Фінансовий ринок - Шелудько В.М. - 13.7. Оцінювання дохідності кредитних та депозитних операцій

Умовами кредитного договору передбачені різні схеми погашення кредиту. Це може бути погашення однаковими чи різними частками, погашення одним платежем основної суми боргу та процентів тощо.

Визначимо суму процентних платежів за кредитом, основна сума якого погашається однаковими частинами. Нехай Сі — сума кредиту, п — кількість років, к — процентна ставка за кредитом. При погашенні основної суми боргу однаковими частками сума погашення за рік становитиме Сі: п, процентні виплати за перший рік — Ск. Залишок боргу становитиме:

па початок другого року:

С

С,=С,-Ь.;

п

на початок третього року:

С - с - £і.~ г - ¹ • п п

на початок і-го року:

П

Сума процентів, сплачених за і-й рік:

1<=кС>=кС_х-С_хУ-^-.

п

Загальну суму процентів, сплачених за весь період кредитування, визначають за формулою

1-і і-п 71

Зважаючи на те, що під знаком суми — члени арифметичної прогресії, можна спростити вираз

/ _{= ЛСі}—. (13.38)

2

Якщо проценти сплачуються т разів на рік, загальна сума процентів, сплачепих за весь період, буде визначатись за формулою

2

Платежі в погашения кредиту за і-тк період Д складаються із суми процентів за період та частки боргу:

або

Ц=С₁^{1 + Нп}-^{1 + 1)}. (13.39)

Я

Приклад. Кредит у сумі 50 ООО гр. од. паданий на 5 років під 15% річних з погашенням основної суми боргу щороку однаковими частинами. Визначити суму процентів, отриманих банком від надаппя кредиту та платіж у погашення кредиту за четвертий рік.

Проценти, отримані банком за весь період кредитування, визначимо за формулою (13.38)

І = 0,15 • 50 000 (5 + 1): 2 - 22 500 гр. од.

Платіж у погашення кредиту за четвертий рік згідно з формулою (13.39)

Б₄ = 50 ООО [1 + 0,15 (5 - 4 + 1)] : 5 = 13 000 гр. од.

Визначимо суму процентних платежів за кредитом, який погашається однаковими частинами. Платежі в погашення кредиту в цьому разі однакові протягом усього періоду кредитування і містять різні частки основної суми боргу та процентів у погашення боргу.

Нехай періодичні платежі в погашення кредиту дорівнюють £>. Якщо к — процентна ставка за кредитом, а Сі — сума кредиту, то проценти, сплачені за перший період, становитимуть кС. Платіж у погашення кредиту за перший період визначається так:

І> - йі + кС_и

де й_х — частка основної суми боргу, що погашається в першому періоді. Залишок боргу на початок другого періоду становитиме

С₂ = С, - гіі.

Позначивши через о?₂ частку основної суми боргу, сплачену в другому періоді, і врахувавши те, що платежі в погашення кредиту за перший і другий періоди однакові, отримаємо рівність dj + k Сі = d₂ + k C₂,

або

^{di + ї Ct - d2 + ^ (Сі - dO,}

звідки

d₂ = di (1 + *).

Визначимо частку основної суми боргу, що погашається в третьому періоді, та залишок боргу на початок третього періоду

С₃ = С₂ - d₂ = Сі - d_x - d, (1 + fe),

d₃ - d₂ (1 + k) - dx (1 + fe)².

Частка основної суми боргу, що погашається в /-му періоді, визначається виразом:

di " d_t (1 + fe)'"¹. (13.40)

Оскільки сума всіх платежів у погашення основної суми боргу дорівнює сумі кредиту Сі, можна визначити платіж за перший період:

C,=їd₍=<ї,Ј(l+ *)'-'.

hi У-1

Звідки

а=—&-. (13.41)

2>+*)^м

м

Підставляючи отриманий вираз у формулу (13.40), отримаємо частку основної суми боргу, що погашається в і-му періоді:

_d _ С,(1+ *)-' (13.42)

У-1

Залишок боргу на початок і-го періоду становитиме

С, =С, -£</, =0,-^^(1+*)'". (13.43)

Проценти, сплачені за і-й період, відповідно становлять:

/, = АС, = к(С, -¿,¿(1 + Л)^м). (13.44) /-і

Сума процентів, сплачена за весь період кредитування

/ = £/, = пкС_х - ^¿£(1 + КҐ. (13.45)

Отже, платіж у погашення кредиту за і-й період визначається сумою

1) - * + * С,, (13.46)

де гі, — платіж у погашення основної суми боргу, що визначається виразом (13.42); С, — залишок боргу па початок і-го періоду, що визначається виразом (13.43). Сума платежів за весь період кредитування дорівнює сумі кредиту та сумі сплачених за ним процентів

А, = п • В = С|+ /.

