Страхування - Базилевич В.Д. - 23.1. Точні та наближені методи обчислення ймовірності банкрутства

23.1. Точні та наближені методи обчислення ймовірності банкрутства.

23.2. Принципи призначення страхових премій.

Індивідуальні позови становлять інтерес на самі по собі, а передусім з позиції їх наслідків для фінансового стану компанії. Якщо у деякий момент часу £ надходить позов величиною X та капітал компанії в цей момент и_{ більший або дорівнює X, то компанія успішно виконає свої зобов'язання. Якщо ж X > щ, то компанія не зможе сплатити позов; у такому випадку йдеться про банкрутство компанії (хоча на практиці компанія може позичити суму, якої не вистачає, Х-щ, та сплатити позов). Ймовірність банкрутства становить фундаментальний інтерес для компанії та є основою для прийняття найважливіших рішень. Для її розрахунку в актуарній математиці розроблено цілу низку моделей різного ступеня складності.

Модель індивідуального ризику є найпростішою моделлю функціонування страхової компанії, яка призначена для розрахунку ймовірності банкрутства. Вона базується на таких припущеннях:

1) аналізується фіксований відносно короткий проміжок часу (такий, що можна знехтувати інфляцією та не враховувати дохід від інвестування) - зазвичай один рік;

2) кількість угод страхування N фіксована та невипадкова;

3) плата за страховку повністю вноситься на початку періоду, що аналізується; ніяких надходжень протягом цього періоду немає;

4) ми спостерігаємо кожну окрему угоду страхування та знаємо статистичні властивості пов'язаного з ним індивідуального позову X (оскільки не всі угоди призводять до позову, деякі з випадкових величин Х₁₉..., Х_ы, де X, - позов від і-ї угоди, можуть дорівнювати нулю).

У межах цієї моделі банкрутство визначається сумарним позовом £ = Хі+...+Х,, до страхової компанії. Якщо цей сумарний позов більший за капітал компанії, остання не зможе виконати всі свої зобов'язання та збанкрутує. Тому ймовірність банкрутства компанії дорівнює

Л = Р(Х₁ +... + ХД, >и). (23.1)

Оскільки у цій моделі фінансовий ризик компанії явно враховує ризик, пов'язаний з кожною індивідуальною угодою, модель (23.1) для розрахунку ймовірності банкрутства компанії називається моделлю індивідуального ризику. У моделі припускається, що випадкові величини X! + ... + Х_ы - незалежні (таким чином, ми виключаємо катастрофічні нещасні випадки, що призводять до позовів одразу за декількома угодами).

Слід зазначити, що у рамках моделі індивідуального ризику не можна дати відповідь на багато практично важливих питань. Зокрема, не можна оцінити момент банкрутства, величину капіталу, якого не вистачає в цей момент, тощо.

23.1. Точні та наближені методи обчислення ймовірності банкрутства

Оскільки сумарний позов становить суму незалежних випадкових величин, його розподіл можна обчислити за допомогою класичних теорем та методів теорії ймовірності. Передусім це використання згорток. Якщо т|₁ та п₂ - дві незалежні невід'ємні випадкові величини з функціями розподілу -Р.(лг) та

.Г₂(дг) відповідно, то функція розподілу їх суми ті! + п₂ може бути обчислена за формулою згортки

x

/■(*)= ІЕДх-уЩ (у). (23.2)

о

Застосовуючи останню формулу декілька разів, можна обчислити функцію розподілу суми будь-якої кількості доданків. На прикладах покажемо застосування цієї формули у дискретному та неперервному випадках.

Приклад 23.1. Страховий портфель складається із трьох однакових угод страхування життя. Якщо смерть настала від нещасного випадку, то страхова компанія сплачує нащадкам 3000 грн, у випадку смерті від "природних" причин - 1000 грн. Для кожного із застрахованих ймовірність смерті від нещасного випадку дорівнює 0,05, а імовірність смерті від "природних" причин - 0,1. Визначити залежність ймовірності банкрутства Щи) від величини капіталу и.

Для розрахунків зручно прийняти 1000 грн за одиницю виміру грошових сум. Тоді величини позовів Х_1ГХ₂,Х₃ від кожного клієнта є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами з розподілом (¿=1, 2, 3):

Розподіл суми двох незалежних величин Х_х + Х₂ обчис-

п

люється за формулою q(u) = ^p_l(k)p₂(u~k). Тоді:

Розподіл суми трьох незалежних величин Х_г+Х₂ + Х₃ обчислюється за формулою

п

г(ц)=^а(п)р₃(и-к).

*=1

Маємо з точністю до четвертого знаку після коми:

Відповідно для функції розподілу F(u) - P(Xj + Х₂ + Х₃ < и) будуємо таблицю:

Таким чином, залежність імовірності банкрутства Щи) = 1 - Р(и) від капіталу и має вигляд:

Наприклад, для забезпечення ймовірності банкрутства на рівні 3,5 % страхова компанія повинна мати капітал у 3 умовні одиниці, тобто 3000 грн, а на рівні 0,7 % - б умовних одиниць, тобто 5000 грн.

Приклад 23.2. Страхова компанія уклала дві угоди на страхування обладнання від аварій на підприємстах. Вартість обладнання на першому підприємстві становить 1 млн грн, а на другому - 5 млн грн. Ймовірність аварії на першому підприємстві q_l =0,1, а на другому - q₂ =0,05. Збитки від аварії на першому підприємстві У_і (У₂ - на другому), якщо вона відбулася, мають рівномірний розподіл від 0 до повної вартості обладнання. Визначити залежність імовірності банкрутства Щи) від величини капіталу и.

