Статистика - Опря А.Т. - 7.1.2. Алгоритми рішення дисперсійних моделей

Приклад. Розглянемо послідовність розрахунку однофакторного дисперсійного комплексу на прикладі залежності середньорічного надою корів ( V) від рівня годівлі (А) в 30 (п) підприємствах.

На першому етапі здійснюється групування підприємств за факторною ознакою. У даному прикладі сукупність підприємствах. поділена на три групи за рівнем використання кормів на корову в рік (А). Обробка вихідної інформації здійснюється за схемою таблиці 47.

С С

На підставі даних таблиці 47 знаходимо загальну ( ^у), факторну ( *), залишкову (^ ) дисперсії:

С =УУ² -^'= 39740 - 39138 = 602; п

(У V )²

С_х =У Н -^'= 39433 - 39138 = 295; п

С_г = ² -XН = 39740 - 39433 = 307.

с с с

Співвідношення складових дисперсій ( " ²) до загальної ( ^у) показує ступінь участі факторних ознак у формуванні загальної їзмінюваності результативної ознаки. Так, ступінь впливу рівня годівлі корів на їх

^ = <к = ²⁹⁵ = 0,49 С 602

продуктивність становитиме: ^у (49%).

Ступінь впливу суми інших неврахованих факторів на результативну

^ ₌ ³⁰⁷ ₌ 0,51 ' С 602

ознаку обчислюється за таким співвідношенням: ^у ( 51%).

Таким чином, у розглянутому прикладі факторна ознака (рівень годівлі) визначає 49% загальної варіації результативної ознаки (надою).

Таблиця 47

Вихідні і розрахункові дані однофакторного дисперсійного комплексу

Дисперсія як показник різноманітності залежить від кількості одиниць спостереження (підприємств) у групі. Для визначення впливу факторів ця обставина не має значення. В інших же випадках, зокрема, при встановленні вірогідності впливу факторів, необхідний показник, вільний від вказаної залежності, що допускає порівняння груп, різних за кількістю елементів, що входять до них. Таким показником є коригована дисперсія - девіата.

Девіатою називають дисперсію, яка припадає на один елемент вільного варіювання або на один ступінь вільності.

■ ■ Г¹

Корінь квадратний з девіати ° ) являє собою звичайний показник математичної статистики - середнє квадратичне відхилення

У нашому прикладі число ступенів вільності варіації (^г) для факторної

ознаки і для неврахованих факторів становитиме відповідно : ^у* ~¹ ~¹ ~ ³ ~¹ ~ ^2; у_г= п -1 = ³⁰ - ³ = 21, _де і - _кі_лькі_сть виділених груп; п - чисельність вибірки. Розрахуємо девіати :

_ст² ₌ ^ ₌ ²⁹⁵ ₌ 141,50; _СТ² = = ³⁰¹ = 11,31

* у, 2 ² у_г 21

Критерієм вірогідності впливу факторної ознаки на результативну є співвідношення її девіати до девіати неврахованих факторів. Якщо розраховане співвідношення дорівнює чи більше визначеної стандартної величини, вплив вважається вірогідним з певним ступенем імовірності. Стандартні відношення девіат визначаються за спеціальними таблицями (додатки 8,9).

Знаходимо це співвідношення для факторної ознаки на такому прикладі:

₌ 4 ₌ Н¹⁵⁰ ₌ 12,91. ^р о 11,31

Одержаний критерій ( ^р) порівнюємо з табличним його значенням при двох порогах ймовірності : 0,95; 0,99 (додатки 8,9).

Наведемо стандартні співвідношення девіат, що відповідають ступеням вільності варіації.

Імовірність Р Критерій Б

0,95 3,3

0,99 5,5

У нашому прикладі ^р (12,91) > ^ґт (3,3). Отже, в досліджуваних підприємствах вплив рівня годівлі корів на їх продуктивність виявився досить сильним і вірогідним. Про вірогідність результатів аналізу свідчить високий ступінь імовірності 0,99.

Приклад. Розрахунок двофакторного дисперсійного комплексу розглянемо на прикладі вивчення залежності собівартості 1ц молока (V) в 30 підприємств району від рівня концентрації поголів'я корів (А) і спеціалізації виробництва молока (В). з цією метою сукупність розділена на 2 групи з подальшим поділом на 2 підгрупи (табл. 48).