Приклад. Припустимо, що кредит у сумі 100 000 гр. од. наданий на чотири роки під 16% річних з погашенням однаковими частинами. Платежі в погашення кредиту сплачуються щороку. Визначити частину основної суми боргу, що погашається в кожному з періодів, та загальну суму процентів, отриманих банком від надання кредиту.

Згідно з формулою (13.27)

di = 100 000 : (1 + 1,16 + 1,16^і + 1,16^а) = 19 737,51 гр. од.; d_г = d_l{l + k) = 19 737,51 • 1,16 = 22 895,51 гр. од.; d₃ = гі, (1 + к)² = 19 737,51 • 1,16² = 26 558,79 гр. од.; d₄ = d_l(l+ НУ = 19 737,51 • 1,16⁸= 30 808,28 гр. од.

Кредит погашається однаковими частипами, кожна з яких дорівнює І):

І) = гіі + /е • Сі = 19 737,51 + 0,16 • 100 000 = 35 737,51 гр. од.

Проценти, сплачепі позичальником за кожен з чотирьох років, можна обчислити, використавши залежність (13.46):

І, = к С, - В - d_i

^{іі = В - dl = 16 000 гр. од.; /2 = Я - гі2 = 12 842,99 гр. од.;}

I₃=B-d₃ = 9178,72 гр. од.; /₄ - В - d₄ = 4929,31 гр. од.

Загальна сума процентів за чотири роки становитиме

І = І, + /₂+ /₃+ /₄ - 42 951,02 гр. од.

Дохідність сукупності кредитних операцій, як і дохідність інших фінансових операцій, вианачасться річною процентною ставкою і характеризує рівень процентних доходів, отриманих на інвестовані кошти.

Загальна дохідність кредитних операцій за деякий період / ви-зпачається часткою від ділення суми отримапих процентів па суму падапих кредитів:

т- ⁽¹³-⁴⁷⁾

м

де І, — сума процентних виплат за і-м кредитом; С, — сума наданого 1-го кредиту; п — кількість наданих за період кредитів.

Загальна дохідність сукупності кредитних операцій може значно відрізнятись від дохідності окремих операцій, оскільки враховує термін кредитної операції та ефективність використання кредитних ресурсів.

Якщо кредитні ресурси використовуються протягом усього періоду, то внаслідок цього підвищується загальна дохідність кредитних операцій. Якщо частина ресурсів використовується лише протягом частини періоду, то значно знижується загальна дохідність кредитних операцій. У разі, коли всі кредитні ресурси використовуються протягом усього досліджуваного періоду, загальна дохідність буде збігатися з так званою середньозваженою. її визначають формулою

^=Е^Лл" <¹³-⁴⁸>

де к_{ — процентна ставка за і-м кредитом; и)_Л — частка і-го кредиту в

л

^{загальній сумі кредитів, тобто ш, — Сі: 2 С, (Сі — сума і-го кредиту;}

І^С, — загальна сума кредитів, наданих протягом досліджуваного пе-

ріоду). Середньозважена дохідність не враховує термінів кредитування, оскільки відповідно до формули (13.48) враховуються процентні ставки за кредитами, а не сума отриманих процентів. Однак середньозва жена дохідність суттєво залежить від конкретного виду кредитних ресурсів, наданих під визначену процентну ставку. Чим більша сума кредитів, наданих під ставку А„ тим більший вплив матимуть величина цієї процентної ставки па розмір середньозваженої дохідності.

Приклад. Визначити загальну та середньозважену дохідність кредитних операцій за квартал, якщо протягом кварталу були надані три кредити: в сумі 100 000 гр. од. на 3 міс. під 16% річних; 150 000 гр. од. па 2 міс. під 15,8% річних; 80 000 гр. од. па 1 міс. під 15,6% річних.