Нехай І_Х9І_Л - індикатори страхових подій (аварій) на першому і другому підприємствах. Використовуючи структуро-вані моделі індивідуальних позовів маємо Х_Х^І₁-У_ІІХ₂-І₂- У₂

Тоді

Щи) = +Х_г> и)=Р(Х_х + Х₂ > и/І_х = 0,/₂ = 0) х

хР(І_г =0,/₂ = 0)+Р(Х, +Х₂ >и/І₁ = 1,/₂ = 0) Р(/, = 1,/₂ =0) +

+Р(Х, +Х₂>и/І₁ =0Д₂ =1)Р(/, = 0,/₂ = 1)+

+ Р(Х, +Х₂ =1,/₂ =1>Р(І, =1Л =1).

Оскільки випадкові величини І_Х,І₂ - незалежні, то Щи) = Р(У₁>и).д₁(1-д₂)+ +Р(У₂ >и)oя₉а.-я₁)+Р(У₁ +У₂ >и>0,?_|.

Для розрахунків зручно прийняти 1 млн грн за одиницю виміру грошових сум.

Оскільки У, та У₂ мають рівномірний розподіл, то їх функції розподілу такі:

'0,д:£0,

(23.3)

0,*£0, #,0<л;<1, F₂(x)~ 1,х>1

-,0<x^5, 5

1,лс>5.

Тоді

P(y_i>u) = l-i?(u) =

Р(У₂>и) = 1-Д(ц)

^rl,uЈ0,

l-u,0<uЈl,

0,и>1

1-,0<uЈ5, 5

0, и > 5.

Для того щоб підрахувати Р(У_Х +У₂ > u)= (f(x)dx, необхідно знайти щільність f (#) суми незалежних випадкових величин У,+У₂.

шіп(1;х)

"*)= j fiW₂(x-y)dy,

max(0; jr-5)

696

Де fi(x)

0, л "(ОД], 1,*є(0,1] ¹

0,x"s(0,5], Т.*є(0,б]

вих величин Y_оtblY₂. Тоді

щільності випадко-

Г1,"*0

-,0<х£і, 5 1

, 1 < де S 5,

5

6-х

І Р(У,+У₂>и):

5 < д: < 6,

1--,0<usl,

10

ll-2u

10

(6-u)²

,1 < и ^ 5, ,5<uЈ6,

0,*Ј0,jc>6. ¹⁰

0,u>6.

Підставляючи ці вирази y формулу (23.3), отримаємо l,u<0

0,145-0,104u-0,0005u²,0<u<l, R(u)= 0,0505 - 0,01u, 1 < u й 5,

0,018 - 0,006u + 0,0005u²,5 < u й 6, 0, u > 6.

Тепер можна розрахувати відповідний капітал компанії. Наприклад, для забезпечення ймовірності банкрутства на рівні 5 % необхідно розв'язати рівняння 0,145-0,104u-0,0005u² = = 0,05. Розв'язком рівняння буде u " 0,909 (млн грн).

Як правило, кількість застрахованих у страховій компанії дуже велика. Тому розрахунок імовірності банкрутства передбачає розрахунок функції розподілу великої кількості доданків, що спричиняє певні труднощі технічного характеру, зокрема необхідність робити певні перетворення вручну, без використання ЕОМ, або писати спеціальні програми залежно від видів функцій розподілу окремих доданків. Однак є можливість швидкого та простого наближеного підрахунку. Вона пов'язана з тим, що при зростанні N ймовірність P(Xj +... + X_N < х) часто має певну межу, яку можна прийняти як наближене значення цієї ймовірності. Точність подібних наближень зазвичай досить висока і задовольняє практичні потреби. Найпростішим із цих наближень є нормальне (гауссівське) наближення.

Нормальне наближення ґрунтується на центральній граничній теоремі теорії ймовірностей, яка у спрощеному вигляді формулюється так: якщо випадкові величини Х₁₉...,Х_К незалежні та однаково розподілені із середнім а та дисперсією а², то при г7->оо функція розподілу центрованої та нормованої суми

Х₁+... + Х"~Ма _ 5^-М3"

має границю, яка дорівнює

Наведемо таблицю квантилів х_а для стандартного нормального розподілу, тобто розв'язків рівняння Ф(х_а) = а_у або 1--Ф(л:_в) = 1-а, де 1-а -ймовірність банкрутства (табл. 23.1).

Таблиця 23.1

Приклад 23.3. Страхова компанія застрахувала 7V = 1000 осіб з імовірністю смерті протягом року q = 0,005 . Компанія сплачує суму 1000 грн у випадку смерті застрахованого протягом року. Компанія не платить нічого, якщо позов не подається. Підрахувати величину капіталу компанії и достатньо, щоб забезпечити імовірність банкрутства на рівні 1 %.

MS_N = N o MX = 1000 ■ 1000 o 0,005 = 5000,

DS_N =N-DX=1000o 1000² o 0,005 o 0,9995=4997 500,

'DS_N =2235,5.

Маємо p

S_N-MS_{N <u}

5000

2 235,5

Ф

u-5000Ї 2 235,5

Оскільки

l-a = l%, то *_9fl%=2,33 і u-5000 = 2,33-2235,5 = 5208,72. Отже, капітал компанії повинен становити и = 10 208,72 грн.