С

На підставі розрахункових даних таблиці 48 визначаємо загальну ( '), факторну ( * ) і залишкову (^ ) дисперсії:

С =2>² - 2£1 = 23328,61 - ^(826,98)2 = 532,14;

С, =₂Н - ^ = 23023,33 - ^(826,98)2 = 226,80; С₂ = УУ² - ^Н = 23328,67 - 23023,33 = 305,34.

Таблиця 48

Вихідні і розрахункові дані двофакторного дисперсійного комплексу

Ступінь впливу факторних ознак (концентрації її і спеціалізації виробництва) на результативну ознаку (собівартість виробництва молока)

ті - ^ - ^ = 0,4262 С 53214

становитиме : ^у (42,6 %). Ступінь впливу неврахованих

С_^__ ^305,34 ₌ 0,5738 С 53214

факторів на результативну ознаку буде: ^у (57,4 %).

Для кількісної характеристики впливу кожного з факторів слід дисперсію

їх сумарної дії розкласти на складові, тобто в факторній дисперсії ( * )

виділити дисперсії першого ( а ) і другого ( ") факторів, а також їх сполучення

(^^АВ).Дисперсія ^ав характеризує ступінь зумовленості впливу першого фактора другим. Складемо допоміжну таблицю 49. Третя колонка цієї таблиці розраховується на основі даних таблиці 49.

59,62=28,81 +30,81; 52,19 = 28,81 + 23,38

Таблиця 49

Допоміжні розрахунки для обробки дисперсійного комплексу за факторами А, В

Середня арифметична (загальна) по градаціях факторів становить: М = *Ь. = ¹¹⁰⁶⁸ = 27,67.

Ступінь різноманітності середніх арифметичних собівартості 1ц молока розраховуємо в такій послідовності :

С' = ІЖ _ мі ] = 30[³^ - 27,67² } = 221,70; для всіх градацій -V^а* ) ^ '

_ _й№і_Мі] = 30Г¹⁵⁴!⁴¹-27,67²] = 137,10 для градації ^ ~ =ч^л ^ ;

_в _ _с. ₌ Л£І _ мі ] = 30Г^1536,19 - 27,67² ] = 74,10 для градації ^ ^в ) ;

для сполучення факторів

А і ^В ~ ^{= С}* ~ ^С'^А ~^С'^{в =} 221,70 - 137,10 - 74,10 =10,50 Для розкладу сумарної дисперсії досліджуваних факторів на складові розраховуємо поправочний коефіцієнт:

К = ^ = ^226,80 = 1,023. С'_х 221,70

Дисперсії, зумовлені дією досліджуваних факторів і їх сполучення, становлять ^Сл = ^с'а^к = 137,10-1,023 = 140,25; С_в = С'_в К = 74,10-1,023 = 75,81; С_АВ = С'_АВК = 10,50 o 1,023 = 10,74.

Кінцева дисперсійна структура двофакторного дисперсійного комплексу

С = (С, + С" + С,") + С₇ = 226,80 + 305,34 = 5320,14. матиме вигляд: ^у ■ ^{А в АВ}' ^г

Розраховуємо ступінь впливу факторів, що вивчаються, на формування

змінюваності результативної ознаки. Зокрема, рівень концентрації поголів'я

__ С_{1 =} ИОД⁵ ₌ 0,2636,

С 53214

корів визначає варіацію собівартості 1 ц молока ^у або

_гі __ ₌ ^ ₌ 01425, С 53214

26,36 %; фактор спеціалізації - ^у або 14,25; взаємодія

, _{= =} ^О¹! ₌ 0,0202, С 53214

факторів - ^у або 2,02 %.

Числа ступенів вільності для розрахунку девіати в двофакторному

комплексі розраховуються в такій послідовності : ^ул ^{= І}л ~¹ = ² ~¹ = ^1; у_в = ї_в -1 = 2 -1 = 1; у_ав = ї_л ■ ї_в = 1; у_х =у_а + у_в +у_лв = ^3; у_г= п - Ї_А ■ ї_в = 30 - 4 = 26. Визначаємо девіати :

а_А =£. = ^140,25 = 140,25; *1 =^ = ¹⁵⁸¹ = 15,81;

_{<в =} ^ ₌ Ш^ю,^ _{д1 =} ;2²⁶_!⁸0 ₌ 15,60;

у_Ав ¹ у, ³

о* = = ^305,34 = 11,14.

