ТЕМА 7. СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ ВИМІРЮВАННЯ ВЗАЄМОЗВ'ЯЗКІВ

§ 7.1. Дисперсійний аналіз

7.1.1. Загальнотеоретичні основи дисперсійного методу аналізу

В епоху бурхливого розвитку економіки використання методів математичної статистики в економічних дослідженнях стає нагальною необхідністю. Треба визнати, що останнім часом широкого застосування у багатофакторному аналізі набув кореляційно - регресійний метод, водночас майже зовсім не використовується досить ефективний спосіб статистико -математичної обробки даних дослідження - дисперсійний аналіз. Як і інші ймовірносно - статистичні методи, він набагато розширює можливості економістів аграріїв в аналізі виробництва й значно підвищує рівень наукових досліджень.

Головне призначення дисперсійного аналізу - статистично виявити вплив різних факторів на мінливість ознаки, що вивчається. Особливий інтерес становить використання методу в аналізі економічних процесів та явищ, коли мінливість результативної ознаки зумовлена одночасно дією кількох факторів із неоднаковою силою впливу. Зокрема, це спостерігається при аналізі результативних синтетичних показників економічної ефективності виробництва. Найбільш ефективний тут одночасний дисперсійний аналіз усіх відібраних факторів - багатофакторний аналіз. Можна, звичайно, зробити й попарне порівняння факторів, при якому всі інші ігноруються, однак такий підхід до розв'язання питання не дає змоги виявити існуючу в дійсності множинність ефектів взаємодії.

Прийняття на озброєння економістів дисперсійного методу дозволяє розв'язувати досить важливі завдання виходячи із сучасних вимог до рівня економічного аналізу. У сфері аграрно економічних досліджень цей ефективний статистико - математичний засіб повинен зайняти одне з провідних місць насамперед тому, що використання дисперсійного методу може мати самостійне значення. Зокрема, за його допомогою розв'язуються такі завдання: 1) кількісне вимірювання сили впливу факторних ознак та їх сполучень на результативну; 2) визначення вірогідності впливу та його довірчих меж; 2) аналіз окремих середніх та статистична оцінка їх різниці.

У поглибленому економічному аналізі дисперсійний метод може виконувати допоміжні функції. У цьому плані його використання відкриває широкі можливості щодо науково обґрунтованого підходу до застосування інших статистичних методів кількісного аналізу.

Як і інші статистико - математичні методи, дисперсійний аналіз являє собою чисто технічний засіб наукового пізнання. І використання його при вивченні аграрно - економічних процесів передбачає знання перш за все суті процесів, розуміння причинно -наслідкових зв'язків між явищами, що вивчаються, та вміння виділити найбільш важливі сторони взаємопов'язаних та взаємозумовлених економічних явищ.

Дисперсійний аналіз - це математико - статистичний метод вивчення результатів спостереження, що залежать від різноманітних одночасно діючих факторів. Він створений в двадцятих роках нашого століття зусиллями Р.Фішера. у подальшому суттєвого розвитку метод набув у працях Іейтса.

У нашій країні перший опис дисперсійного аналізу здійснено у 1933 р. М.Ф.Деревицьким у додаткових розділах до підручника В.Іогансена "Елементи точного вчення про змінюваність та спадковість".

Слід відзначити, що в економічних дослідженнях дисперсійний метод ще не набув такого широкого використання, як у біології, зоотехнії, та техніці. Натомість можливості його використання в сфері економіки досить широкі. Основне призначення дисперсійного аналізу -статистично виявити вплив факторів на варіацію ознаки, що вивчається. Особливий інтерес становить використання цього методу в тих випадках, коли зміна згаданої ознаки зумовлена одночасно дією - факторів, частка впливу яких різноманітна.

У дисперсійному аналізі використовується властивість суми квадратів центральних відхилень. Суть її полягає в тому, що коли кілька повністю незалежних факторів діють одночасно й зумовлюють загальну змінюваність ознаки, то сума окремих дисперсій, що вимірюють їх вплив, дорівнює загальній дисперсії: ХД₁⁺ ХД₂+

ЕД3+.-.+ ІДп= ІДзаг.

За однофакторною схемою вивчення здійснюють, маневруючи лише однією ознакою, вважаючи інші незмінюваними. Такий метод не дає змоги виявити взаємодію факторів при одночасній їх зміні. Цих недоліків позбавлений багатофакторний аналіз, при якому кожне спостереження служить для одночасної оцінки всіх факторів та їх взаємодій.

Якщо відобразити загальну мінливість рівня тієї чи іншої ознаки через Су, то її можна показати як суму окремих дисперсій, що виникають під дією різних факторів. Загальна дисперсія (Су) визначається як сума квадратів відхилень кожної варіанти від середньої арифметичної і може бути розкладена на складові: 1) С_х -факторна (міжгрупова) дисперсія, дисперсія, що виникає під впливом врахованих факторів; 2) С₂-залишкова дисперсія (внутрішньогрупова), зумовлена дією різних випадкових (неврахованих) факторів.

У загальному вигляді дисперсія (мінливість) ознаки виражається так: Cy=C_x+C_z.

