Страхування - Базилевич В.Д. - Висновки

Сума р, за яку людина або організація купує собі страховку, називається премією. Питання про те, яку плату страхова компанія повинна призначати за те, що бере на себе той або інший ризик, дуже складне. У разі його вирішення враховується велика кількість різнорідних чинників: ймовірність подання позову, його очікувана величина і можливі флуктуації, зв'язок з іншими ризиками, які вже взяті компанією, організаційні витрати компанії на ведення справи, співвідношення між попитом і пропозицією за цим видом ризиків на ринку страхових послуг і т. ін. Проте основним звичайно є принцип еквівалентності фінансових зобов'язань страховой компанії і застрахованого. У простих видах страхування, що розглядаються нами, коли плата за страховку повністю вноситься у момент укладання договору, зобов'язання застрахованого виражаються в сплаті суми р. Зобов'язання компанії полягають в оплаті позову X. Проте ми не можемо виразити принцип еквівалентності зобов'язань рівністю р = Х, оскільки р -детермінована величина, X - випадкова.

Щоб розв'язати цю проблему, спробуємо замінити випадкову величину X и. середнім значенням ЕХ, тобто призначимо як плату за страховку сподівану величину позову.

Оцінимо тепер наслідки цього рішення для можливості виконання компанією своїх зобов'язань, тобто підрахуємо ймовірність банкрутства (у межах цієї моделі індивідуального ризику).

Нехай, як ми визначили раніше, N -кількість угод у портфелі компанії, випадкові величини Х_ІУ...,Х# виражають позови від цих угод, = Х, + .*. + Х_ы - величина сумарного позову. Оскільки ми вирішили як плату рі за і-ту угоду взяти МХ_п то резервний фонд компанії дорівнює

N ґ N

и = £мХ,=М £х,

MS"

Тому ймовірність банкрутства дорівнює R = P(S_N>MS_H).

Застосовуючи гауссівське наближення, ми одержимо

Я = Р(5д, -М5" > 0)= Р

> 0

і-ф(о)Л

Звичайно, це абсолютно неприйнятна величина ймовірності банкрутства. Це і не дивно, оскільки рівність р = МХ насправді не виражає еквівалентності зобов'язань компанії і застрахованого. Хоча в середньому і компанія, і застрахований платять одну суму, компанія має ризик, пов'язаний з тим, що через випадкові обставини їй, можливо, доведеться виплатити набагато більшу суму, ніж МХ. Застрахований такого ризику не має. Тому було б справедливо, щоб плата за страховку включала деяку надбавку /, яка була б еквівалентом випадковості, що впливає на компанію. Отже, призначимо як плату за і-ту страховку суму р₁ = МХ, +/,, де /, - деяка додаткова сума. Тепер резерви компанії є:

де

Відповідно, ймовірність банкрутства компанії дорівнює

Я = Р(5" > п)=Р($" > М5" +1). Застосовуючи гауссівське наближення, одержимо

Я = Р

4щ; уіщ;; [уіщ)

*і-Ф

Якщо розрахунки робимо для ймовірності банкрутства 1-а, то .- повинне дорівнювати квантилю х_а, тобто

1 = х_аУЩ;. (23.4)

Оскільки дисперсія описує величину випадкових

флуктуацій сумарного позову навколо його середнього значення, додаткова сума дійсно в деякому розумінні є компенсацією страхової компанії за те, що вона взяла на себе небезпеки, пов'язані з непередбачуваністю позовів.

Рівняння (23.4) дає величину загальної додаткової суми І. Тепер ми повинні вирішити, як справедливо розділити її між усіма договорами.

Звичайно суму І ділять пропорційно очікуваному позову МХ,, тобто вважають

*,=ЛМХ, (23.5)

N N

Оскільки відомі ^1,=1 та ]ГМХ, = М5", коефіцієнт про-

порційності к задається формулою

к = х

Відповідно для премії маємо

4Щ< мя*

р, =(1 + /е)МХ, =МХ.

1 +

М5

(23.6)

(23.7)

Основний внесок у величину р, звичайно дає МХ,. Цю суму називають нетто-премією. Додаткову суму /, = кo МХ, називають страховою (або захищеною) надбавкою, а 0, " ^

- відносною страховою надбавкою. У випадку (23.5) відносна страхова надбавка одна для всіх договорів.