у_г ²⁶ Розраховуємо Б -критерій: Рл ₌£ _{= =} 11 ₌£ ₌ 7^5,81 ₌ 6,45;

о 11,14 о 11,14

Рл, = ¹⁰²⁴ = 0,91; р = 4 =^15,60 = 6,44.

^лв о 11,14 * ст² 11,14

Одержані критерії порівнюємо з табличними їх значеннями при двох порогах імовірності 0,95 і 0,99 (додатки 8,9).

Стандартні відношення девіат, які відповідають ступеням вільності

варіації неврахованих факторів (^{Уг = 26}) і розрахованим вище ступеням вільності варіації досліджуваних факторів становитимуть:

Імовірність Р Критерій Б

При "1 = ¹ При "3 = ³

0,95 4,22 2,98

0,99 1,12 4,64

Результати аналізу кожного з факторів окремої чи сумарної їх дії слід вважати вірогідними при тих порогах імовірності, де

^рр > ^р_т. Недостовірними при ^Рр < ^р .

Приклад. Розглянемо послідовність розрахунку трифакторного дисперсійного комплексу на прикладі вивчення залежності собівартості виробництва 1ц яловичини (V) від рівня продуктивності праці (А) , рівня витрат кормів на 1 ц приросту (В) і собівартості 1ц кормових одиниць (С). З метою кількісної оцінки названих вище факторів на результативну ознаку будуємо трифакторний дисперсійний комплекс, основу якого становить комбінаційне групування 66 підприємств (табл. 50).

Досліджувану сукупність спочатку розподілено на дві групи: з рівнем

затрат робочого часу на виробництво 1 ц яловичини до 90 людино -годин. понад 90 людино -годин (^²). У кожній групі було виділено по дві підгрупи з середнім розміром витрат кормів на 1 ц продукції: менше 10 (^) і більше 10 ц

кормових одиниць. (^²). Потім кожна з них у свою чергу розподілена ще на дві підгрупи: з собівартістю 1 ц кормових одиниць, згодованих тваринам, до 14

с с

грн.^¹) і понад 14 грн. ( ²). У результаті досліджувана сукупність підприємств

була розподілена на 8 підгруп, по кожній з яких наведено варіанти

результативної ознаки (V) - рівень собівартості виробництва 0,1ц яловичини.

Оскільки у нашому прикладі розглядається трифакторний нерівномірний

комплекс, обробку його здійснюємо в такій послідовності: спочатку будуємо

звичайним чином кореляційну решітку, потім виконуємо допоміжні

розрахунки, результати яких заносимо в цю ж таблицю. До них відносяться

УУ

кількість ("=66) і сума (*-o ) варіант досліджуваного комплексу, сума часток від ділення квадратів сум варіант по кожній підгрупі на число варіант У Н

=669887,82), сума квадратів середніх арифметичних по підгрупах (У^м² = 78826.00)

С

На підставі розрахункових даних таблиці 50 визначаємо загальну ( ^у),

с с

факторну ( *) і залишкову ( ^ ) дисперсії:

С =УТ² - ⁾ = 672890,20 - ^6599,772 = 12936,20;

(У V)² 6599 772 С =У Н^г -^'= 669887,32--⁹⁹-= 9933,32;

Є_; = ^V² - £Н¹ = 672890.20 - 669887.32 = 3002.88

Встановлюємо частку всіх досліджуваних факторів у загальній варіації результативної ознаки. Так, ступінь впливу продуктивності праці, розміру

_{...... ,1 - і9333! = 0,768,}

витрат і вартості кормів на рівень собівартості становить : ^12936,20

2 3002,88

ЛІ =-'- = 0,232,

або 76,8%; а суми неврахованих факторів - ^12936,20 _аб₀ 23,2%.

Як відзначалося вище, у багатофакторних комплексах дисперсія спільної

дії врахованих факторів ( *) підлягає розподілу на дисперсії кожного з

ссе

факторів окремо ( ^А' ^в' ^с), а також дисперсії різних варіантів їх сполучень (С С С С )

^ аво ав> ас> вс). у нерівномірних комплексах всі часткові дисперсії факторів відрізнятимуться від величин таких же дисперсій в рівномірному комплексі, тому позначимо їх через С ^.

Допоміжні розрахунки для визначення окремих дисперсій показані у таблицях 51 і 52.

