Страхування - Базилевич В.Д. - Частина IX. АКТУАРНІ РОЗРАХУНКИ

Розділ 21. Моделі індивідуальних позовів.

Розділ 22. Моделі процесу позовів.

Розділ 23. Модель індивідуального ризику.

Розділ 24. Моделі тривалості життя.

Розділ 25. Страхування життя.

Розділ 26. Модель колективного ризику.

Розділ 27. Динамічна модель банкрутства.

Розділ 28. Зменшення ризику за допомогою перестрахування.

Угоди страхування укладаються з метою, уникнення фінансових втрат, пов'язаних з невизначеністю появи тих чи інших випадкових подій. До укладання угоди страхування клієнт мав деякий ризик, який міг призвести до випадкових фінансових втрах X (а міг і не призвести). Після укладання угоди страхування, сплативши деяку невипадкову суму р, клієнт уникнув цього ризику. Але сам ризик не зник - його взяла на себе страхова компанія. Тому фінансовий ризик і пов'язана з ним небезпека банкрутства об'єктивно наявні у діяльності будь-якої страхової компанії. Оцінка цього ризику необхідна страховим компаніям для прийняття важливих рішень.

Проблема фінасової стійкості страхової команії - одна з найважливіших у страхуванні. У межах актуарної математики розроблені моделі та методи оцінки фінасовихризиків у діяльності страхових компаній. Математичною базою цього є теорія ймовірностей та математична статистика.

У цій частині підручника розглянуті моделі процесу позовів, індивідуальних ризиків, тривалості життя та страхування життя, методи точного та наближеного аналізу сумарного позову для моделей індивідуального та колективного ризиків, досліджено моделі банкрутства, введено основні величини, які характеризують фінансову стійкість страхових компаній, досліджено вплив угод перестрахування на зменшення ризику. Також обчислено оцінки ймовірностей банкрутства провідних страхових компаній України.

Розділ 21. МОДЕЛІ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ПОЗОВІВ

21.1. Дискретні моделі індивідуальних позовів.

21.2. Структуровані моделі індивідуальних позовів.

21.3. Неперервні моделі індивідуальних позовів.

21.4. Р анд ом ізація розподілів.

21.5. Моделювання спеціальних умов угод страхування.

Елементарною складовою фінансового ризику страхової компанії є індивідуальний позов. Залежно від ситуації іноді під індивідуальним позовом розуміють будь-який конкретний позов, а іноді - позов, породжений однією страховою угодою. У деяких випадках (наприклад, при страхуванні життя) угода може призвести тільки до одного позову. В інших прикладах (скажімо, при страхуванні автомобілів) одна угода за час своєї дії може спричинити декілька позовів. Тому теорія ризику починається з побудови моделей для індивідуальних позовів. У межах теорії ризику цікавляться лише розміром індивідуального позову X, виміряного в певних грошових одиницях.

Щодо величини позову, пов'язаного з окремою конкретною угодою, не можна сказати нічого певного, крім констатації факту, що позов або буде подано, або не буде. Однак, якщо ми маємо справу з великою однорідною групою угод і не цікавимось долею конкретних угод з цієї групи, то перебуваємо у межах теорії ймовірностей як науки про масові випадкові явища, які мають властивість стійкості частот. Відповідно, можна говорити про величину позову X як про випадкову.

Випадкові величини" які описують індивідуальні позови, не є абсолютно довільними, а мають певні властивості. V процесі розвитку актуарної математики було виділено основні типи випадкових величин, які адекватно описують розміри індивідуальних позовів до страхової компанії.

21.1. Дискретні моделі індивідуальних позовів

У найпростіших схемах страхування індивідуальний позов X набуває скінченого числа дискретних значень о₀ = 0, & ,..., Ь

( п

з деякими ймовірностями р₀"9і""-"9п Ро ⁺ ]^?і-1 ' Напри-

клад, у разі страхування життя на один рік клієнт виплачує страховій компанії певну суму (премію), а компанія зобов'язується у випадку смерті застрахованого протягом року виплатити його нащадкам Ь грошових одиниць (і не платить нічого, якщо застрахований доживе до кінця року). Для цього виду страхування індивідуальний позов набуває двох значень: 0 та Ь з деякими ймовірностями р і q ⁼ 1 - Р- У наших позначеннях Ро ~Ру Ч ⁼ Я- Таким чином, q - це ймовірність смерті людини протягом найближчого року. Зрозуміло, що вона залежить від віку х застрахованого на момент укладання угоди. Цю ймовірність прийнято позначати q_x'_t її значення наводяться у таблицях тривалості життя.

Більш складною є угода страхування, яка враховує причину смерті. Розглянемо найпростіший випадок. Людина сплачує страховій компанії певну суму, а компанія зобов'язується виплатити нащадкам застрахованого суму Ь. у випадку загибелі застрахованого протягом року від нещасного випадку (наприклад, автомобільної катастрофи) та суму Ь у випадку смерті застрахованого протягом року від "природних причин". Як правило, Ь₁ > Ь₂. Для цього виду страхування індивідуальний позов X набуває трьох значень: 0, Ь_і9 Ь₂ з деякими ймовірностями р, q_x> q₂^ Якщо вік застрахованого на момент укладання угоди дорівнює х років, то ймовірності д_іУ д₂ пов'язані з раніше згаданою ймовірністю д_х очевидним співвідношенням:

Для практичних розрахунків важливими є також такі числові характеристики індивідуального позову X, як середнє т_х~МХ, дисперсія £>Х = МХ^г - (МХ)², середнє квадратичне

відхилення а_х=*/Бх та коефіцієнт варіації с_х =--. Від-

тп_х

повідно до загальних формул для дискретної випадкової вели-

л п

чини, можна записати: МХ = ^ГЬ$_І та МХ² = ^Ь^і-

Для першого прикладу: /п_х=&д, ВХ~Ь²рд₉ $_х=Ьі/рд,

Для другого прикладу: тп_х = b_xq_x + b₂q₂,

DX = b²q_x (l~q_x) + b*q₂(l -q₂)- 2b_xb₂q_xq₂,

<J_X =4^b2^~^ax)^b²q₂(~q₂)-2b_xb₂q,q₂,

_c _ vfrfc(1 ~4x) + ftfaO-g₂)~ Zb_xb₂q_xq₂ ^X b_xq_x+b₂q₂

Приклад 21.1. Нехай страхова компанія виплачує нащадкам у випадку смерті клієнта від нещасного випадку Ь, = 10 000 грн, а у випадку смерті від "природних причин" Ь₂ = 5000 грн Ймовірність смерті протягом року від нещасного випадку q_x =0,004, а ймовірність смерті протягом року від "природних причин" q₂ =0,01. Підрахуємо основні числові характеристики індивідуального позову:

т_х = 10 000 0,004 + 5000 o 0,01 = 90 (грн), МХ²=10⁸ 0,004 + 25-10⁶ 0,01 = 650 000,

_{DX = 650000-8100=641900; ож "801,19;, сх = 8°3*19 "8,90.}