Проценти, отримані за наданими кредитами, становлять, гр. од.:

/, = 0,16 • 100 000 • 3 : 12 - 4000; І₂ = 0,158 • 150 000 • 2 : 12 = 3950; /₈ = 0,156 • 80 000 • 1 : 12 = 1040.

Загальна дохідність цієї сукупності кредитних операцій згідно з формулою (13.47) дорівнює

. 4000 + 3950 + 1040 12 _Л1ЛОЛ - _1ЛОЛ0/

к =----= 0,1090 , або 10,90%.

^зпг 100 000 + 150 000 + 80 000 З

Середньозважену дохідність розраховують відповідно до формули (13.48)

к_сз = 0,16 • — + 0,158— + 0,156— = 0,1581, або 15,81%. 330 330 330

Низьке значення загальної дохідності обумовлене тим, що не всі кошти були інвестовані в кредити протягом трьох місяців. Якщо вважати, що всі кредити надано на 3 міс, то сума процентних виплат за кожним з кредитів становитиме, гр. од.: Л = 4000; /₂ = 5926; /₃ = = 3120, а загальна дохідність зросте до 15,81% і буде збігатися з середньозваженою дохідністю.

Для визначення дохідності кредитних операцій, що здійснюються комерційними банками, використовують також показник середньої дохідності всіх кредитних операцій за деякий період Ь. Цей показник розраховують як частку від ділення отриманих за період ї процентів за кредитами / на середній залишок коштів на відповідних рахунках, що відображають суму інвестованих у кредити коштів А?:

І Т

А = —--. (13.49)

Так само розраховують і загальну дохідність усіх "працюючих" активів банку, основу яких становлять кредити та інвестиції в цінні папери. В цьому разі / означає не тільки проценти, отримані банком від надання кредитних послуг, а й весь дохід від активних операцій, отриманий банком за період t.

Приклад. Залишки па рахунках "кредити, надалі банком" па 01.01.02 р. становив 5 млн гр. од., на 01.04.02 р. — 5,2 млн гр. од. Процентні доходи банку від падання кредитів за квартал — 0,24 млн гр. од. Визначити середню дохідність кредитних операцій за квартал.

Згідно з формулою (13.49) середня дохідність становить

к =-—--— = 0,1888, або 18,88%.

^в (5 +5,2): 2 91

Дохідність депозитних операцій залежить від суми вкладених коштів, способу нарахування процентів та частоти їх парахувапня. Якщо на депозитному вкладі розміщена сума С, на яку щоперіоду нараховується проста ставка процентів, загальна сума процентних виплат становитиме

П П І /"і п

1-1 /=1 ^{1 1} 1=1

де k_t — процентна ставка в річних, що нараховується в 1-му періоді; п — кількість періодів; t_t — тривалість і-го періоду, днів. Якщо сума коштів змінюється протягом періоду інвестування, загальна сума процентів визначається так:

_{1' £ s І *'С< І - ІЕ '<*'С" (13.50)}

¿=1 і= І=

де Сі — сума коштів, розміщених на депозиті в і-му періоді. Нарощена сума за вкладом визначається сумою

С.=С.+/ = С.+^Е ІДС,. (13.51)

Приклад. Протягом чотирьох місяців з 01.01.02 р. по 01.05.02 р. па депозитний рахунок щомісяця вносились кошти в сумі 100 гр. од. Процентна ставка протягом перших 45 днів становила 18%, протягом наступних 76 днів — 20% річних. Обчислити суму нарахованих за 4 міс. процентів, якщо банком нараховується за вкладом проста ставка процентів.

Нижче зображені часова вісь, процентні ставки, кількість днів у часових періодах та залишок коштів на рахунку па початок кожного з періодів.

На основі формули (13.50) отримаємо, гр. од.:

/ = (31 • 0,18 • 100 + 14 • 0,18 • 200 + 15 • 0,2 • 200 +

+ 31 • 0,2 • 300 + ЗО • 0,2 • 400) : 365 = 19,62.

Нарощена сума за вкладом згідно з о^ормулою (13.51) дорівнює, гр. од.:

С_н = 400 + 19,62 = 419,62.

