Логіка - Дуцяк І.3. - Розвиток логіки

Як завершену теоретичну систему, як науку логіку сформував давньогрецький філософ Арістотель. Що таке теоретична система у логіці? Яку теоретичну систему створив Арістотель?

Для аналізу процесу виведення знань людиною треба формалізувати мислення, тобто розділити думки на окремі незалежні від змісту елементи, позначити їх символами та сформулювати правила виведення одних виразів з інших. Тоді довільну послідовність думок можна записати послідовністю символів і виявити правильні схеми міркувань. Результатом формалізації мислення е створення формальної системи, складеної з певних символів, правил утворення та виразів із цих символів і правил перетворення виразів (правил отримання з одних знань інших). Різні підходи до формалізації мислення дають різні формальні системи.

Перші кроки європейської логіки пов'язані з формалізацією, що відома з праць Арістотеля. Він виконав систематичний аналіз одного з поширених способів міркувань, так званих силогістичних виводів (силогізмів). Силогізм - це вивід такого типу (результат виведення міститься під рискою):

Усі тварини живляться живими організмами.

Люди належать до тварин.

Люди живляться живими організмами.

Можливими є багато різних варіантів подібних міркувань, зокрема, замість слова всі може бути частина або певна кількість, перед словом є може бути заперечна частка не, слова люди і тварини в другому реченні можна поміняти місцями (таке саме можна зробити в першому реченні).

Отже, можна сформулювати порівняно велику кількість такого типу виводів. Арістотель власне і проаналізував, у яких випадках із двох тверджень такого типу можна вивести нове твердження.

Суть силогізмів полягає в такому: на підставі знання про відношення кожної з двох множин об'єктів до третьої виявляють відношення між цими двома множинами. До цього зводиться і наведений вище вивід: на підставі відношення першої множини об'єктів (ті, хто живиться живими організмами) до множини тварин (це відношення зафіксоване першим реченням) та відношення другої множини (люди) до множини тварин (це відношення зафіксоване другим реченням) виявлено відношення між цими двома множинами об'єктів ("людьми" і "тими, хто живиться живими організмами").

Формальна система Арістотеля була неповною, однак достатньою для виконання частини поширених виводів. Певна завершеність цієї формальної системи, її практичне застосування зумовили живучість описаного підходу до формалізації мислення. Власне цей підхід став основою так званої традиційної логіки, в якій силогістику Арістотеля доповнили розділами про поняття, судження, застосування логіки до проблем пізнання. У такому вигляді традиційна логіка була основною формально-логічною теорією до XIX ст. її викладали практично без жодних суттєвих змін до початку XX ст.

Незмінність у логічній теорії стала підставою для формування думки про те, що логіка з працями Арістотеля припинила розвиток. Таку думку поділяв і відомий німецький філософ Іммануїл Кант. У передмові до "Критики чистого розуму" він зазначив таке: "Знаменно, що логіка досі не могла також зробити жодного кроку вперед і, очевидно, має повністю замкнений, завершений характер".

Подібні погляди на те, що в певній науці можна здобути всі знання, не були оригінальними. Зокрема, наприкінці XIX ст. багато фізиків уважало, що фізика перебуває в стадії завершення. У цій науці, мовляв, уже нема що пізнавати, залишилися якісь дві незначні "хмарки", а поза ними все вже відомо. Незабаром, у першій половині XX ст., виявилось, що ці "хмарки" стали підставою для формування фундаментальних фізичних теорій: одна "хмарка" - для формування теорії відносності, а інша - квантової механіки.

Погляди на науку як таку, що може набувати завершеного вигляду, які були звичними наприкінці XIX ст., у XX ст. уже стали анахронізмом. У XXI ст. ніхто не вважає, що в якійсь науці можна досягти такого стану, коли вже все відомо, - вирішення одних пізнавальних проблем приводить до виявлення інших, глибших чи суміжних.