Однак призначення індивідуальних премій за правилом (23.7) ие є справедливим щодо договорів з малими флуктуаціями можливого позову, тобто з малими дисперсіями /)Х, (якщо нетто-премія МХ, велика). Ці договори сплачують випадковості, пов'язані з іншими договорами. Маючи на увазі те, що сумарна надбавка / пов'язана саме з сумарною дисперсією

N

-ОЗд, = ]Г-ОХ,, було б справедливо ділити / на частини проїм

порційні дисперсіям £>Х,, або середнім квадратичним відхиленням у[ОХ_п тобто вимагати, щоб

1₁=кОХ_п (23.8)

або

/, =к_л[Щ. (23.9)

У першому випадку к o 2)5^ = дг_в o у/ОБ^ і

(23.10)

У Другому випадку к■ ]Г_У]ВХ₁ =х_а-урЩ^ і к = х_а ? " . (23.11)

Відповідно, для індивідуальних премій ми одержимо

_Л=АГХ₁+-₇^=І)Х_І (23.12)

у першому випадку і

JDS_N

p_t=MX,+x_a-l--jDX_t (23.13)

17

у другому.

Відносні страхові надбавки в цих випадках залежать від угод і дорівнюють

х_п ДХ,

0, = , "--- (23.14)

у/Щ; МХ, '

та

відповідно.

JdsZ Jdx.

0|=^а N -~~ (23.15)

Е^Щ ^МХі

/=1

Нагадаємо, що величина -1 називається коефіцієнтом

розсіювання випадкової величини X, а величина- - ко-

МХ

ефіцієнтом варіації. Використовуючи формулу (23.14), можна сказати, що правило (23.8) призначає відносні страхові надбавки відповідно до величини коефіцієнта розсіювання (на відміну від правила (2.5), яке призначає відносні страхові надбавки одними і тими ж для всіх договорів). Відповідно, за формулою (23.15) правило (23.9) призначає відносні страхові надбавки пропорційно коефіцієнтам варіації. Тому відмінність між правилами (23.8) та (23.9) пов'язана з тим, що вважати кількісною мірою "випадковості" - коефіцієнт розсіювання чи коефіцієнт варіації. Питання про те, яке з цих правил є справедливішим (звичайно, з погляду застрахованих; компанія у будь-якому випадку одержить одну і ту саму необхідну суму 1 = х_а у/ІЩ^), в актуарній математиці однозначно не вирішене.

Зазначимо, що перехід від простого правила (23.5) до правила (23.8) приводить до зменшення страхової надбавки для і-ї угоди, якщо

DX_t DS" MX, ^< MS_N ¹

тобто якщо коефіцієнт розсіювання позову, пов'язаного з цим договором, менше, ніж коефіцієнт розсіювання сумарного позову.

Перехід від простого правила (23.5) до правила (23.9) приводить до зменшення страхової надбавки для і-ї угоди, якщо

4Щ .у^Щ ^мхі

мх, р мх_і ' MS_N '

тобто якщо коефіцієнт варіації величини індивідуального позову від і-ї угоди менший, ніж середній коефіцієнт варіації,

MX,

усереднений за всім портфелем з вагами--.

MS_N

Приклад 23.4. Страхова компанія уклала г/ = 8000 угод страхування життя строком на один рік на таких умовах: у випадку смерті застрахованого протягом року від нещасного випадку компанія сплачує нащадкам 2500 грн, а у випадку смерті від природних причин - 500 грн. Компанія не платить нічого, якщо позов не подається. Ймовірність смерті від нещасного випадку однакова для всіх застрахованих - 0,002, а від природних причин залежить від віку. N можна розбити на дві вікові групи, які містять N_x = 2000 та N₂ = 6000 з ймовірністю смерті протягом року 0,008 та 0,005 відповідно. Треба підрахувати величину премії, яка забезпечує імовірність банкрутства на рівні відсотка (трьома способами).

Для розрахунків зручно прийняти 500 грн за одиницю виміру грошових сум. Для першої групи угод індивідуальний позов має такий розподіл:

Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення індивідуального позову дорівнюють:

m, = 1 o0,008 + 5 0,002 = 0,018;

с² = 1² 0,008+5²-0,002-0,018² "0,0577;

Gi =0,24.

Для другої групи угод індивідуальний позов має такий розподіл:

Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення індивідуального позову дорівнюють:

т_г =1 0,005 + 5 0,002 = 0,015;

о² =1²-0,005+5² 0,002-0,015² "0,0548;

а₂ =0,234.

