Концепції сучасного природознавства - Карпов Я. С. - 2.9.3 Аналітична механіка матеріальної точки й динаміка твердого тіла Ейлера

Основна праця Ж.Л. Даламбера (1717-1783) — "Трактат про динаміку" — була опублікована в 1743 р.

Перша частина трактату присвячена побудові аналітичної статики. Тут Даламбер формулює "основні принципи механіки", серед яких "принцип інерції", "принцип додавання рухів" і "принцип рівноваги".

"Принцип інерції" сформульований окремо для випадку спокою і для випадку рівномірного прямолінійного руху. "Силою інерції, — пише Даламбер, т я разом з Ньютоном називаю властивість тіла зберігати той стан, в якому воно перебуває".

"Принцип додавання рухів" являє собою закон додавання швидкостей і сил за правилом паралелограма. На основі цього принципу Даламбер вирішує задачі статики.

"Принцип рівноваги" сформульовано у вигляді такої теореми: "Якщо два тіла що рухаються зі швидкостями, оберненопропорційними їхнім масам, мають протилежні напрямки, так що одне тіло не може рухатися, не зрушуючи з місця інше тіло, то ці тіла перебуватимуть у стані рівноваги". У другій частині "Трактату" Даламбер запропонував загальний метод складання диференціальних рівнянь руху будь-яких матеріальних систем, заснований на зведенні задачі динаміки до статики. Він сформулював правило для будь-якої системи матеріальних точок, назване згодом "принципом Даламбера", відповідно до якого прикладені до точок системи сили можна розкласти на "діючі", тобто такі, які спричинюють прискорення системи, і "загублені", необхідні для рівноваги системи. Даламбер вважає, що сили, які відповідають "загубленим" прискоренням, утворюють таку сукупність, яка ніяк не впливає на фактичну поведінку системи. Іншими словами, якщо до системи прикласти тільки сукупність "загублених" сил, то система залишиться в спокої. Сучасне формулювання принципу Даламбера дав М Є. Жуковський у своєму "Курсі теоретичної механіки": "Якщо в який-небудь момент часу зупинити систему, що рухається, і додати до неї, крім її рушійних сил, ще всі сили інерції, що відповідають даному моменту часу, то спостерігатиметься рівновага; при цьому всі сили тиску, натягу й т.д., що розвиваються між частинами системи при такій рівновазі, будуть справжніми силами тиску, натягу й т.д. при русі системи в розглянутий момент часу". Слід зазначити, що сам Даламбер при викладі свого принципу не вдавався ні до поняття сили (вважаючи, що воно не є достатньо чітким, щоб входити в перелік основних понять механіки), ні тим більше до поняття сили інерції. Виклад принципу Даламбера із застосуванням терміна "сила" належить Лагранжу, який у своїй "Аналітичній механіці" дав його аналітичне вираження у формі принципу можливих переміщень. Саме Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) і особливо Леонардо Ейлер (1707-1783) відііграли істотну роль в остаточному перетворенні механіки на аналітичну механіку.

2.9.3 Аналітична механіка матеріальної точки й динаміка твердого тіла Ейлера

Леонардо Ейлер — один з видатних учених, який зробив великий внесок у розвиток фізико-математичних наук у XVIII ст. Його творчість вражає проникливістю дослідницької думки, універсальністю обдарування й величезним обсягом залишеної наукової спадщини.

Уже в перші роки наукової діяльності в Петербурзі (Ейлер приїхав у Росію в 1727 р.) він склав програму грандіозного й всеосяжного циклу робіт в галузі механіки. Ця програма міститься в його двотомній праці "Механіка, або наука про рух, викладена аналітично" (1736). "Механіка" Ейлера була першим систематичним курсом ньютонівської механіки. Вона містила основи динаміки точки - під механікою Ейлер розумів наукучхро рух, на відміну від науки про рівновагу сил, чи статики. Визначальною рисою "Механіки" Ейлера було широке використання нового математичного апарата — диференціальнотвчй інтегрального числень. Коротко охарактеризувавши основні праці з механіки, що з'явилися на межі XVII-XVIII ст., Ейлер відзначав син-тетико-геометричний стиль їхнього викладу.що створював для читачів надзвичайно багато труднощів. Саме в такій манері написані "Начала" Ньютона і більш пізня "Фо-рономія" (1716) Я. Германа. Ейлер указує, що роботи Германа і Ньютона викладені "за звичаєм стародавніх за допомогою синтетичних геометричних доведень" без застосування аналізу, "тільки завдяки якому й можна досягти повного розуміння цих речей".

