Обгрунтування господарських рішень та оцінювання ризиків - Донець Л.І. - 11.2. Класифікація ігор

Теоретико-ігрові моделі класифікуються залежно від числа послідовних ходів і можливих способів дій гравців, характеру і обсягу інформації, що доступна кожному гравцю відносно дій іншого, а також відношення кожного з гравців до значення функції виграшу.

Невизначеність результату гри виникає за різних обставин, які можна розбити на три групи.

Особливості правил гри викликають таку різноманітність її розвитку, що передбачити результат гри заздалегідь неможливо. Джерела невизначеності такого виду і відповідні ігри називають комбінаторними (шахи). Однак комбінаторна складність має історично минущий характер завдяки використанню математичного апарату і обчислювальної техніки. Для ряду комбінаторних ігор знайдено виграшні комбінації для логічних задач невеликого обсягу.

Другим джерелом невизначеності є вплив випадкових факторів. Ігри, в яких результат є невизначеним виключено внаслідок випадкових причин, називають азартними (гра в кості, ставка на бік монети, рулетка).

Трете джерело невизначеності полягає у відсутності інформації про дії противника, про його стратегію. Це стратегічні ігри.

В залежності від кількості учасників розглядають парні (два гравці) і множинні (багато гравців) ігри.

Прийняття гравцем рішення в процесі гри і його реалізація називається ходом. Якщо хід вибирають свідомо, то це особистий хід. Якщо хід зроблено за допомогою механізму випадкового вибору - це випадковий хід.

Послідовність ходів, що приводять гру до кінцевого стану, називається партією.

Число послідовних ходів у будь-якого з гравців визначає класифікацію ігор на одноходові і багатоходові (або позиційні). У одноходовій грі кожен гравець робить тільки один вибір з можливих варіантів і після цього встановлює результат гри. Багатоходова, або позиційна, гра розвивається в часі, представляючи собою ряд послідовних етапів, кожен з яких настає після ходу одного з гравців і відповідної зміни обстановки.

Багатоходові (позиційні) ігри залежно від характеру і обсягу інформації кожного гравця про зроблені ходи противником підрозділяються на два класи: ігри з повною інформацією і ігри з неповною інформацією. У іграх з повною інформацією кожен гравець на кожному етапі знає результати усіх попередніх ходів.

Позиційна (багатоходова) гра є теоретико-ігровою моделлю конфліктної ситуації, в якій противники для досягнення своїх цілей послідовно роблять по одному вибору (ходу) з кінцевого числа можливих способів дій на кожному етапі розвитку цієї ситуації.

Рис. 11.1 - Класифікація ігор

Процес зведення позиційної гри до гри, що описується матрицею, називають нормалізацією, а гру, що виходить, - грою в нормальній формі. Дійсно, в цій грі значення функції виграшу можна завжди записати у вигляді прямокутної таблиці (матриці), рядки якої відповідають стратегіям першого гравця, а стовпці - стратегіям другого гравця.

Стратегія гравця - це однозначний опис вибору гравця в кожній з можливих ситуацій, при яких він повинен зробити особистий хід, тобто це система правил, що однозначно визначають поведінку гравця на кожному ході залежно від ситуації, що склалася в процесі гри. Можна розуміти стратегію як план проведення гри, причому він не може бути порушений діями противника.

В залежності від кількості стратегій ігри розділяють на скінченні та нескінченні. В скінченній грі кожен з гравців має скінченну кількість можливих стратегій. Якщо принаймні один з гравців має безліч можливих стратегій, то гра називається нескінченною.

Прикладом є шахи - це парна гра із скінченним числом особистих ходів.

В залежності від взаємовідносин гравців ігри розділяють на кооперативні, коаліційні і без коаліційні. Якщо гравці не мають права укласти угоду, то така гра відноситься до без коаліційних. Якщо гравці можуть укладати угоду, вступати до коаліції, то така гра належить до коаліційних. Кооперативна гра - це гра, в якій заздалегідь визначені коаліції.

В залежності від функції виграшів ігри підрозділяють на матричні, біматричні, неперервні, опуклі та інші.

Біматрична гра - це кінцева гра двох гравців з ненульовою сумою, в якій виграші кожного гравця задаються матрицями окремо для відповідного гравця (у кожній матриці рядок відповідає стратегії першого гравця, стовпець - стратегії другого гравця, на перетині рядка і стовпця в першій матриці знаходиться виграш першого гравця, в другій матриці - виграш другого гравця.)

