Страхування - Базилевич В.Д. - 26.2. Складені пуассонівський та від'ємний біноміальний розподіли

Припустимо, що число позовів v має розподіл Пуассона із середнім X:

X"

п_п = Р(у = п) =-е"^х,п = 0,1, 2, .... Генератриса цього розлогі!

ділу дорівнює

*М"ІУ ~е^к=е^ ІҐо пі

Розподіл величини сумарного позову 5 = У₁ +... + У_у називається складеним пуассонівським розподілом.

Перетворення Лапласа величини 3 можна одержати з (26.3) при п(г) = ехр(Хг-Х):

і|/(в) = М^ = е^Хф(,)- (26.7)

де ф(") = Ме"'^у - перетворення Лапласа величини поданого індивідуального позову. Таким чином, невід'ємна випадкова величина 5 має складений пуассонівськоє розподіл, якщо її перетворення Лапласа у (в) представлене у вигляді (26.7), де ф(а) - перетворення Лапласа деякої невід'ємної випадкової величини У.

Параметр X початкового пуассонівського розподілу п_п, і розподіл Р(х) індивідуального позову У називаються параметрами складеного пуассонівського розподілу.

Якщо індивідуальні позови У₍ мають дискретний розподіл р_п з генератрисою g(z)₉ то складений пуассонівський розподіл також є дискретним і його генератриса Є (з) визначається згідно з (26.4) як

G(z) = Mz^s =е^х*^(а) (26.8)

Для математичного сподівання та дисперсії складеного пуассонівського розподілу із загальних формул (26.5), (26.6) і формул Mv = Dv = X для пуассонівського розподілу маємо

MS = X-MY, DS = XMY². Зазначимо, крім того, наступний результат для третього центрального моменту M(S~MS) = X-MY*.

Величина -L___?^l_ є кількісною мірою асиметрії. Якщо

вона дорівнює нулю, то розподіл розглядають як симетричний, якщо вона від'ємна (додатна), то щільність величини S має скіс вліво (вправо) щодо центру. Додатна симетрія означає відносно значну ймовірність великих значень позову.

Оскільки МУ⁸>0 для додатних випадкових величин, то сумарний позов у моделі складеного пуассонівського розподілу завжди має позитивну асиметрію (навіть якщо індивідуальні позови мають нульову або від'ємну асиметрію).

Слід зазначити деякі важливі властивості складеного пуассонівського розподілу:

1. Припустимо, що випадкові величини S_ltS₂ - незалежні й мають складений пуассонівський розподіл з параметрами X_l.F_l (x);X₂,F₂(x); ... відповідно. Припустимо, що ряд

^ X_t <+оо - збігається; ця умова заздалегідь виконана, якщо

і=і

число доданків скінченне. Тоді їх сума S = S_t+S₂+... також має складений пуассонівськський розподіл і його параметри X_tF(x) задаються формулами

х-£х,.*<*)-І£*,<*)і

І"1 1=1 л.

Доведення цього твердження можна знайти у праці Г.1. Фа-ліна¹. Доведену властивість можна інтерпретувати в термінах моделі колективного ризику. Припустимо, що є декілька незалежних груп договорів страхування. Надходження позовів від і-ї групи за аналізований проміжок часу описується пуассо-нівською величиною з середнім X_lt а величина позову, що подається, має розподіл F_t (х). Тоді, якщо об'єднати всі договори в одну велику групу, то надходження позовів від цього сумарного портфеля характеризуватиметься розподілом Пуассона з середнім Х = А,, + Х₂ + а величина позову, що подається, ма-

тиме розподіл F(x), що є середнім з вагами - значенням роз-

X

поділів F_t(x).

2. Припустимо, що випадкова величина S має складений пуассонівськоє розподіл з параметрами X і F(x), Розподіл величини позову, що подається, представлений у вигляді суміші з вагами р_х, р₂, ... (величини p_t - невід'ємні й у сумі дають 1) розподілів F_t(x):

'(*)-Јjv4(*>

Тоді S збігається за розподілом із сумою незалежних випадкових величин S,, S₂, кожна з яких має складений пуас-сонівський розподіл з параметрами X_t = Xp_t та F_t (х), і = 1, 2, ....

Властивість 2 дає змогу розбивати портфель договорів зі складним розподілом величин позовів, що подаються, на декілька незалежних портфелів з простішими розподілами величин позовів, що подаються. Для цих простих портфелів можна підрахувати розподіл величини сумарного позову і потім за допомогою згорток визначити розподіл величини сумарного позову (а отже, і ймовірність банкрутства) для початкового портфеля.

Найефективнішим методом точного розрахунку розподілу Р_п = P(S = ті) складеного пуассонівського розподілу з дискретним розподілом р_п величини поданих позовів, є використання рекурентної формули

^=-2>Л-,. (26.9)

При А.->+со для складеного пуассонівського розподілу справедливе гауссівське наближення, тобто

, yfDS ) 72лі

Припустимо тепер, що кількість позовів v має від'ємний біноміальний розподіл з параметрами р і а, тобто (див. (22.2))

TC=P(V = H)

а(а + 1)...(а + л-1)

с>^в,п = 0,1,2,

де Я = 1-р.