У разі нарахування складних процентів за вкладом нарощена сума та загальна сума нарахованих процентів визначаються з виразів:

С„ = С (1 + *У (13.52)

/ = С„ - С = С [(1 + к)^п - 1]. (13.53)

Якщо процентна ставка змінюється протягом періоду інвестування, нарощена за п періодів сума матиме вигляд:

С_н = С (1 + *,) (1 + к₂) ... (1 + к„). (13.64)

Сума нарахованих процентів при цьому дорівнюватиме:

/ - С [(1 + к_х) (1 + к₂) ... (1 + *„) - 1]. (13.56)

Приклад. На депозитний вклад внесено 500 гр. од. Визначити нарощену протягом року суму, якщо нараховується складна ставка процентів, проценти нараховуються раз на квартал. Процентна ставка за 1—4 квартали: к = 18% річних, к₂ = 17,6, к₃ = 17,9, /г₄ = 18,3% річних.

Оскільки проценти нараховуються чотири рази на рік, потрібно скоригувати формулу (13.54) відповідно до (13.2):

^™("^!5^!)(¹<^!?ї''тІ"т)-"

Проценти, нараховані за рік, становлять

/ = 595,92 - 500 = 95,92 гр. од.

Визначимо суму нарахованих процентів у разі фінансової ренти, коли кошти на депозитний рахунок вносяться однаковими частками через однакові проміжки часу протягом певного періоду часу, що визначається п періодами.

Припустимо, що кошти вносяться на початку кожного періоду в сумі Со. Процентна ставка за період дорівнює к і нараховується у вигляді складних процентів. Суми внесків з нарахованими за відповідний період процентами на момент закінчення терміну депозиту визначаються на основі формули (13.52):

Сі = С₀ (1 + к)^п; С_а - Со (1 + А)""¹;

G~C₀(1 + /еГ"¹; С„ - Co (І + А),

де C_t — нарощепа сума на кошти, внесені на початку і-го періоду; п — кількість періодів, що визначає термін депозиту. Нарощена за п періодів у результаті періодичних впесків сума С дорівнює

Використавши формулу для суми членів геометричної прогресії, отримаємо

C,_t=C₀(l-bfe)^{(1 + /gr}~¹. (13.56)

k

Сума нарахованих процентів визначається різницею між нарощеною та загальною сумами інвестованих коштів

/ = С„-пС„=С₀ к

(13.57)

Приклад. Визначити нарощену суму та процепти за фінансовою рентою, якщо внески в сумі 1000 гр. од. вносились щороку впродовж чотирьох років, процентна ставка за рентою становить 15% річних. Згідно з формулами (13.56), (13.57) нарощена сума та проценти дорів пюють:

С - 1000 (1 + 0,15) ((1 + 0,15)⁴ - 1) : 0,15 = 5742,38 гр. од.; / = 5742,38 - 4 • 1000 = 1742,38 гр. од.

Якщо внесення коштів па депозит оформлено у вигляді строкового депозитного сертифіката на пред'явника, вартість погашення сертифіката визначається за формулою

F = N]

1 + ^/г_г Т ^е

(13.58)

де N — номінальна вартість сертифіката; к_е — процентна ставка за сертифікатом; — термін обігу. При перепродажу сертифіката на вторинному ринку його ринкова вартість буде визначатись з урахуванням ринкової дохідності г:

Р_в= . (13.59)

Т

Якщо до терміну погашення сертифіката залишилось / днів, придбання сертифіката за ринковою ціною Р_с забезпечить інвестору дохідність на рівні ринкової ставки доходу г.

Приклад. Депозитний сертифікат, поміиал якого становить 10 000 гр. од., термін обігу — 90 днів, придбаний на ринку за ціною 10 325 гр. од. за 15 днів до погашення. Визначити суму, яку отримає власник сертифіката при погашенні, а також очікувану дохідність, якщо процентна ставка за сертифікатом становить 16% річних.

Вартість погашення визначимо згідно з формулою (13.58):

^ = 10 000 (1 + 0,16 • 90 : 360) = 10 400 гр. од. Очікувану дохідність обчислимо, скориставшись формулою (13.59):

_г.(£ і)!.(іош_лш_{ш або}

Р_{с /} * V10 325 ; 15