Таблиця 50

Обробка трифакторного дисперсійного комплексу

(А - групи підприємств за рівнем продуктивності праці, людино-годин на 1 ц ; В - розмір витрат кормів на виробництво 1ц яловичини, ц корм, од.; С- собівартість 1ц кормових одиниць, згодованих худобі, грн;

V - рівень собівартості 0,1ц яловичини, грн.; ^И' - кількість підприємств)

Ступінь відмінності по всіх факторах визначаємо за вище наведеною формулою:

Таблиця 51

Допоміжні розрахунки для обробки дисперсійного комплексу за факторами А, В, С

Таблиця 52

Допоміжні розрахунки для обробки сполучень факторів

За даними таблиць 51 і 52 визначаємо ступінь вільності середніх арифметичних для об'єднаних факторів : А і В - ^С™ ⁼ "(^Аав ~ ^кк~ ^ ^{+ М}"),

ІМ^ = ^3900610 = 9151,01;

де а 'в ^ ^

УМ² 19391 14 к, =^-^ = ^19391,14 = 9695,51

М ₌ Г⁹⁴¹⁵⁰⁶ ₌ 9101,53. і 2

Отже,

С'_АВ = 66(9151,61 - 9695,51 - 9101,53 + 9653,06) = 101,58.

Аналогічно розраховуємо часткові дисперсії для інших сполучень факторів:

А і С _- ^С'^АС ~ 66(9196,34 - 9695,51 - 9152,86 + 9653,06) = 64,02;

В і С _- ^Св с = 66(9801,89 - 9101,53 - 9152,86 + 9653,06) = 36,96;

А, В, С

С'_АВС = 13212,54 - 2805,66 - 3595,02 - 6586,80 -101,58 - 64,02 - 39,96 = 16,50.

С 9933 32

Знаходимо поправочний коефіцієнт К = - =-'■--0,1518.

^г С'_х 13212,54

Для виправлення часткових дисперсій ^С*^{, Сд, Св, Сс, Сдв, Сдс, Св с ,Сдвс} множимо на їх поправку 0,7512 і результати заносимо в другий рядок таблиці 54. Ступінь впливу досліджуваних факторів у формуванні загальної мінливості собівартості визначається відношенням часткових дисперсій по факторах (^са^;С_В^;;С_С) _{і їх сполучень} (Сав^;С_ас;С_вс^;С_АВС) _{до загальної} д_ИСперсії ^ У нашому прикладі для фактора А (затрати живої праці на 1ц приросту)

С, 12936,20 ,

у ' тобто в умовах досліджуваних підприємств варіація

продуктивності праці становить 16,3 % варіації собівартості виробництва

продукції.

Фактор В ( розмір витрат кормів на виробництво 1ц яловичини) становить 20,9 % коливання показника рівня собівартості, а фактор С (вартість 1ц корм. од.) - 38,3 %. Частка впливу у зміні рівня собівартості взаємодії факторів характеризується такими даними: А і В - 0,6 %; А і С - 0,4 %; В і С - 0,2 %; А, В і С - 0,1 %.

Знаходимо число ступенів вільності варіації, які в трифакторному

дисперсійному комплексі обчислюють у такому порядку : ^у& ^{= 1 = 1;} у_в = і_в-1 = 1; у_с = ^і_с-¹ = ^1; у_ав=у_л-у_в = 1; v_AC =v_Aov_c = ^1; у_вс = v_вov_c = ^1;

^двс = У_Л ■Ув-Ус = ^1; V, = Уа+^+^с +^ав +^ас +^вс +^авс = ^7.

Сума часткових ступенів вільності повинна давати їх число для загальної

дисперсії ^у ' ¹

Девіати, розраховані за даними нашого прикладу, наведені у таблиці 53 по рядку 5.

Вірогідність дії факторів і їх сполучень визначаємо, як і раніше відношенням факторних девіат і їх сполучень до залишкової девіати. Для нашого прикладу наведені по рядку 5 таблиці величини девіат ділимо на залишкову дисперсію 51,77. Обчислені значення коефіцієнтів Р записуємо по рядку 6.

Зіставляючи обчисленні та табличні значення Р критеріїв бачимо, що

загальнофакторна дисперсія * і дисперсії, викликані кожним з досліджуваних факторів, достовірні при всіх порогах імовірності (Р=0,95 ; Р=0,99 ; Р=0,999),

оскільки ^р > ^ґт. Дисперсії, зумовлені сполученнями (при всіх можливих варіантах) факторів, виявились невірогідними.

Таблиця 53

Зведена інформація результатів лічильної обробки трифакторного дисперсійного комплексу