Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю.Є. - Прийняття рішень в умовах ризику

Нестабільність економічної ситуації, дії партнерів по бізнесу і конкурентів, коливання попиту на товар, вихід з ладу технічного устаткування, коливання курсу валюти, екологічні обставини тощо - причини виникнення математичної моделі "гра з природою (зовнішнім середовищем)". Під час розв'язування таких ігор "природа" необов'язково протидіє гравцеві, вона може йому сприяти, а взагалі - набуває певних станів випадково. Тому гравцеві треба вибирати такі стратегії, щоб з урахуванням довільних станів "природи" отримати добрі результати. Теорію ігор з "природою" називають теорією статистичних рішень.

Припустімо, гравець має m можливих стратегій: At (i = 1, mj; а природа може перебувати в одному з n станів: Pj (j = 1, n), котрі можна розглядати як її "стратегії". Сукупність {P1,..., Pn} формується на основі досвіду аналізу станів "природи" або в результаті аналізу та інтуїції експертів.

Статистичні ігри з "природою" задаються платіжною матрицею А. A = (atj)mxn, ajj = ф(Ai, Pj), де ajj - виграш (програш) гравця, якщо

він використовує стратегію A{, а "природа" перебуває в стані Pj. Під

елементами ау матриці А можна розуміти і прибуток, і витрати гравця

при виборі i-ї стратегії Аі та знаходженні "природи" в стані Pj. Для

матриці прибутковості й витрат можна робити редукцію гри: викреслювати рядки матриці, що відповідають стратегіям, над якими домінують. Для матриці доходів: якщо ау < akj, j = 1,n, можна викреслювати /-й рядок. Для матриці витрат: якщо a1j < , j = 1, n, - k-й.

Стовпці викреслювати не можна за довільного вигляду матриці А, оскільки природа діє не свідомо, а випадковим чином, і вона не вибирає гірші або кращі стратегії.

У ряді випадків використовується матриця ризику R = (rtj)mxn,

елементи яких отримують таким чином: rtj = Я j - atj, i = 1, m; j = 1, n; Яj = max atj, якщо під елементами a j матриці А розуміють прибутки. А якщо втрати (збитки), то rj = a j -Я j, i = 1, m; j = 1, n; Я j = min atj. Під елементами rtj матриці ризику R розуміють

втрати гравця. Для матриці прибутків втрати дорівнюють різниці між виграшем, який отримав би гравець, якщо б знав заздалегідь, що "природа" набуде стану Pj, і виграшем, що він отримає у тому ж стані Pj,

вибравши стратегію At. Для матриці збитків втрати дорівнюють різниці між збитками, які він отримає з вибором стратегії At та стану Pj, і збитками, які отримав би гравець, якщо б знав завчасно, що "природа" набуде стану Pj. Залежно від інформації розглядають дві ситуації:

"прийняття рішень в умовах ризику" - відомі ймовірності чи невідомі, але є інформація про їх відносні значення, або встановлюються за допомогою експертів; "прийняття рішень в умовах невизначеності" - ймовірності можливих станів "природи" невідомі та немає ніякої можливості отримати таку інформацію.

Прийняття рішень в умовах ризику

У розв'язанні проблем такого типу для прийняття рішень використовують певні критерії.

1. Критерій Байєса. Припускається, що задані ймовірності станів "природи". Ймовірності настання кожного стану "природи" Py позначимо через qj, j = 1, n; 2 4j = 1

а) якщо під елементами матриці A = (ay )mxn розуміють прибутки, що отримує гравець з вибором i-ї стратегії Ai та перебуванням "природи" в стані Pj, то обчислюються математичні сподівання для всіх

стратегій гравця Ai, г = 1, m, з яких вибирається найкраща A*, котрій відповідає максимальне значення з усіх математичних сподівань Mi :

* n n

B1(A ) = max£a^q,, де M- = 2a-q, - математичне сподівання ефекти* y=i J _ j=i 1 1

тивності i-ї стратегії, i = 1, m;

б) якщо під елементами матриці A = (atj)mxn розуміють збитки (витрати), що отримує гравець з вибором i-ї стратегії Ai та перебуванням природи в стані Pj, то обчислюються математичні сподівання для всіх

стратегій гравця Ai, i = 1, m, з яких вибирається найкраща A*, котрій відповідає мінімальне значення з усіх математичних сподівань:

* n

B2(A ) = 11тІП 2 aijqj ;

1<i<m j_1 J J

в) для матриці ризику у двох варіантах обчислення елементів мат-

*n

рищ ризику цей критерій записується аналогічно: B3 (A ) = min 2ruq і.

1<i<mj=1 J J

Крім того обчислюються максимальні значення ризику для всіх стратегій гравця Ai, i = 1, m, за довільного випадкового стану "природи": гтях = max ry, i = 1, m. Це робиться для аналізу гравцем максимально можливого ризику для кожної своєї стратегії.

