ однотипо-вих угод, тобто позови Х₁₉ Х# за ними є незалежними і однаково розподіленими випадковими величинами.

Тоді сумарний позов передавальної компанії, що дорівнював 5 = X, +... + Х^, зменшиться і стане дорівнювати

s^(,■⁾=x₁^(г)+...+x_JV^,г,.

Проте одночасно зменшується і капітал передавальної компанії. До укладення угоди перестрахування він дорівнював (ми враховуємо для спрощення лише плату за страхування) АГр = ЛГ(1 + 0)р_о, де р₀=МХ - нетто-премія, а 0 - відносна страхова надбавка. Укладення угоди перестрахування призводить до виплати перестраховуючій компанії суми #(1 + 9>(МХ-МХ^(Г)), де МХ-МХ^{Г) -очікуваний індивідуальний позов до перестраховуючої компанії, а 9* - відносна страхова надбавка, встановлена перестраховуючою компанією. Тому, після укладення договору перестрахування, капітал передавальної компанії стає

ЛГ(1 + 9)■ МХ -ИІХ + 9*)-{МХ-МХ^ІГ)) =

= Щв-&')МХ + Щ1+в')МХ^ІГ). Відповідно, імовірність банкрутства дорівнює Р(5^,г) > #(0 - 9* )МX + N(1 + 9* )МХ^(гї).

Використовуючи нормальне (гауссівське) наближення, можна записати ймовірність банкрутства після перестрахування як

- АГ o МХ^ІГ) ^ АГ(9 - 9' )МХ + ЛГ9*МХ^(Г) _

4їтх^ у/Шх^

_Т(^(9-9")МХ+Є'МХ" уіОХ^(г)

Очевидно, що мінімізація ймовірності банкрутства означає мінімізацію аргументу функції Ф. Таким чином, щоб вирішити питання щодо доцільності перестрахування, і у випадку позитивної відповіді обрати оптимальну межу утримання г, ми маємо вивчити поведінку такої функції від г:

, , Г(0-9^#)МХ+9^#Мтіп(Х,г)]²

Ф(г) =-------

£>(тіп(Х,г))

і визначити її глобальний максимум при 0<г<оо. Зазначимо, якщо цей максимум досягається при г = -и", то перестрахування не є доцільним, а якщо г = 0, то необхідно перестраховувати все.

Якщо портфель компанії складається з різнорідних угод, можна написати аналогічні формули, проте, як і у найпростішому випадку, отримати остаточні аналітичні висновки не вдається.

Приклад 28.1. Страхова компанія уклала ІУ = 2000 угод страхування життя строком на один рік на таких умовах: у випадку смерті застрахованого протягом року від нещасного випадку компанія сплачує нащадкам 5000 грн, а у випадку смерті від природних причин - 1000 грн. Компанія не платить нічого, якщо позов не подається. Ймовірність смерті від нещасного випадку однакова для всіх застрахованих - 0,002, а від природних причин - 0,005. Компанія встановила плату за страхування, виходячи з 5 %-ї ймовірності банкрутства. Дослідити питання про доцільність перестрахування перевищення втрат при границі утримання між 1000 та 5000 грн, якщо відносна страхова надбавка перестраховуючої команії 60 %.

Розв'язок, Індивідуальний позов набуває значення 5000, 1000 і 0 з імовірностями 2-Ю"³, 5*10~³ і 1-7-Ю"³ відповідно. Середнє значення індивідуального позову (нетто-премія) дорівнює

р₀ = МХ = 2Ю~³ -5-Ю⁸ +5-10"³ Ю³ =15. А дисперсія

І)Х = М(Х²)-(МХ)² =210"³-2510°+510"³-10^е-15² =54775.

Оскільки компанія встановила премію такою, щоб імовірність банкрутства була 5%, відповідно до формули (23.7) маємо

oV, " уІБХ 1,645 o ч/54 775

р = МХ + ~~⁹⁵%~~- = 15+ ^Л/ 1 я 23,60 грн,

л/ЛГ >/2000

отже, відносна страхова надбавка:

*₉₅% 4Ш 1,645-./54 775 _е ₌ ^ ухла ^ у -"57,39%.

oШ МХ 72000-15

Припустимо, що компанія вирішує перестрахувати позови, що перевищують 1000 грн, у перестраховуючій компанії. Таким чином, межа утримання дорівнює г= 1000.

