Страхування - Базилевич В.Д. - 24.1. Функція дожиття

24.1. Функція дожиття .

24.2. Інтенсивність смертності.

24.3. Таблиці смертності.

24.4. Деякі аналітичні закони смертності

У розділах 24 та 25 в основному будуть розглядатися моделі страхових систем, призначених для роботи з випадковими втратами, в яких випадковість пов'язана з тим, наскільки довго житиме певна особа. Основним структурним елементом у цих розділах є випадкова величина, що має назву тривалість майбутнього життя (час дожиття) і позначається через Т(х). Знайдемо розподіл як цієї випадкової величини, так і відповідного їй віку в момент смерті X.

Покажемо, як розподіл випадкової величини "вік у момент смерті" можна представити за допомогою таблиці смертності. Ці таблиці корисні в багатьох галузях знань. Тому в кожній з цих різноманітних галузей, де використовуються таблиці смертності, були розроблені свої термінологія і позначення. Наприклад, інженери використовують таблиці смертності для вивчення надійності складних механічних і електронних систем. У біостатистиці таблиці смертності використовуються для порівняння ефективності різних методів лікування серйозних захворювань. Демографи використовують таблиці смертності як засіб проектування популяції. В актуарній математиці таблиці смертності використовуватимуться для побудови моделей

страхових систем, покликаних сприяти людям, що знаходяться в умовах невизначеності, пов'язаної з моментом настання їх смерті.

Таблиця смертності є незамінною компонентою багатьох моделей актуарної науки. Деякі дослідники вважають датою народження актуарної науки 1693 p., коли Едмунд Галлей (Е. Halley) опублікував працю "An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, Drawn from Various Tables of Births and Funerals at the City of Breslau" ("Оцінка міри смертності людства, виведена з різних таблиць народження і поховання в місті Бреславлі"). Він побудував першу таблицю смертності для м. Бреславль, використовуючи кластерний та стратифіко-ваний відбір.

24.1. Функція дожиття

Розглянемо новонародженого. Вік у момент смерті X для нього є неперервною випадковою величиною. Позначимо через F(x) функцію розподілу цієї випадкової величини

Fx (*) = РІХ їх),** 0, (24.1)

і покладемо

8(х) = 1-F_x(x) = Р(Х >х),х> 0. (24.2)

Для додатної випадкової величини F_x(0) = 0, тоді s(0) = l. Функція s(x) називається функцією дожиття. Для будь-якого додатного х величина s(x) є ймовірністю того, що новонароджений досягне віку х. Розподіл випадкової величини X може визначатися задаванням або функції розподілу F(x), або функції s(x). В актуарній науці та демографії функція дожиття традиційно використовувалась як початкова точка для подальших досліджень. У теорії ймовірностей та математичній статистиці таку роль відіграє функція розподілу. Проте з властивостей функції розподілу випливають відповідні властивості функції дожиття.

Можна сформулювати ймовірнісні твердження про вік у момент смерті в термінах або функції дожиття, або функції розподілу. Наприклад, імовірність того, що новонароджений помре у віці між х і z (х < z), дорівнює

Р(х < X й г) = F_x(z) - F_x(x) = *(*)-*(*). Умовна ймовірність того, що новонароджений помре у віці між х і z за умови, що він доживе до віку x_f дорівнює

Pix<X^/X>x) = ^Fx(2)-^F-^{xK^-^a^ (24.3) ~F_x(x) s(x)

Символ (х) використовується для позначення особи віку X. Тривалість майбутнього життя цієї особи (х), X - х, позначається через Т(х).

В актуарній науці часто необхідно формулювати ймовірнісні твердження про Т(х). Для цього, а також для сприяння дослідженням і науковим контактам на Міжнародному конгресі актуаріїв у 1898 р. була вперше прийнята система символів, яка утворила частину Міжнародної системи актуарних позначень. Були розроблені символи для загальновживаних актуарних функцій і принципи прийняття нових позначень. Ця система піддавалася постійним переглядам і в міру необхідності оновлювалася і доповнювалася Постійним комітетом з позначень Міжнародної актуарної асоціації (International Actuarial Association).

Актуарні символи відрізняються від позначень, прийнятих у теорії ймовірностей. Наприклад, функція однієї змінної, яка записується у вигляді q(x) у позначеннях теорії ймовірностей чи вищої математики, в цій системі записуватиметься у вигляді q_x. Аналогічно функція багатьох змінних записується в актуарних позначеннях за допомогою комбінації верхніх і нижніх індексів та інших символів.