Синтетико-геометричний метод не мав узагальнюючого характеру, а вимагав, як правило, індивідуальних побудов стосовно кожної задачі окремо. Ейлер зізнається, що після вивчення "Форономії" і "Начал" він, як йому здавалося, "досить ясно зрозумів вирішення багатьох задач, однак задач, що якоюсь мірою відступають від них, уже розв'язати не міг". Тоді він спробував "виділити аналіз із цього синтетичного методу і ті ж пропозиції для власної користі проробити аналітично". Ейлер відзначає, що завдяки цьому він значно краще зрозумів суть питання. Він розробив принципово нові методи дослідження проблем механіки, створив її математичний апарат і блискуче застосував його до багатьох складних задач. Завдяки Ейлеру диференціальна геометрія, диференціальні рівняння, варіаційне числення стали інструментом механіки. Метод Ейлера, розвинутий пізніше його наступниками, був однозначним й адекватним предмету.

Праця Ейлера з динаміки твердого тіла "Теорія руху твердих тіл" має великий вступ із шести розділів, де знову викладено динаміку точки. У вступ внесено ряд змін: зокрема, рівняння руху точки записуються за допомогою проектування на осі нерухомих прямокутних координат (а не на дотичну, головну нормаль і нормаль, тобто осі нерухомого природного тригранника, пов'язаного з точками траєкторії, як у "Механіці").

Наступний після вступу "Трактат про рух твердих тіл" складається з 19 розділів. В основу трактату покладено принцип Даламбера. Коротко зупинившись на поступальному русі твердого тіла і ввівши поняття центра інерції, Ейлер розглядає обертання навколо нерухомої осі й навколо нерухомої точки. Тут подано формули для проекцій миттєвої кутової швидкості, кутового прискорення на осі координат, використовуються так звані кути Ейлера й т.д. Далі викладено властивості моменту інерції, після чого Ейлер переходить, власне, до динаміки твердого тіла. Він виводить диференціальні рівняння обертання важкого тіла навколо його нерухомого центра ваги за умови відсутності, зовнішніх сил і розв'язує їх для найпростішого окремого випадку. Так виникла відома й настільки ж важлива в теорії гіроскопа задача про обертання твердого тіла навколо нерухомої точки. Ейлер працював також над теорією суднобудування, у галузях гідро- та аеромеханіки, балістики, теорії стійкості й теорії малих коливань, небесної механіки й ін.

Через вісім років після виходу "Механіки" Ейлер збагатив науку першим точним формулюванням принципу найменшої дії. Формулювання принципу найменшої дії, які належали Мопертюї, були ще дуже недосконалими. Перше наукове формулювання принципу належить Ейлеру. Він сформулював свій принцип у такий спосіб: інтеграл має найменше значення для справжньої траєкторії, якщо розглядати

останню в групі можливих траєкторій, що мають загальні початкове й кінцеве положення й здійснюються із тим самим значенням енергії. Ейлер надає своєму принципу точного математичного вираження й строгого обґрунтування для однієї матеріальної точки, що зазнає дії центральних сил. Протягом 1746-1749 pp. Ейлер написав кілька робіт про фігури рівноваги гнучкої нитки, де принцип найменшої дії було застосовано до задач, в яких діють пружні сили.

Таким чином, до 1744 р. механіка збагатилася двома важливими принципами: принципом Даламбера й принципом найменшої дії Мопертюї-Ейлера. Спираючись на ці принципи, Лагранж побудував систему аналітичної механіки.