У нашому випадку це призводить до того, що для передавальної компанії позови набувають лише два значення: 1000 і 0 з імовірпостями 7'10 ³ і 1-7-10"³ відповідно. Середнє значення і дисперсія індивідуальних позовів тепер дорівнюють

MX^tr) = 7 10"³ o 10³ = 7, DX^{r) = 7 o 10"³ o 10° - 49 = 6951, тобто позов суттєво зменшився. Це дає змогу сподіватись на зменшення ймовірності банкрутства компанії. Проте необхідно мати на увазі, що одночасно зменшився і капітал компанії, оскільки ми повинні заплатити певну суму перестраховуючій компанії. Кінцева відповідь на питання щодо корисності перестрахування буде залежати від балансу цих двох факторів.

Підрахуємо капітал компанії у нових умовах. До перестрахування він дорівнював Np " 47200 (грн). Для перестраховуючої компанії індивідуальний позов набуває значення 4000 і 0 з імовірностями 2-Ю"³ і 1-2-10"³ відповідно. Його середнє значення дорівнює 4 ■ 10³ o 2 o 10~³ = 8 (грн). (Цю величину можна було б підрахувати і як різницю між МХ та МХ^(Г).) Тому плата за перестрахування дорівнює 2000 ■ 1,6 o 8 = 25 600 грн, і саме на цю суму зменшиться капітал компанії і після перестрахування буде дорівнювати 21 600 грн.

Тепер підрахуємо ймовірність банкрутства передавальної компанії. Вона дорівнює:

P(S^ir) > 18 400) = Р

"iV ⁷⁶⁰⁰

^rS^<r)-MS^(r) 21600-14 ООО' <jDS^iri >/б 951-2 000 _й

= 1-Ф(2,04)*2,28%.

1,3728,54

Отже, за рахунок перестрахування нам вдалося знизити ймовірність банкрутства з 5 до 2,28 % .

Звичайно, такий результат отримано за рахунок певних втрат в очікуваному доході з ЛГр - г7р₀ = 17 200 грн до суми 7600 грн; вона може бути підрахована як різниця між капіталом компанії після укладення угоди перестрахування і очікуваним сумарним позовом після укладення угоди перестрахування. Ця обставина має бути обов'язково врахована при прийнятті остаточного рішення щодо доцільності перестрахування.

Спробуємо тепер варіювати межею утримання г між 1000 і 5000 грн. Для розрахунків зручно використовувати 1000 грн як одиницю виміру грошових сум, тобто г змінюється від 1 до

5. У цьому випадку індивідуальний позов до передавальної компанії Х^(г) набуває трьох значень: г, 1 і 0 з імовірностями 2*10 , 5-Ю"³ і 1-7 10 ³ відповідно. Його середнє значення і дисперсія дорівнюють:

МХ^{Г) =г-2-10"³+1510"³=10"^в(2г + 5), DX^lr)=r²-2 10 ³+1-5-10 ³-10 "■(2г + 5)²й(2г²+5)-10-^а. Середнє значення індивідуального позову до перестраховуючої компанії:

МХ-МХ^(г)=1510-^а-10*³-(2г + 5) = 210"³ (5-г), і тому плата за перестрахування одного позову дорівнює 1,6-2-10-³(5-г) = 3,210-⁸(5-г). Середнє значення і дисперсія сумарного позову S^нr) дорів-нюТь

MS^ir) = N o МХ^(Г) = 2 - (2г + 5), DS^(r) = N o DX^ir) а 2 ■ (2г² + 5). Загальна плата за перестрахування всіх позовів: 2 10⁸-3,210-⁸-(5-г) = 6,4(5-г), тому капітал компанії після перестрахування буде дорівнювати

iн^(r) =47,2-6,4(5-г) = 15,2 + 6,4г. Оскільки ймовірність банкрутства R^r) - це ймовірність того, що сумарний позов S^(г)більший, ніж капітал компанії и^ІГ для 2#^г)за допомогою гауссівського наближення маємо

fu^нr) -MS^(rM

І 4ds^ )

_₁ (15,2 + 6,4-r-4-r-10^>| J 2,4r + 5,2^N

{ 4бr² +10 j 1 V4r² + 10 /

Таким чином, якщо ми хочемо мінімізувати ймовірність банкрутства, потрібно вибрати параметр г таким чином, щоб функція

, _ч (2,4г+ 5,2)² , _Л .

ш(г) = --г- набувала найбільшого значення. Оскіль-

^Y 4г²+10 ^У

ки

,, , (4,8г + 10_>4)-(24-20,8г) .

