Логіка - Карамишева Н.В. - Формально-логічна система

Метасимвол - це символ, який позначає інші логічні символи, терміни, висловлювання, змінні, пропозиційні формули і под. До метасимволів, зокрема, належать:

- 5 (іноді Я, й тощо) - символи, які позначають конкретну формально-логічну систему;

- А, В, С - метазмінні (інші символи метазмінних, що використовують у літературі з символічної логіки: Ф, Я (або Я1,; Р2);

- N - символ логічного виведення;

- лапки (" ") - символ метаоператора, який використовують для побудови метатермінів і мета висловлювань;

- "і", "або", "якщо... то", "якщо і тільки якщо... то", "неправильно, що..." й інші - слова, які в метамові визначають пропозиційні зв'язки кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквівалентності, заперечення та позначають символами л V -> = -".

Метатермін - це термін, який позначає інший термін, різновид метасимволу.

До метатермінів належать:

1. Метазмінна - термін металогіки, що означає змінну (символічно позначають символами А, В), замість якої можна підставити конкретну змінну в межах певної формальної системи. Так, у класичній символічній логіці замість метаформули А ->(А V В), де А та В метазмінні, можна підставити пропозиційну формулу а -> (а V Ь).

2. Метаформула - формула, яка будується з метазмінних і пропозиційних зв'язок. Приклади метаформул: А Л В; А V В; А -> (А V В).

Метаформула будується з метою підставлення замість метазмінних А і В конкретних пропозиційних формул. Скажімо, замість метаформули А а В підставляють конкретні пропозиційні змінні х і у, отримуючи формулу х а у.

Метаформулою можна зобразити закони логіки, що були визначені в традиційній логіці:

1= (А = А) - закон тотожності;

1= -" (А л -> А) - закон несуперечності;

1= (А V т? А) - закон виключеного третього.

3. Метависловлювання - це висловлювання, яке вказує на інше висловлювання або пропозиційну формулу і дає його логічну характеристику. Якщо метависловлювання стверджує дещо про формулу, то воно набуває виразу: "Формула виду А є аксіомою"; "Формула виду В є теоремою"; "Формула виду "А (х) V -і А (х)" у логіці висловлювань є тотожно-істинною". Символічно = (А (х) V г" А (#)), де 1= - оператор логічного виведення.

4. Метааксіома - метаформула, замість якої можна підставити конкретну аксіому в межах певної формально-логічної системи. Наприклад: метаформула А -> (А V В), де А та В метазмінні, --> оператор імплікації, V - оператор диз'юнкції. Якщо замість А і В підставити пропозиційні змінні а і в, то отримаємо аксіому а -> (а V в).

На підставі металогічного аналізу визначаються: зміст терміна "формально-логічна система"; принципи побудови й особливості конкретних формально-логічних систем (класичних і некласичних логічних теорій); сферу дії логічних законів, тобто чи є певний закон елементом у структурі певного типу формальної системи чи не є; можливості інтерпретації певної формально-логічної системи.

Формально-логічна система

Визначимо основні терміни, що належать до об'єктної мови символічної логіки.

Формально-логічна система - система, побудована методом формалізації.

Формалізація (лат. formalis - складений за формою) - метод побудови формальної системи зі штучно створеної мови.

Формалізована мова - штучно створена система символів з метою формального зображення змісту знання про об'єкт, що досліджують символічною логікою. Формалізована мова створює формальний апарат символічної логіки, яку Д. Гільберт назвав "технікою мислення" людини.

Терм - символ, що означає узагальнення об'єктів у формально-логічній системі та позначає будь-який об'єкт логічного аналізу - термін, висловлювання, пропозиційну змінну, пропозиційну зв'язку та ін. Терм визначають як синтаксично правильно побудований символ (вираз), що не має денотату, на відміну від термінів, котрі позначають певне поняття. Наприклад, вирази "круглий квадрат", "скінченна нескінченність" є термами, незважаючи на їх інтуїтивний зміст.

Термін (лат. terminus - межа) - символ, що позначає об'єкт дослідження символічної логіки. До них належать висловлювання, предикат, пропозиційна змінна, пропозиційна постійна (константа), логічний закон, пропозиційна функція, істиннісне значення висловлювання, квантор і под.

Визначимо смисл термінів, які загальні для всіх формально-логічних систем.

Висловлювання - формальний вираз, побудований із символів алфавіту певної формально-логічної системи, який має значення істинності ( - істина або - хибність); те саме, що формула, формальний вираз.

Формула (лат. formula - образ, вид) - вирази виду А; А Л В: А 1 В, котрі створюють за правилами побудови формул. Множина взаємопов'язаних формул створює формальну систему, в межах якої за допомогою особливих логічних операцій визначають, котра із формул є аксіомою, а котра не є аксіомою.

За структурою побудови формули поділяють на прості (елементарні, атомарні) й складні (молекулярні). Так, формула виду А - проста, а формула виду А А В - складна.

Пропозиційна змінна (лат. propositio - речення, висловлювання) - змінна, що входить до структури формального виразу і позначається символами х, у, г,...

Пропозиційна постійна (логічна зв'язка, логічна константа) - логічний сполучник, за допомогою якого з двох і більше простих формальних виразів утворюють складні формальні вирази. Вона позначається символами, які зображають конкретний сполучник: Л - кон'юнкція; v - диз'юнкція; -> - імплікація; s - еквівалентність; -" - заперечення.

Аксіома (грец. axioma - значуще, несуперечливе) вихідне положення певної дедуктивної теорії; тотожно-істин на формула.

Система аксіом - множина формул, що є аксіомами в межах певної системи, на підставі яких за правилами виведення можна отримати нову (вивідну) формулу.

Теорема (грец. theorema - розглядати, досліджувати) - формула, яка доводиться через її дедуктивне виведення з аксіом у межах певної системи.

Розрізняють процес доведення теореми та результат, тобто її доведеність. Процес доведення теореми становить послідовність виведення одних формул з інших (які є аксіомами) за правилами логічного виведення, а результат - доведена теорема, що стає тавтологією (тотожно-істинною, загальнозначущою), формулою.

Пропозиційна функція - функція висловлювання з пропозиційної змінної, якій можна надати істиннісне значення ("істинне" або "хибне") внаслідок підставлення предметних аргументів. Пропозиційна функція позначається символами пропозиційних змінних - д:, у, <z.., символом властивості Р і символом відношення R, Скажімо, формули виду Pix); хЯу; R(x, у, г) є пропозиційними функціями. Замість символів, що позначають пропозиційну функцію, можна підставити аргумент, який надає висловлюванню істинності значення. Наприклад: "х - давньогрецький філософ" - пропозиційна функція з однієї змінної х, замість неї підставимо аргумент - ім'я "Сократ" - і отримаємо істинне висловлювання: "Сократ - давньогрецький філософ".

Предикат (предикатор) - термін, який позначає властивості предметів або відношення між предметами.

Квантор (лат. quantum - скільки, кількість) - термін, що вказує на кількість предметів, котрі належать до того чи іншого класу. Виражається словами "усі", "жодний" (квантор загальності; позначаються символом V); "деякі", "існує" (квантор існування; позначають символом 3). Детальніше про предикат і квантор буде висвітлено у 4.2.2.

Функція істинності - те саме, що значення істинності висловлювань; сфера значень істинності висловлювань, яку визначають у межах певної системи 5. Позначають символами "/" (істинне) або "#" (хибне).