Відмінну від силогістики спробу формалізації мислення зробили ще мегарики та ранні стоїки. Вони, не задовольнившись категоричними виводами, звернули увагу на ті випадки, коли виведення нових тверджень не пов'язане зі структурою тверджень початкових. У мисленні було виділено прості твердження як цілісності та логічні терміни, якими ці твердження зв'язували у складні (кон'юнкція - "і", диз'юнкція - "або", імплікація - "якщо..., то..." та ін.). Цим термінам надано однозначного змісту (тобто зафіксовано, які саме значення істинності позначають зазначеними логічними словами). Було сформульовано правила виведення. Оскільки їхня теорія не набула довершеного вигляду, то зацікавлення до цієї спроби формалізації мислення поступово згасло.

Зазначений підхід до формалізації мислення досяг успішного завершення лише наприкінці XIX ст. Цьому передувало осмислення певної подібності між логікою і математикою. Математика тут була прикладом для логіки, певною системою, за аналогією з якою потрібно побудувати логіку: йшлося про те, щоб, записавши довільну послідовність думок послідовністю символів, можна було з'ясувати, випливає цей висновок із засновку чи ні.

Першим кроком у цьому напрямі була ідея Декарта про всезагальну математику - дисципліну, яка мала охоплювати у вигляді розділів усі дисципліни, що оперують кількостями, мірами, порядком; ідея об'єднання методів логіки та окремих розділів математики в один універсальний метод.

З приводу нового підходу до формалізації однозначно висловився німецький логік Йоахим Юнг, який запропонував 1638 р. побудувати логіку подібно до математичного числення.

Конкретизацією ідеї побудови логіки аналогічно до математики стало осмислення того, який саме розділ математики повинен бути зразком для подібної побудови логіки. Це мала бути алгебра, апарат символіки якої сформувався на середину XVII ст. Виникла така думка: якщо в алгебрі певні сутності (кількості) позначено буквами, введено позначення для операцій на відношення рівності, а також виведено низку законів, що дає змогу розв'язувати алгебричні рівняння, то чи не можна те саме зробити в логіці, аби розв'язувати вирази логіки. Формальна система в логіці, створена аналогічно до алгебри, мала б бути загальнішою, ніж згаданий розділ математики: мала б містити в собі алгебру, оперуючи, на відміну від неї, не тільки відношенням рівності, а й іншими відношеннями. Те, що логіку треба побудувати аналогічно до алгебри, усвідомив німецький філософ, математик і логік Готфрід Ляйбніц, який був обізнаний з ідеєю Декарта і як логіка високо цінував Йоахима Юнга. Однак спроби Г. Ляйбніца реалізувати цю програму не стали успішними. Кінцева мета алгебризації логіки виглядала в планах Г. Ляйбніца дуже спокусливо: "Єдиний спосіб поліпшити наші виводи - зробити їх, як у математиків, наочними, так, щоб помилки знаходити очима, і якщо серед людей виникне суперечка, треба сказати: "Порахуємо!", тоді без особливих формальностей можна буде побачити, за ким істина". Так Г. Ляйбніц проголосив, що обчислювати можна також елементи думки.

Реалізував програму Г. Ляйбніца, а водночас і формалізацію мислення, розпочату мегариками та стоїками, ірландський учений Джордж Буль. У 1847 р. опубліковано його працю "Математичний аналіз логіки", а незабаром - "Закони думки". До кінця XIX ст. у працях німецького вченого Ернста Шредера цей підхід, відомий як "логіка висловів", "логіка тверджень" досяг повного завершення. Мова логіки висловів містить символи для позначення простих висловів, логічних термінів, якими ці прості вислови об'єднують у складні, та правил перетворення висловів (для отримання нових висловів, тобто нових знань).