Ф (г) = --5-о-і ф(г) = 0 при г- 1,153, що є

(4г²+10)² ^У

точкою максимуму. В абсолютних цифрах це відповідає

1153 грн. Оскільки -Уф(1Д53) "2,035, імовірність банкрутства за цієї межі утримання дорівнює приблизно 2,11 %. Середній дохід компанії дорівнює ц^и - MS^lr) = 5,2 + 2,4г = 7,967 (умовних одиниць) = 7967 грн.

Таким чином, порівняно з границею утримання г - 1000 ми не тільки зменшили ймовірність банкрутства, а й збільшили очікуваний дохід.

Аналіз перестрахування для моделі колективного ризику практично не відрізняється від проведеного вище аналізу для моделі індивідуального ризику.

28.3. Перестрахування у динамічній моделі банкрутства

Нагадаємо, що динамічна модель банкрутства характеризується такими основними припущеннями:

1. Моменти Г, Т₂, ... подання позовів утворюють пуассонівський процес інтенсивності X.

2. Позови, що надходять, не залежать від моментів Т , Т₂,... і однаково розподілені за законом F{x) із середнім ц.

3. Премії надходять неперервно зі швидкістю с = (1 + 9)А.ц. Банкрутство настає, якщо в момент подання деякого позову його величина більше резервного фонду компанії.

Маючи на увазі нерівність Лундберга (27.22) і асимптотику Крамера - Лундберга (27.20), як основну характеристику моделі слід розглядати характеристичний коефіцієнт R і прагнути його максимізувати.

Розглянемо деякий вид перестрахування, що описується функцією Н(х) так, що кожний позов величиною У призводить до позову величиною Я(У) до перестраховучої компанії й зменшує реальні втрати передавальної компанії з У до У = У - Я(У). Оскільки за одиницю часу подається в середньому X позовів, то у середньому за одиницю часу перестраховуюча компанія виплачує у вигляді страхових відшкодувань суму Х-МЯ(У). Отже, за цей проміжок часу вона повинна одержати у вигляді плати за перестрахування суму (l + Q*)X-MH(Y). Припустимо, що ця сума виплачується неперервно. Тоді для передавальної компанії це буде означати зменшення швидкості надходження премій з величини с = (1+0)ХМУ до величини (1+9)-Я.*Л/У--Ц+Є>Х-МЯ(У). Таким чином, після перестрахування фун-кіонування передавальної компанії описується динамічною моделлю зі зміненими параметрами: швидкість надходження премій є с' = (1 + 9)-Х-МУ-(1 + 0*)-Х-МЯ(У), швидкість надходження позовів є Х' = Х, У[ = У₁ - Я(У,), величини позовів є

У₂'=У₂-#(У₂),...

Відносна страхова надбавка після перестрахування буде

_с|__9МУ-9*МЯ(У)

~ху ~ МУ-МЩУ)

Оскільки параметр 9' повинен бути додатним, то маємо таке загальне обмеження на функцію Я(х). що описує перестрахування:

0*МЯ(У)<0МУ.

Тому характеристичне рівняння (27.19) після перестрахування набуває вигляду

_Меячу-жУї) _і ₌ ((і ₊ §ЩУ -(1 + 9^#)МЯ(У))Д'.

За конкретних припущень щодо вигляду перестрахування (тобто вигляду функції Н(х)) і розподілу величини позову можна розв'язати це рівняння (аналітично або чисельно), знайти Л' і вивчити вплив перестрахування на величину характеристичного коефіцієнта й тим самим - на ймовірність банкрутства.

Висновки

1. Перестрахування є досить потужним засобом зменшення ймовірності банкрутства страхових компаній.

2. Залежно від фінансових можливостей передавальної страхової компанії можна використовувати пропорційне та перестрахування перевищення втрат (ексцедентне перестрахування).

3. Пропорційне перестрахування в моделі індивідуального ризику накладає певні умови на відносні страхові надбавки передавальної та перестраховуючої компаній.

4. Для визначення границі утримання при перестрахуванні перевищення втрат у моделі індивідуального ризику необхідно розв'язувати задачі нелінійної оптимізації.

5. Завдання перестрахування в динамічній моделі банкрутства зводиться до динамічної моделі банкрутства зі зміненими параметрами.

Навчальний тренінг

Основні терміни і поняття

Пропорційне перестрахування; перестрахування перевищення втрат (ексцедентне перестрахування); передавальна страхова компанія; перестраховуюча страхова компанія; частка утримання; границя утримання; франшиза; динамічна модель банкрутства.