Страхування - Базилевич В.Д. - Розділ 27. ДИНАМІЧНА МОДЕЛЬ БАНКРУТСТВА

27.1. Класична модель ризику.

27.2. "Практичні" оцінки ймовірності банкрутства

в класичній моделі ризику, дифузійна апроксимація процесу ризику.

27.3. Порівняння апроксимацій імовірності банкрутства страхових компаній.

27.4. Знаходження точних оцінок імовірності банкрутства страхових компаній України у класичній моделі ризику.

27.5. Обчислення оцінок імовірностей банкрутства страхових компаній України.

27.6. Визначення мінімально необхідного розміру стартового капіталу страхової компанії.

Найпростіша динамічна модель включає тільки два процеси: процес надходження премій та процес страхових виплат. Ці два процеси відбуваються у різних масштабах часу і мають різні масштаби виміру. Премії надходять значно частіше, ніж подаються позови, і величина премії набагато менша, ніж величину позову. Тому, якщо як основний розглядати процес позовів, то у масштабах цього процесу надходження премій можна вважати неперервним детермінованим процесом.

У найпростішому випадку надходження премій характеризується одним параметром - швидкістю надходження коштів, яку позначимо через с. Це означає, що якщо у деякий момент часу г компанія мала капітал и_х та до моменту £ + /і позови не надходили,токаттал компаніївмоменті+ Лбуде и_|+л = и_х + сЛ. Зазначимо, що в цих міркуваннях ігнорувались відсоток на капітал та інфляція - щоб не ускладнювати математичний аналіз.

Надходження позовів будемо описувати певним точковим процесом Т₁₉ Т₂, а величини послідовних позовів - випадковими величинами У , У₂,....

Тепер зміну в часі капіталу компанії можна описати таким чином. У момент і = 0 компанія має певний початковий капітал п₀= и. До моменту Т₁ надходження першого позову капітал збільшиться (за рахунок надходження премій) до величини и +с Т_х. Однак у момент Т_х компанія сплатить позов величиною У₁ і капітал зменшиться до величини и + сТ₁ - У.. До моменту Т₂ надходження другого позову капітал збільшиться на суму с(Т₂ - Т,) і становитиме и+сТ₁-У_ї + с(Т₂ - Г,) = и+сТ₂ - У,. У момент Т₂ надходить позов величиною У₂ і капітал зменшується до величини и + сТ₂ ~(У_Х + У₂)*

Цей процес продовжується до нескінченності, якщо тільки у момент надходження деякого позову коштів компанії не вистачить, щоб сплатити позов. У такому випадку будемо говорити про банкрутство компанії. Отже, в рамках цієї моделі компанія не збанкрутує, якщо для всіх п = 1,2,... правильна нерівність

и+сГ"-(У₁+...+У_І1)£0.

Якщо ж

"+сГ₂-(У,+У₂)^0

_м+сГ_я.₁-(У₁+...+у_я._І)го,

але

и+сТ_п-(У₁₊... + У_п)<0, то у момент надходження л-го позову компанія збанкрутує.

Основною характеристикою цієї моделі є ймовірність банкрутства і?(ц) = 1 - Р(и + сТ_п - (У, +... + У_п) £ 0 при всіх п > 1, а основною проблемою буде вивчення залежності цієї ймовірності від величини початкового капіталу компанії.

Оскільки в описаній динамічній моделі події розгортаються у часі, математичним апаратом для її аналізу є теорія випадкових процесів та теорія ймовірностей. Нижче буде наведено без суттєвого заглиблення у теорію випадкових процесів ті найбільш принципові результати, які дають змогу нам обчислювати ймовірності банкрутства страхових компаній. Однією з най-відоміших та найпопулярніших моделей банкрутства страхової компанії є класична модель ризику. її основними перевагами є відносна простота та можливість застосування до широкого класу ймовірнісних розподілів, і разом з тим здатність досить точно описати реальний динамічний процес надходження страхових премій та здійснення страхових виплат компанії.