Статистика - Опря А.Т. - § 5.5. Характеристика асиметрії і ексцесу

При зміщенні вправо від центра асиметрія буде характеризуватися додатнім числом, при зміщенні вліво - від'ємним.

Коефіцієнт асиметрії (^А.) розраховується як відношення центрального моменту третього порядку до куба середнього квад-

. А. =4, _А

ратичного відхилення : ^ст тобто ^{л. т3}.

Як бачимо, коефіцієнт асиметрії - це нормований момент третього порядку (^т3). Вважається, що криві з абсолютною величиною показника асиметрії ^А* > ± 0,5 характеризуються значним

зміщенням. Якщо ^А. ^ ± 0,25 - асиметрія незначна.

Графічно (рис.8) асиметрія описується напрямом більш довгої вітки кривої ("дзвін").

Якщо ^ ^{= 0} - розподіл симетричний, якщо ^А1 > 0 - розподіл має

А п

правосторонню асиметрію; якщо ¹ < 0 - лівосторонню асиметрію.

Криві, зображені на рисунку 8, дозволяють ілюструвати симетрію і два найбільш поширених види асиметрії розподілу. При симетричному розподілі (а) середня арифметична, мода і медіана рівні між собою. Для асиметричних кривих ці статистичні величини неоднакові. Причому середня арифметична і медіана зміщені від центра вбік довшої вітки кривої. Оскільки середня арифметична (^х) "чутка" до "точного" положення більш віддалених від моди (^м0) точок кривої, а медіана (^ме) "нечутка", то середня (^х) зрушена більше, ніж медіана (^ме). У цьому випадку медіана знаходиться між

Рис. 8. Форми розподілу при різних значеннях коефіцієнта асиметрії ( А *)

модою і середньою арифметичною.

Як бачимо, напрямок асиметрії геометрично встановлюється дуже просто. Кількісна форма степеня асиметрії вимагає знаходження її алгебраїчної міри.

Приклад. За даними дискретного статистичного ряду розподілу господарств за врожайністю зернових культур потрібно кількісно виміряти асиметрію розподілу варіант у даній вибірці. Для знаходження величини коефіцієнта асиметрії за наведеною вище формулою необхідно виконати додаткові розрахунки. Останні наведені в таблиці 38.

Таблиця 38

Вихідні і розрахункові дані для обчислення коефіцієнтів асиметрії (^ ) і експесу⁾

^ ₌ Д*.-х^{)2 -} ₌ _²_^238,9_ ₌ 39,3 За попередніми розрахунками маємо: ⁵⁷ .

Оскільки ^² ~° величина середнього квадратичного відхилення становить:

сг = л/ст⁷ ^ д/39,3 = 6,3

Значення величини центрального моменту третього порядку ^

_Мз = ^{£( Х}--~^{Х)3 П} = і^523,6 = 79,4 '

одержуємо із виразу ⁵⁷ .

Підставивши значення ^³ і ^ у формулу коефіцієнта асиметрії, маємо:

_А, ₌4 ₌ Щ -_ 1ЇА_ 0,318 ¹ ст³ 6,3³ 250,0

Додатне значення показника * свідчить про правосторонню асиметрію розподілу господарств за урожайністю, а абсолютне його значення 0,25< |0,3181 < 0,5| означає наявність помірної асиметрії в досліджуваному ряді розподілу.

На завершення слід відмітити, що при переважаючій кількості варіант в ряді розподілу менших за величиною від вибіркової середньої коефіцієнт асиметрії буде від'ємним. Якщо в варіаційному ряді переважають варіанти за величиною більше середньої, буде мати місце додатна асиметрія.

Негативною стороною коефіцієнта асиметрії, як міри асиметрії, слід назвати ту, що цей показник не має ні верхньої, ні нижньої границі. Особливо великий розмір коефіцієнта асиметрії практично майже не має місця.

Крім розглянутого способу оцінки міри асиметрії, існують і інші методичні прийоми. Вони є предметом вивчення спеціального курсу.

Для встановлення міри відхилення від нормального розподілу вираховують показник ексцесу (^Е*). Він характеризує відхилення від нормального розподілу варіант із виступанням або падінням вершини кривої розподілу. При виступанні вершини ексцес називають додатним, при її падінні - від'ємним.

Для кількісного виміру гостровершинності використовується центральний момент четвертого порядку (^4). Відношення останнього до середньоквадратичного відхилення в четвертому степені називають коефіцієнтом гостровершинності (ексцес). Тобто

обчислюється нормований момент четвертого порядку ). Якщо за базу порівняння прийняти нормальний розподіл, то відношення

. Тому коефіцієнт гостровершинності або просто "ексцес" (Ех) буде виражатися формулою:

Якщо степінь гостровершинності нормальний, ^Е * ^{= 0}. Для більш гостровершинних розподілів, ексцес буде додатнім (^Е* ^° ), для більш плосковершинних - від'ємним (^Е*^⁰). Форми "вершинності" для вказаних випадків представлено на графіку (рис. 9).

Рис. 9. Форми розподілу для різних значень ексцесу ( *).

Якщо величина показника ексцесу * ' ' крива вважається слабоексцесивною. Найбільша абсолютна величина від'ємного ексцесу становить мінус 2. При такому значенні вершина кривої опускається до осі абсцис і крива розподілу ділиться на дві самостійні одновершинні криві.

Слід відзначити, що термін "ексцес" грецького походження (китішіз), і назви форми ексцесу в різних кривих розподілу мають корінь цього слова. Мається на увазі стрічкокуртичні, платокуртичні і мезокуртичні криві (рис. 10).

Рис. 10. Типи ексцесу: а - стрічкокуртичний, б - платокуртичний, в - мезокуртичний

Відповідно до графіка, стрічкокуртичної кривої (а) характерне розміщення більшості одиниць спостережень поблизу центра. У випадку платокуртичної кривої (форма силуету плато) варіанти значно віддалені від центра розподілу (б). Помірне розміщення навколо центра розподілу варіант визначає форма ексцесу у вигляді мезокуртичної кривої (в).

Для кривої нормального розподілу (при ^х =⁰ і ° =¹) значення коефіцієнта ексцесу (^Е*) становить 0,263. При цьому його величина обчислюється за формулою:

де ^^{3 +} ^ - відповідно третя і перша квартилі;

р р ,

^І9°>^І10- дев яностии і десятий перцентилі.

Таким чином, коефіцієнт ексцесу визначається відношенням половини розмаху між двома квартилями до різниці 90-го і 10-го перцентилей. (Величини, які характеризують розділення розподілу на чотири, десять і сто рівних частин, називаються відповідно квартилями, децилями і перцентилями).

Згідно з розподілом підприємств за врожайністю зернових культур (табл. 38), величина коефіцієнта ексцесу становить:

_{= 4} _ 3 ₌ ^233450:57 _ 3 * сг⁴ 6,3⁴

Відповідно до величини розрахованого показника ексцесу (^Е=~^0,52), крива розподілу характеризується платокуртичною формою зі слабовираженою ексцесивністю, тобто форма кривої на графіку - плосковершинна.