У цій ситуації розподіл величини сумарного позову 5 = У, +... + У_у називається складеним від'ємним біноміальним розподілом. Перетворення Лапласа величини £ можна одержати з формул (26.3)

/ _ V^х

i|/(s) = Me

вЗ

(26.10)

де ф(в) = Ме -індивідуального

/

71(2) =

Д-дф(в);

перетворення Лапласа величини поданого позову. Тут було використано, що

Таким чином, невід'ємна випадкова величина S має складений від'ємний біноміальний розподіл, якщо її перетворення Лапласа |/(з) має вигляд (26.10), де ф(в) -перетворення Лапласа деякої невід'ємної випадкової величини У.

Параметри р і а початкового від'ємного біноміального розподілу тс_п і розподіл F(x) індивідуального позову У називаються параметрами складеного від'ємного біноміального розподілу.

Якщо індивідуальні позови У₍ мають дискретний розподіл р_п з генератрисою £(2), то складений від'ємний біноміальний розподіл також є дискретним і його генератриса визначається згідно з (26.4) як

Для математичного сподівання та дисперсії складеного від'ємного біноміального розподілу із загальних формул (26.5), (26.6) і формул для Му і 2)у (підрозділ 22.3) маємо

MS = ^-MY,

(26.11)

DS=^-(MY)² Р

aq

Р

Зазначимо, крім того, центрального моменту

DY =--MY² + Щ- o (МУ)². (26.12)

Р Р

, подальший результат для третього

М(5-Я5)^а = ^МУ² +^1-МУ-МУ² + і^-.(МУ)³. Р Р Р

Важливо підкреслити, що (як і для складеного пуассонівського розподілу) в цій моделі сумарний позов завжди має невід'ємну асиметрію (навіть якщо індивідуальні позови мають нульову або від'ємну асиметрію).

Справедливе твердження: кожен складений від'ємний біноміальний розподіл можна розглядати як складений пуассонівський розподіл з певним чином підібраними параметрами¹.

Тому складений від'ємний біноміальний розподіл має ті ж спеціальні властивості, що і складений пуассонівський розподіл. Проте, оскільки зв'язок параметрів обох видів розподілів дуже складний, ці властивості не виглядають так само природно, як і відповідні властивості складеного пуассонівського розподілу. Єдиним винятком є така рекурентна формула для розрахунку розподілу Р_п сумарного позову, аналогічна формулі (26.9):

де р₁ - розподіл величини позовів, що подаються.

При а -> +оо для складеного від'ємного біноміального розподілу справедливе гауссівське наближення.

Також для складеного від'ємного біноміального розподілу справедливе гамма-наближення при р -> 0:

итр(^_<х) ₌ -}:--'Г^є^г,

р->° ^Мв , 2^аГ(а) і тобто граничним виступає гамма-розподДл з параметрами 0,5 і а.

Якщо 2а - ціле число, то гамма-розподіл є відомим х²*роз-поділом з 2а степенями свободи. Це можна використовувати при реальних розрахунках.

Приклад 26.2. Розглядається страхова компанія, яка займається страхуванням ремонту автомобілів. Річна кількість аварій описується від'ємним біноміальним розподілом із середнім 20 і дисперсією 100. Середня вартість ремонту автомобіля - 1500 грн. Треба оцінити величину резервного фонду компанії, достатню, щоб забезпечити ймовірність банкрутства на рівні 5 %.

Знайдемо параметри від'ємного біноміального розподілу:

Му 20 1 р-Му -,а = --

2)у 100 М5 = Му o МУ

^-5 4 ~^5,

Тоді Р(8>и) = Р

(2а5 2аиЛ

5 д

20 1500 = ЗО 000 грн.

РІ

^{х2(Ю)>^1}

х²(Ю)>

Юи

30 000

= 0.05.

З таблиці х²-розподілу¹ при /є = 10 і 1-а = 0,05, знаходимо значення квантиля т².. тобто Р (х* (&) > х" )= 1 - а, маємо

Хо,95

18,3. Тоді

10ц

30 000

= 18,3 і и = 54 900 грн.

Висновки

1. У моделі колективного ризику весь портфель укладених угод страхування розглядається як єдине ціле, без розрізнення окремих угод, які його складають.

2. При підрахунку ймовірності банкрутсва у моделі колек-тивого ризику потрібно знаходити розподіл суми випадкового числа випадкових величин. Можливе використання точних та наближених методів розрахунку ймовірності банкрутства для моделі колективого ризику.

3. Для обчислення розподілу суми незалежних випадкових величин зручно застосовувати спеціальні функції: генератри-си (для дискретних величин) та перетворення Лапласа (для довільних додатних величин).

4. Складені пуассонівський та від'ємний біноміальний розподіли найбільш адектватно описують ймовірнісні розподіли, які виникають у моделі колективного ризику.

б. Для складеного від'ємного біноміального розподілу справедливе гамма-наближення за малих значень параметра р.

Навчальний тренінг

Основні терміни і поняття

Модель колективного ризику; імовірність банкрутства; генератриса; перетворення Лапласа; складений пуассонівський розподіл; складений від'ємний біноміальний розподіл; гамма-наближення, розподіл.