Факторна дисперсія (С_х) являє собою суму квадратів окремих середніх значень ознаки (М_х), одержаних у групах статистичного комплексу діючих факторів, та загальної арифметичної (М_заг), яка обчислюється для всього статистичного комплексу із показників варіюючої ознаки. Це можливо відобразити у вигляді: С_х=(М_част-М_заг)² або С_х=Х"_х(М_част- М_заг)², де п_х - кількість спостережень за градаціями факторів.

Випадкова (C_z) дисперсія визначається як сума квадратів різниць варіюючої ознаки (V) відносно часткової середньої арифметичної: C_z=£(V-M_4acTJ².

Відношення складових дисперсій до загальної характеризує ступінь факторних ознак у формуванні загальної мінливості результативної ознаки. Так, ступінь впливу врахованих факторів ₂ с_х

становить ті =-.

с,

Відзначене вище стосується вивчення мінливості ознак під впливом одного фактора. Якщо ж вивчається змінюваність результативної ознаки, зумовлена впливом кількох факторів, тоді факторна дисперсія С_х може бути представлена сумою дисперсій кожного фактора окремо (А, В,С і т.д.) та дисперсій спільної дії факторів, що аналізуються ( АВ, АС, ВС, ABC, і т.д.) . Для випадку, коли досліджується вплив на результативну ознаку трьох факторів, ця дисперсія записується в такому вигляді

С_х=Са+Св+Сс+Сав+Сдс+Свс+Савс^. Наведене рівняння має силу, якщо статистичний комплекс за співвідношенням частот належить до рівномірного пропорційного

комплексу. В аналізі економічних явищ найчастіше зустрічаються нерівномірні комплекси. Для них набирає сили нерівність са+св+сс+сдв+сдс+свс+сдвс * с_х^.

Знаходження дисперсій спільного впливу факторів С_АВ, С_АС, С_Вс, С_Авс вимагає особливих прийомів, які будуть розглянуті пізніше на матеріалах конкретних даних.

Вивчаючи методичну сторону дисперсійного аналізу, можна виділити чотири етапи його здійснення : 1) обробка статистичного комплексу для одержання загальної факторної і залишкової дисперсій (Су, С_х, C_z) ; 2 ) визначення частки кожної окремої дисперсії в загальній, для чого розраховують величини ^ , ^; 3) коригування одержаних дисперсій на число ступенів вільності, які знаходять для кожної дисперсії за певними формулами; 4) оцінка факторної дисперсії, тобто встановлення вірогідності впливу кожного вибраного фактора (х або А, В, С і т.д. ) на варюючу ознаку. Для цього використовують критерії Фішера (F - критерій).

Як зазначалося вище, в неортогональних комплексах система розрахунку часткових дисперсій С_А, С_в, С_АВ і т.д. має деякі особливості, зумовлені непропорційними співвідношеннями частот одного фактора по групах (градаціях) другого фактора . Для усунення неортогональності перетворюють нерівномірний комплекс у рівномірний . існують різні способи перетворення нерівномірного комплексу в рівномірний - по Поморському Ю.П., Немчинову B.C. та ін. Точність цих методів деякою мірою різна, але можна користуватися будь - яким з них.

Серед діючих способів перетворення в практиці економічного аналізу найбільш зручним слід визнати метод Поморського Ю.П. В основі цього прийому лежить усереднення частот по групах факторів. По кожній групі досліджуваного фактора знаходять часткові середні з варіант підгруп і загальну середню по всьому дисперсійному комплексу. Спочатку часткові і загальну середню підносять до квадрату, а потім ці величини підставляють у формули дисперсій С_х, CA^, Cв^, C^ cab і ^т.д^.

При обробці трифакторного дисперсійного нерівномірного

комплексу формула дисперсії факторів має вигляд: с_х = n - м²,

де п - число одиниць спостереження, введених у комплекс;

- сума квадратів часткових середніх арифметичних по всіх

групах і по всіх факторах ; ^{1л ,1в,!}° - число груп по кожному з факторів;

^м"^г - квадрат середньої арифметичної, що розраховується для всього комплексу.

Часткові дисперсії С_А, С_в, С_с обчислюють за такою формулою:

^{С - {| -} Ц

де -сума квадратів середніх арифметичних по групах

І мі

факторів А, а відношення ^Іл дорівнює ^Н .Аналогічно розраховують часткові дисперсії С_в, і С_с . Визначивши факторну (С_х,) і часткові (С_А, С_в, С_с ) дисперсії, можна розрахувати дисперсії різних сполучень факторів (^{Слв,Слс,Свс,Слвс}).

Величина загальної дисперсії дорівнюватиме ' ' ². Величина загальної дисперсії із даного виразу буде дещо відрізнятися від тієї величини, яка одержана за вище наведеними розрахунками, але ця розбіжність діє несуттєво на наступні обчислення. Отже, наведеним способом розрахунків цілком можна користуватися.

Принцип розрахунку однофакторного і багатофакторного дисперсійних комплексів має деякі методичні особливості, зумовлені кількістю факторів, включених в аналіз. Ці особливості будуть викладені у логічній послідовності розглядуваних нижче розрахунків одно -, дво - і трифакторних дисперсійних комплексів.