Для біматричних ігор також розроблена теорія оптимальної поведінки гравців, проте розв'язувати такі ігри складніше, ніж звичайні матричні.

Неперервною вважається гра, в якій функція виграшів кожного гравця є неперервною залежно від стратегій. Доведено, що ігри цього класу мають рішення, проте не розроблено практично прийнятних методів їх знаходження.

Якщо функція виграшів є опуклою, то така гра називається опуклою. Для них розроблені прийнятні методи розв'язування, що полягають у відшукуванні чистої оптимальної стратегії (певного числа) для одного гравця і ймовірності застосування чистих оптимальних стратегій іншого гравця. Таке завдання вирішується порівняно легко.

В залежності від інтересів сторін розрізняють антагоністичні і неантагоністичні. У антагоністичних іграх інтереси її учасників прямо протилежні (наприклад, спортивні змагання, військові дії). Це означає, що скільки один гравець виграв, то стільки ж інший програв. У цих умовах кожен гравець прагне забезпечити собі максимальний виграш, а супротивникові максимальний програш. Це призводить до того, що виграш одного гравця відповідає програшу іншого, Тому можна вважати, що сумарний виграш обох гравців антагоністичної гри в усіх ситуаціях дорівнює нулю. Звідси ці ігри іноді називають іграми з нульовою сумою або нульовими іграми. У неантагоністичних іграх гравці переслідують різні, але не прямо протилежні цілі (наприклад, - економічні ситуації).

В залежності від кількісного результату ігри розділяють на ігри з нульовою сумою і з ненульовою сумою. Парні ігри з нульовою сумою об'єктивно не надають перевагу жодній з сторін. Якщо така перевага з'являється у процесі гри у однієї з сторін, то тільки за рахунок занедбання іншої (у спорті). Виграш одного гравця дорівнює програшу другого. Ігри з ненульовою сумою - це конфліктні ситуації з явно об'єктивною перевагою якоїсь з сторін. (Наприклад, виробник і споживач при встановленні ціни виробу).

Оптимальна стратегія - це стратегія, яка при багаторазовому повторенні гри забезпечує даному гравцю максимально можливий середній виграш або мінімальний програш.

Кінцевою цілю теорії ігор є розробка рекомендацій гравцям, щоб гравець, що виграє, одержав би максимальний виграш, а гравець, що програє, - мінімальний програш, тобто визначення оптимальної стратегії.

Для формулювання задачі в ігровій постановці необхідно реалізувати певні етапи (рис. 11.2).

Етап 1. Визначення учасників гри (гравців). На цьому етапі слід проаналізувати умову задачі і визначити учасників гри, визначити суть конфлікту, що є між ними.

Етап 2. Визначення стратегій гравців. На цьому етапі слід визначити стратегій гравців. Для цього необхідно сформулювати кінцеві цілі гравців і знайти шляхи їх досягнення.

Рисунок 11.2 - Етапи формулювання задачі в ігровій постановці

Етап 3. Визначення виграшів гравців при використанні кожної стратегії. Виграші обов'язково повинні мати кількісну форму. Виграші є показниками ступеня досягнення цілей відповідного гравця. Виграші визначаються при сполученні різних стратегій гравців.

Етап 4. Зведення матриці виграшів до нормальної форми. Зведення здійснюється шляхом внесення знайдених значень виграшів в матрицю.

Питання для поточного контролю та поглибленого засвоєння знань

1. Що служить характеристикою раціональності гравця?

2. Що досліджує теорія ігор?

3. Дайте визначення теорії ігор.

4. Яка ситуація називається конфліктною?

5. Дайте визначення гри, гравцю, ходу.

6. Що назувається стратегією гравця?

7. Які види раціональності розглядає теорія ігор?

8. В чому полягає мета теорії ігор?

9. За яких обставин виникає невизначеність результату в грі?

10. До яких ігор відносяться шахи?

11. Наведіть приклади азартних ігор.

12. В залежності від кількості учасників як розглядають ігри?

13. В чому сутність випадкового і особистого ходів?

14. Яка гра називається позиційною?

15. Дайте визначення скінченій грі.

16. В чому полягає різниця між коаліційними і кооперативними іграми?

17. В залежності від функції виграшів як підрозділяють ігри?

18. Яка гра є непевною?

19. Які гри є антагоністичними?

20. В чому полягає суть ігор з нульовою сумою?

21. Наведіть приклади ігор з ненульовою сумою

22. Як стратегія називається оптимальною?

23. Що представляє собою розробка рекомендацій гравцям?