Економічна теорія - Мочерний С.В. - Теорія оптимального розподілу ресурсів

До середини XX століття економісти-теоретики ігнорували математичні підходи та обґрунтування. Але математичні дослідження тривали, і були досягнуті блискучі результати. У 1975 р. кращі представники математичної школи радянський учений Л. Канторович і американський професор Т.-Ч. Купманс були відзначені Нобелівською премією.

Канторович Леонід Віталійович (1912—1986) народився у Петербурзі. У 1930 р. закінчив Ленінградський університет, а вже через чотири роки йому присвоїли звання професора. Працював у Ленінградському інституті інженерів промислового будівництва, був завідувачем кафедри Вищого інженерно-технічного училища, професором Ленінградського університету. У 1958 р. разом із В. Немчиновим він створив Лабораторію із застосування статистичних і математичних методів у економіці. Того самого року Л. Канторовича було обрано членом-кореспондентом, а в 1964 р. — дійсним членом Академії наук СРСР.

Автор праць "Методи наближеного розв'язання диференціальних рівнянь у часткових похідних" (спільно з В. Криловим, 1936), "Функціональний аналіз у навів упорядкованих просторах" (спільно з Б. Вуліхом і А. Пінскером, 1949), "Функціональний аналіз та прикладна математика" (1948), "Економічний розрахунок найкращого використання ресурсів" (1959), "Функціональний аналіз у нормованих просторах" (спільно з Г. Акіловим), що витримала кілька видань в СРСР і за кордоном, "Динамічна модель оптимального планування" (1967), "Ціноутворення і технічний прогрес" (1979) та багато інших.

Почесний член Міжнародного економетричного товариства, почесний доктор Гренобльського, Гельсінського, Йєльського, Паризького, Кембриджського, Пенсільванського університетів, а також університетів у Варшаві, Глазго, Мюнхені, Ніцці та імені Мартіна Лютера в Галле, Статистичного інституту в Калькутті. Лауреат Нобелівської премії (1975).

Купманс Т'яллінг-Чарльз (1910—1985) народився у Грейвленді (Голландія). З 1927 по 1933 рік здобував освіту в Утрехтському університеті. З 1934 р. в Амстердамському університеті готував докторську дисертацію "Лінійний регресивний аналіз економічних часових поясів", яку захистив у 1936 р. в Лейденському університеті. Викладав економіку і вів науково-дослідницьку діяльність у Нідерландському економічному інституті в Роттердамі. Два роки (1938—1940) працював експертом Ліги Націй з питань грошового обігу. У 1940 р. він емігрував до США, викладав у Нью-Йоркському, Чиказькому, Гарвардському університетах.

Найбільше визнання здобули його книги "Статистичний висновок щодо динамічних моделей" (1950), "Три нариси про стан економічної науки" (1975) та багато інших.

Був членом Економетричного товариства США. У 1950 р. обирався президентом Міжнародного економетричного товариства. Впродовж 1955—1981 рр. працював професором економіки Йєльського університету. Заслужений член Американської економічної асоціації, почесний професор Йєльського університету, йому присвоєні почесні вчені ступені Нідерландської школи економіки, Лувенського католицького, Північ-но-Західного і Пенсільванського університетів. Лауреат Нобелівської премії (1975).

Основою теорії оптимального розподілу ресурсів е метод лінійного програмування, вперше обґрунтований Л. Канторовичем новий розділ математики, що поширився в економічній практиці, сприяв розвиткові та використанню електронно-обчислювальної техніки. Суттю методу є максимізації за обмежених ресурсів. Умови задачі на оптимум і мету, яку треба досягнути, можна виразити з допомогою системи лінійних рівнянь. Невідомі в них тільки першого ступеня; жодне невідоме не перемножується на інше невідоме. Такі рівняння виражають залежності, які зображають на графіку прямими лініями. Оскільки рівнянь менше, ніж невідомих, то задача зазвичай має не одне, а множину рішень. Знайти ж потрібно одне, за математичною термінологією екстремальне, рішення. Так, у задачі з оптимізації випуску фанери Л. Канторович представив змінну, яку слід максимізувати у вигляді суми вартостей продукції, що вироблена всіма станками. Обмежувачі були сформульовані у вигляді рівнянь, які встановлюють співвідношення між усіма факторами, що витрачаються у виробництві (деревиною, клеєм, електроенергією, робочим часом), і кількістю виробленої продукції (фанери) на кожному із станків. Для показників факторів виробництва були введені коефіцієнти, названі розв'язуючими множниками, або мультиплікаторами. З їхньою допомогою розв'язують поставлені задачі. Якщо відомі значення розв'язуючих множників, то шукані величини, зокрема оптимальний обсяг продукції, що виробляється, можна легко обчислити.