Введемо такі позначення для величини Т(х):

_tq_x=P(T(x)ut)t*Q, (24.4)

,Р_х = 1- q_x = Р(Т(х)>t)_tt*0. (24.5)

Символ _tq_x можна інтерпретувати як імовірність того, що (х) помре протягом найближчих t років. Іншими словами, _tq_x е функцією розподілу випадкової величини Т(х). Тоді _tp_x - ймовірність того, що (х) досягне віку х + t. Іншими словами, tPx ^є функцією дожиття для (х). У конкретному випадку особи у віці 0 маємо Т(0) = X і

_xPo=s(x)_fx>0. (24.6)

Якщо ї = 1, то домовимся опускати перший індекс у позначеннях, введених формулами (24.4) і (24.5), тобто

д_ж = Р((х) помре протягом одного року)"

р_х = Р((х) доживе до віку х + 1 років)-

Є спеціальний символ для загальнішої події, яка полягає у тому, що особа проживе £ років і помре протягом подальших и років, тобто що (х) помре у віці між лг + гіх + * + и,а саме

<_]иЯ_я =Р(і<Т(х)<іі+и) = ,._ид_х - _Лх = _іРх - _<+ир_х . (24.7) Як і раніше, якщо и = 1, то відповідний нижній індекс у позначенні _в.о;_я опускається, і одержуємо символ _г)д_х.

Наразі маємо два вирази для ймовірності того, що (х) помре у віці між х і х + и. Формула (24.7) при * = 0 дає перший з цих виразів, а формула (24.3) зг = х + и - другий вираз. Чи будуть ці дві ймовірності різними? Формула (24.3) може інтерпретуватись як умовна ймовірність того, що новонароджений помре у віці між хіг - х + иза умови, що він доживе до віку х. Єдина інформація про новонародженого, який до цього моменту до-сяг віку х, полягає у тому, що він дожив до цього віку. Тому це ймовірнісне твердження базується на умовному розподілі за умови дожиття для новонароджених.

З іншого боку, формула (24.7) при г = 0 визначає ймовірність того, що особа, за якою спостерігають у віці х, помре у віці між х і х + и. Дані про особу у віці х можуть містити не тільки інформацію про те, що вона дожила до цього віку. Це може бути інформація про те, що ця особа пройшла медичне обстеження перед укладенням договору про страхування, або про те, що вона тільки що почала курс лікування від серйозного захворювання. Таблиці смертності у випадку, коли дані про особу у віці х містять не тільки інформацію, що новонароджений дожив до віку х, будуть наведені у кінці цього розділу, де для них вводяться додаткові позначення. Будемо продовжувати розвивати теорію, припускаючи, що формули (24.3) і (24.7) не містять змістових відмінностей, тобто вважати, що інформація про особу, що дожила до віку х, дає той самий умовний розподіл тривалості майбутнього життя, що й інформація про дожиття новонародженого до віку х, а саме

,р,=^=^>, (24.8)

жРо 8(х)

,_g,₌l-ЬН±н>. (24.9)

8(х)

За такого підходу формула (24.7) і багато її варіантів можуть бути виражені у вигляді

_ s(x + t)-8(x+t+u)

iuqx - 7*7 =

s(x)

sнx + t) s(x + t)-8(x + t + u)

~)---7ї7T)--A'A- (24-10)

З тривалістю майбутнього життя пов'язана дискретна випадкова величина, що визначає кількість повних майбутніх років, прожитих особою (х) до смерті. Вона називається покро-ковою тривалістю майбутнього життя (або зрізаною тривалістю майбутнього життя) особи (х) і позначається через К(х). Оскільки К(х) - дискретна випадкова величина і є найбільшим цілим числом, що не перевищує Т(х), то її розподіл імовірностей задається виразом

Р(К(х) = k) = P(k < Т(х) < k+1) =

= kPx Рх = мРхЯх+k = *|9*"fc = 0, 1, 2... . ^24,1

Формула (24.11) є окремим випадком формули (24.7), де и = 1 і k є невід'ємним цілим числом.

Для дискретної випадкової величини К(х) функція розподілу є ступінчастою, тобто *

^fk{x)(y)=Xhqx = mqx> н ^{k є} Цілою частиною числа у,

Л=0

тобто k = [y].