Математична статистика - Руденко В.М. - Формула Байєса

Формула повної ймовірності дає можливість розрахувати ймовірність Р(А) події А, якщо вона залежить від системи подій-гіпотез Н₁,Н₂,...,Н_п, за умовними ймовірностями яких Р(А|Р(а | н₂), ". ,Р(а | н_п) може відбутися ця подія А. Проте важливим завданням математики є розрахунки умовної ймовірності Р(н, | А) гіпотези ні, якщо відомо, що у випробуванні подія А вже відбулася. Згідно з теоремою множення ймовірностей можна записати Р(н, - А) = Р(Щ - Р(А | ні) = Р(А) - Р(н, | Л).

Звідси

р_ініа) = ^{р(н 1)} o^{Р( А|Я 1)} . (3.8)

¹ Р( А)

Якщо знаменник Р(А) замінити формулою повної ймовірності (3.7), отримаємо формулу Байєса:

Р(Я,|А) = п^{Р(Д 1)}o^Р(А'^Яі) , (3.9)

Е Р( Н,) o Р( А|Ні)

1=1

де н₁,н2,...,н_п - попарно несумісні події, що утворюють повну групу.

Формула Байєса дає можливість підрахувати "апостеріорні"¹⁰ ймовірності р(ні | А) за допомогою "апріорних"¹¹ ймовірностей Р(н) "гіпотез" Я,- .

Приклад 3.7. За умовами прикладу 3.6 викликаний навмання студент відповів на три заданих питання. Яка ймовірність того, що цей студент є: а) відмінно підготовлений; б) підготовлений погано?

Рішення: Висуваємо чотири гіпотези щодо ймовірності появи (у результаті виклику навмання) того чи іншого студента з певною підготовкою:

- гіпотеза ні : це був студент, що підготовлений відмінно, ймовірність його появи Р(н₁) = 3/10 = 0,3;

- гіпотеза н₂ : це був студент, що підготовлений добре, ймовірність його появи Р(н₂) = 4/10 = 0,4;

¹⁰ a posteriori (лат.) - на основі досліду.

¹¹ a priori (лат.) - до досліду.

- гіпотеза Н₃ : це був студент, що підготовлений задовільно, ймовірність його появи Р(Н₃) = 2/10 = 0,2;

- гіпотеза Н₄ : це був студент, що підготовлений погано, ймовірність його появи Р{Н₄) = 1/10 = 0,1.

Умовні ймовірності виконання трьох завдань того чи іншого студента з певною підготовкою розраховуються як ймовірності добутку трьох залежних подій (успішного виконання трьох завдань). Згідно з теоремою множення:

- умовна ймовірність виконання трьох завдань студентом, що підготовлений відмінно, дорівнюватиме Р(АН,) = (20/20)(19/19)(18/18) = 1;

- умовна ймовірність виконання трьох завдань студентом, що підготовлений добре, дорівнюватиме Р(АН₂) = (16/20)(15/19)(14/18) = 0,491;

- умовна ймовірність виконання трьох завдань студентом, що підготовлений задовільно, дорівнюватиме Р(АН₃) = (10/20)-(9/19)o (8/18) = 0,105;

- умовна ймовірність виконання трьох завдань студентом, що підготовлений погано, дорівнюватиме Р(АН₄) = (5/20)o (4/19)o (3/18) ~ 0,009.

За формулою Байєса:

а) ймовірність того, що це був студент, підготовлений відмінно, складає

Р(Н_ЛА) = ₄^Р(Я1⁾o^Р(ЛН 1⁾ , £ Р(Я,) o Р( АЯ,)

або Р(Я₁ А) =-°³-¹-и 0,58 " 58% ;

0,3 -1 + 0,4 o 0,491 + 0,2 o 0,105 + 0,1 o 0,009

б) ймовірність того, що це був студент, підготовлений погано, складає

Р(Я₂ А) =-^0,1'^0,009-" 0,002 " 0,2% .

0,3 -1 + 0,4 o 0,491 + 0,2 o 0,105 + 0,1 o 0,009

Відповідь: ймовірність того, що на всі три питання дав відповідь відмінно підготовлений студент, дорівнює 58%, у той час як ймовірність для погано підготовленого складає лише 0,2%. Отриманий результат також може означати, що процедура іспиту за даними критеріями має доволі високий рівень діагностичних властивостей - порівняйте 58% для відмінника і 0,2% для погано підготовленого студента.

Елементи комбінаторики

Для рішення завдань теорії ймовірностей і математичної статистики важливе значення мають такі математичні поняття комбінаторики, як перестановка, розміщення і комбінація.

Перестановкою з т різних елементів називають такий об'єкт, який складається з цих самих т елементів. Кількість Р_т таких об'єктів-перестановок, які відрізняються один від одного лише місцем розташування своїх елементів, розраховується за формулою:

Рт = т!, (3.10)

де т! = 1-2-3-...-т - факторіал числа т (проте 0!=1). Наприклад, для трьох об'єктів а, Ь, с (т =3) кількість перестановок дорівнює 3!=1-2-3=6, а саме такі перестановки:

а Ь с ; а с Ь ; Ь а с ; Ь с а ; с а Ь ; с Ь а . Розміщенням з п елементів по т називають такий об'єкт, який складається з т елементів, вибраних з п елементів. Причому розміщення з однакових елементів, але з різними місцями їх розташування, вважаються різними. Кількість об'єктів-розміщень А_п^т розраховується за формулою:

п

А^т_п = п(п - 1)(п - 2)...(п - т +1) або ^Ат =---:. (3.11)

^п (п - т)! '

Наприклад, для трьох об'єктів а, Ь, с (п=3) кількість розміщень по два об'єкти (т=2) буде дорівнювати А₃² = 3 o 2 = 6, а саме такі розміщення: а Ь ; Ь а ; а с ; с а ; Ь с ; с Ь.