Новий підхід до формалізації мислення мав ту перевагу, що в ньому застосовували математичний апарат; однак він також був неповним, зокрема, він не давав змоги записати логічну структуру міркувань з відношеннями (наприклад, міркувань такого типу а > Ь, Ь > с, отже, а > с). Необхідність логічного запису таких міркувань виникла з огляду на потребу реорганізації математичних знань. Потреба систематизувати і впорядкувати отримані в математиці на середину XIX ст. знання зумовила підвищене зацікавлення, окрім іншого, аксіоматичним методом. Побудові системи аксіом надавали важливого значення: вважали, що побудова повної несуперечливої системи з незалежних аксіом для певного розділу математики чи для найзагальнішого її розділу (теорії множин), стане своєрідним компактним відображенням математичних знань, з якого можна було б виводити всі теореми. Німецький учений Готліб Фреге запропонував забезпечити несуперечливість аксіом шляхом запису їх як законів логіки (як тотожностей). Потреба записати аксіоми арифметики, подібні до наведеної вище, мовою логіки породила потребу дещо вдосконалити мову логіки, зробити її детальнішою, виділити і позначити складові простого вислову. Перша праця Г. Фреге, спрямована на досягнення цієї мети (видана 1879 р.), так і називалась -"Вegriffsschrift", тобто "запис поняттями". Паралельно з Г. Фреге у цьому напрямі працював італійський учений Джузеппе Пеано. У підсумку створено нову формалізацію процесу мислення (відповідний розділ логіки називають логікою предикатів). Отже, крок до повнішої формалізації мислення був зроблений уже не з огляду на потреби логіки, а через потреби застосування логіки до вирішення проблем математики, тобто з огляду на прикладні проблеми логіки.

Оскільки засоби логіки предикатів дали змогу описати і виводи традиційної логіки, і виводи з відношеннями, а, окрім того, виводи зі складних висловів, то у XX ст. сформувався погляд, що традиційна логіка є лише етапом на шляху до сучасного стану логіки (до математичної чи, за іншою назвою, символічної логіки).

Застосування методів математики дало змогу розвинути класичні підходи в логіці та вийти за їхні межі, що виявилось у розвитку різних напрямів некласичних розширень логіки. Водночас 30-ми роками XX ст. можна датувати початок інтенсивного розвитку логіки для створення апаратних пристроїв автоматизації, а вслід за ними і завдяки їм з другої половини XX ст. - електронних інформаційних технологій, які ґрунтуються на створенні програмних продуктів. Усе це привело до реального порушення проблем зі створення штучного інтелекту й інтенсивних досліджень величезної кількості науковців та інженерних працівників у напрямі матеріалізації цих ідей і зумовило надзвичайно бурхливий розвиток логіки. Наскільки незмінними були логічні теорії до середини XIX ст., настільки бурхливим є розвиток сучасної логіки, що виявляється, насамперед, у формуванні різних напрямів застосування логіки, створенні нових теорій, великій кількості дослідників, наукових та навчальних видань з логіки. Оскільки сучасний розвиток інформаційних технологій настільки швидкий, що великі зміни помітні вже не тільки впродовж життя одного покоління - величезні зміни відбуваються у межах десятиліть, то це дає підстави для переконання, що в майбутньому невпинний розвиток логіки триватиме.

Цей короткий екскурс в історію логіки дає змогу з'ясувати зміст таких назв, як традиційна логіка, математична логіка, символічна логіка. Зокрема, традиційна логіка - це арістотелева силогістика, доповнена розділами про поняття, судження та застосування логіки в науковому пізнанні. Традиційна логіка є етапом у розвитку логіки.

Математична логіка (символічна логіка) - це наступний після традиційної логіки етап розвитку науки, який полягає в застосуванні математичного апарату до розвитку логічних теорій. Водночас "математична логіка" може бути вужчим поняттям, а саме - як галузь знань, у якій застосовують методи логіки до обґрунтування проблем математики. Справді, книжки з математичної логіки (написані математиками для математиків) часто містять дві частини: перша - логіка; друга - застосування логіки до розв'язування проблем математики, зокрема, обґрунтування основ математики.