Математичне сподівання та дисперсія сумарного позову дорівнюють:

М8_К = г/, ■ т, + ЛГ₂ o т₂ = 2000-0,018 + 6000 0,015 = 126;

=г7, а? +г/_г о² "2000 0,0577 + 6000 0,0548 = 444,2. Згідно з формулою (23.4) страхова надбавка, яка гарантує 99 % ймовірності небанкрутства, дорівнює

* = *99%' = 2,33 ^/444^2 = 49,1.

Розглянемо тепер три варіанти призначення індивідуальних премій.

1. Додаткова сума І ділиться пропорційно до нетто-премій.

Згідно з формулами (23.6) та (23.7) відносна страхова надбавка однакова для всіх угод і дорівнює 0 =-" 39 %. Отже,

для угод з першої групи премія дорівнює

р_х = т_х (1 + 9) " 0,02502 = 12,51 грн, а для другої групи -

р_г = т₂ o (1 + Є) " 0,02085 = 10,43 грн.

2. Додаткова сума І ділиться пропорційно дисперсіям.

Згідно з формулою (23.10) коефіцієнт пропорційності к дорівнює к = "0,11. Тому для угод з першої групи страхо-

DS_N

ва надбавка дорівнює ^ =fea² "0,006 35, а премія - р_х = т + + /,= 0,024 35 = 12,18 грн, відносна страхова надбавка о =-І-"35,3%.

'і тп_х

Для угод з другої групи ¿2 = Аа² "0,00603;

р_г=-т₂ +1₂ =0,021 03 = 10,52 грн, Є₂ =-2-"40,2%.

т₂

3. Додаткова сума І ділиться пропорційно середнім квадратичним відхиленням. Згідно з формулою (23.11)

£--& о, 026. Тому для угод з першої групи страхова

М_ха_х + М₂с₂

надбавка дорівнює І_х=к-о_х "0,00624, а премія - р, = щ + ^ = 0,024 24 = 12,12 грн, відносна страхова надбавка

0₁=А-*34,7%.

т_х

Для угод з другої групи: 1₃=ка_я "0,006 08,

Рг= ^т2⁺к= °>^{021 08} = ¹⁰"⁵⁴ ГР^Н" Є₂=-Ь-"40,5%.

7П₂

Отже зміна принципу призначення індивідуальних страхових премій приводить до зменшення відносної страхової надбавки для угод першої групи: в_х =39; 35,3; 34,7 %. Відповідно збільшується відносна страхова надбавка для угод другої групи: 0₂ = 39;40,2; 40,5%. Це пов'язано з тим, що коефіцієнт роз-

сіювання сумарного позову ---1 = 2,53, у той час як для

^2

першої групи він дорівнює --1 = 2,205, а для другої групи

2 ¹

-~-1 = 2,65. Коефіцієнт варіації величини індивідуального позову для угод першої групи дорівнює с_х = - = 13,33, а для угод другої групи - с₂ = -^²- = 15,6. Середній коефіцієнт варіа-

Щ МХ, ції, усереднений за всім портфелем з вагами-знаходиться

_{ся як с = с. -*-3-+с,-г-2- = 13,33--+15.6--"14,95.}

¹ М5_Я ² М8_И 126 126

Хоча дисперсія величини індивідуального позову для угод другої групи менша, ніж для угод першої групи, флуктуації індивідуальних позовів для угод другої групи (виміряні як коефіцієнтом розсіювання, так і коефіцієнтом варіації) перевищують середні флуктуації за всім портфелем. Тому було б виправдано взяти один з принципів (23.8), (23.9) за основу для призначення індивідуальних премій.

Висновки

1. Модель індивідуального ризику є найпростішою моделлю функціонування страхової компанії.

2. Для точного обчислення ймовірності банкрутства у моделі індивідуального ризику використовується формула згортки розподілів.

3. Для наближеного обчислення ймовірності банкрутства у моделі індивідуального ризику використовується нормальне наближення (центральна гранична теорема).

4. При призначенні страхових премій використовують три принципи: пропорційності математичним сподіванням, пропорційності дисперсіям (або коефіцієнтам розсіювання), пропорційності середнім квадратичним відхиленням (або коефіцієнтам варіації).

5. Використовуючи мордель індивідуального ризику страхові компанії можуть досить точно оцінити ймовірність банкрутства компанії.

Навчальний тренінг

Основні терміни і поняття

Модель індивідуального ризику; ймовірність банкрутства, формула згортки; центральна гранична теорема; стандартний нормальний розподіл; принципи призначення страхових премій; коефіцієнт розсіювання; коефіцієнт варіації.