2. Критерій Лапласа використовується, коли ймовірності щодо станів "природи" невідомі та можна припустити, що вони однакові:

n1 q1 =... = qn = q. 2zq, = nq = 1. Звідси маємо, що q1 = ... = qn = q = -;

j=i n

а) для матриці прибутковості критерій набуває вигляду:

* 1 n

A ) = ma^-2ay;

1<i<m n j=1

б) для матриці збитків критерій виглядає так:

* 1 n

1<i<m n j=1

в) для матриці ризику критерій обчислюється за формулою:

* 1 n

L3( A ) = rnm- 2 rj.

1<i<m n j=1

Критерій Лапласа - частинний випадок критерію Байєса. Для критерію Лапласа стани "природи" рівноможливі.

Прийняття рішень в умовах невизначеності

У цих задачах для прийняття рішень використовують такі критерії.

1. Критерій Вальда (дуже обережний та песимістичний):

а) для матриці прибутковості A = (atj)mxn критерій має такий вигляд: V1(A ) = max min ati. Він обирається тоді, коли гравець не дуже

1<i<m 1< j<n

зацікавлений у найбільших виграшах. У даному разі гравець сприймає природу як суперника, що йому максимально протидіє;

б) для матриці збитків A = (atj)myn критерій розраховується так:

V2 (A*) = min max aj.

1<i<m 1< j<n

2. Критерій Севіджа. Використовується для матриці ризику R = (rj )mxn і має однаковий вигляд для двох варіантів обчислення

елементів матриці ризику j . S1( A) = min max rj або

1<i<m 1< j<n

S1(A*) = minr-max, де rmtcx = maxru, i = 1,m. Мінімізується максималь-

1<i<m 0<j<n J

ний ризик за рахунок вибору своєї стратегії. Цей критерій не настільки песимістичний, як попередній.

3. Критерій оптимізму-песимізму Гурвіца:

а) для матриці прибутковості критерій набуває вигляду: G(A*) = max [xminaif + (1 -A,)maxaif], 0 <^< 1. Чим песимістичні-

1<i<m 1< j<n 1< j<n

ший настрій, тим ближче x до 1. Якщо х = 1, то маємо критерій Вальда - V1. Якщо х = 0, то отримуємо критерій крайнього оптимізму:

01(A*) = max max . Девіз цього критерію - "пан або пропав". Це дуже

1<i<m 1< j<n

ризиковий критерій і використовується, коли треба виграти максимум;

б) для матриці збитків критерій обчислюється за формулою: G2(A*) = = min[A, max ay + (1 - A,)min ay ], 0 <x< 1. Чим песимістич-

1<i<m 1< j<n J 1< j<n J

ніший настрій, тим ближче x до 1. Якщо х = 1, то маємо критерій Вальда - V2. Якщо х = 0, то отримуємо критерій крайнього оптимізму: O2[A*)= min min ay ;

1<i < m 1< j <m

в) для матриці ризику критерій виглядає так: G3 (A ) = min[A,max ry +

1<i<m 1< j<n

+ (1 - A,) min ry ], 0 <x< 1. Якщо x = 1, то маємо критерій Севіджа - S1. Якщо x = 0, то отримуємо критерій крайнього оптимізму: 03( A *) = min min rу.

1<i<m1<j<n J

4. Критерій Ходжа-Лемана:

а) для матриці прибутковості критерій набуває вигляду:

* n

X1(A ) = max[^2 ayq, + (1 - A,)min ay ], 0 <x< 1;

1<i<m y=1 J J 1< j<n J

б) для матриці збитковості критерій такий:

X2(A*) = min[^2aijqj + (1 -^)maxay], 0<x< 1.

1<i'<m y=1 J J 1< j<n J

Цей критерій є комбінацією критеріїв Байєса і Вальда. x - параметр вірогідності інформації про розподіл імовірностей станів навколишнього середовища. При х = 1 (вірогідність інформації велика) отримуємо критерій Байєса - відповідно B1 та B2. При х = 0 отримуємо критерій Вальда - відповідно V1 та V2.

5. Критерій Вальда можна застосовувати і для змішаних стратегій: V3 = maxi min^aijpi І. Для цього використовується розв'язок задачі

pi j i=i J

ЛП для знаходження оптимальних імовірностей: p*pm використання змішаних стратегій A1, "., Am гравця, якщо під елементами матриці А розуміти прибутки. А якщо збитки, то V4 = min (max 2 aijpi ]. Для матриці ризику - аналогічно критерій Севіджа має вигляд:

S2 = mini maxyJrjpi 1

2 Pi { У i=1 j J

6. Критерій максимального математичного сподівання виграшу (критерій Байєса) застосовується в тих випадках, коли відомі ймовірності станів "природи"(розглянуто вище).

Для прийняття кращого рішення доцільно використовувати кілька критеріїв і вибирати те рішення, що відповідає стратегіям, які отримують за більшістю критеріїв.