Комбінацією з п елементів по т називають такий об'єкт, який складається з т елементів, вибраних з п елементів. Проте об'єкти-комбінації відрізняються між собою хоча б одним елементом. Кількість таких об'єктів с_п^т розраховується за формулою:

^{Ст =}~Г<-^ ^аб° ^Сп ~-і-. (3.12)

т!(п - т)! т!

Наприклад, для трьох об'єктів а, Ь, с (п=3) кількість комбінацій по два об'єкти (т=2) буде дорівнювати:

^С3 ~ 2!(3 - 2)! ~ 1 o 2 o 1 ~ ³, ^{а СаМ£}: ° ° ' ° ° ' ° ° . Отже, значення с_п^т (кількість комбінацій з п елементів по т) менше за А_п^т (кількість розміщень з п елементів по т) у Р_т разів, тобто між поняттями комбінаторики існує співвідношення:

^Сп = Рг o (з-із)

Приклад 3.8. Яка ймовірність того, що у випробовуванні з випадковим витягуванням шести карток-літер "Е", "П", "Р" і т.д. можна скласти навмання слово "ПРОЦЕС"?

Рішення: Випробовування полягає в витягуванні у випадковій послідовності карток з літерами без повернення. Подія А отримання слова "ПРОЦЕС" є елементарною подією серед перестановок з 6 літер. Кількість перестановок для п=6 визначається як Р_т:

Р_т = п! = 6! = 1-2-3-4-5-6 = 720.

Звідси ймовірність бажаної події є Р(А) = ~ 0,0014 " 0,14%.

Відповідь: ймовірність скласти навмання слово "ПРОЦЕС" з шести відповідник карток-літер дорівнює 0,14%.

Приклад 3.9. Яка ймовірність скласти навмання слово "МАТЕМАТИКА" з десяти окремих карток-літер?

Рішення: Подія А отримання слова "МАТЕМАТИКА" є елементарною подією перестановок з 10 літер, кількість яких визначається як п!=10!=3628800. Проте деякі літери повторюються ("М" - 2 рази, "А" - 3 рази, "Т" - 2 рази), тому існують перестановки, які не змінюють слова.

Для літери "М" кількість перестановок, що не змінюють слова буде 2!=1 -2=2; для літери "А" - 3!=1 -23=6; для літери "Т" - 2!=Г2=2. Загальна кількість перестановок, що не змінюють слова буде т=2!-3!-2!=1-2-1-2-3-1-2=24.

Звідси ймовірність бажаної події є Р(А) =-" 0,0000066 " 0,0007%.

3628800

Відповідь: ймовірність скласти навмання слово МАТЕМАТИКА дорівнює близько 0,0007%.

Приклад 3.10. Залікове завдання містить 5 питань, на кожне з яких пропонуються дві альтернативні відповіді "ТАК" і "НІ". Правильна відповідь на одне питання оцінюється у 1 бал, неправильна - у 0 балів. Яка ймовірність, відповідаючи навмання, скласти залік, тобто отримати не менш 4-х балів?

Рішення: Подія А успішного складання заліку - це отримання 4-х або 5-ти балів з 5-ти можливих. Ймовірність цієї події Р(А) = Р(4)+Р(5). Залікове випробування містить п'ять елементарних випробувань. Якщо відповідати навмання, то ймовірності кожної бажаної р(1) і кожної небажаної р(0) елементарної події однакові і дорівнюють по 4, тобтор(1) = р(0) = 4 = 0,5.

Звідси ймовірності отримання:

4 бали - Р{4)=р{1Ур{1Ур{1Ур{1у_Р{0уС5⁴ = 0,5⁵-5 = 5/32 = 0,15625 = 15,625%;

5 балів - Р{5)=р{1Ур{1Ур{1Ур{1Ур{1уС₅⁵ = 0,5⁵ 1 = 1/32 = 0,03125 = 3,125%.

Загальна ймовірність складання заліку Р(А) = 15,625% + 3,125% = 18,75%.

Відповідь: Згідно умовам ймовірність скласти залік, відповідаючи навмання на 5 питань завдання, дорівнює 18,75% (проте, ймовірність не скласти залік дорівнює 1 - 18,75% = 81,25%).

Запитання. Завдання.

1. Розкрийте означення понять "випробування", "елементарна подія", "простір елементарних подій", "повна група подій", "випадкова подія".

2. Які події називають неможливими і достовірними, незалежними і залежними?

3. Які події називають сумісними і несумісними?

4. Назвіть і охарактеризуйте основні типи операцій над подіями (слідування, еквівалентність, доповнення, добуток, сума).

5. Що таке "ймовірність події" і як визначається класична ймовірність?

6. Які значення мають ймовірності неможливих і достовірних подій?

7. Наведіть формулу для розрахунку суми та добутку ймовірностей сумісних і несумісних подій.

8. За якими формулами розраховують такі елементи комбінаторики, як перестановка, розміщення і комбінація?

9. Сформулюйте означення ймовірності у рамках аксіоматичного підходу.

10. Охарактеризуйте три аксіоми Колмогорова.

11. Що таке "умовна ймовірність"?

12. Наведіть формулу повної ймовірності.

13. Наведіть і поясніть формулу Байєса.

14. Повторіть математичні процедури завдань за прикладами 3.1 - 3.9.