Л. Канторович обґрунтував економічну суть запропонованих ним коефіцієнтів (розв'язуючих множників) як граничних вартостей обмежуючих факторів — це об'єктивно значущі ціни кожного із факторів виробництва стосовно умов конкурентного ринку. Для рішення задачі на оптимум учений використав метод послідовних наближень, послідовного зіставлення варіантів з вибором найкращого відповідно до умов задачі.

Уперше основи теорії оптимального розподілу ресурсів було опубліковано у 1939 р. у праці "Математичні методи організації і планування виробництва". У ній Канторович запропонував принципово новий клас екстремальних задач з обмеженнями, розробивши ефективний метод їх розв'язання. Вчений сформулював задачу складання плану і системи цін як взаємозалежних компонентів неподільної двоедності, що було великим досягненням, адже одночасна мінімізація затрат і максимізація результатів неможлива. Водночас обидва ці підходи взаємопов'язані: якщо, наприклад, знайдена оптимальна схема перевезень, то їй відповідає певна система цін; якщо визначені оптимальні значення цін, то можна одержати схему перевезень, що відповідає вимогам оптимальності.

Термін "розв'язуючі множники" надалі був інтерпретований Л. Канторовичем та сформульований як об'єктивно зумовлені оцінки. Вони не довільні, їхні величини мають об'єктивно зумовлений характер, задаються конкретними умовами задачі. Значення об'єктивно зумовлених оцінок підходять тільки для однієї задачі. Вчений пропонував розраховувати їх при розробленні планів; на ці показники покликані спиратися підприємства при розрахунку затрат та обсягів виробництва відповідної продукції. Об'єктивно зумовлені оцінки коригуються залежно від співвідношення попиту та обсягів виробництва. Впроваджені у практику планування і управління розрахунки мають оп-тимізувати використання ресурсів.

Задачі лінійного програмування були відомі ще з кінця XVIII ст. Однак їх почали розв'язувати.лише після виходу у світ праць Л. Канторовича, який став першовідкривачем лінійного програмування. У США дослідження з лінійного програмування розпочалися лише наприкінці 40-х років XX ст* Транспортна задача Хічкока і симплекс-метод Данціга (близькі до методу розв'язання задач лінійного програмування Канторовича) були розроблені на десятиліття пізніше.

У 50-ті роки Л. Канторович, узагальнивши свої дослідження, розширив сферу аналізу і опублікував книгу "Економічний розрахунок найкращого використання ресурсів" (1959), перший варіант якої був підготовлений ще в 1942 р. У ній і в наступних статтях він застосував свій метод лінійного програмування для дослідження широкого кола проблем планування, зокрема на національному рівні.

Науковий вклад Л. Канторовича — це знамениті наукові школи у галузі функціонального аналізу, обчислювальної математики, математичної економіки і оптимального планування народного господарства. Відкрите ним математичне програмування широко використовується для розв'язання рівних задач в економіці, фізиці, енергетиці, геології, біології, механіці й теорії управління. Він був одним з основоположників сучасного економіко-математич-ного напряму в економічній науці.

Метод лінійного програмування вперше дав змогу точно сформулювати важливе сучасне економіко-математичне поняття "оптимальність". Л. Канторович та його колеги розробили систему оптимального функціонування економіки (СОФЕ); сформували моделі ефективного розподілу та оцінки ресурсів. З позицій теорії двоїстості Л. Канторович ще в 50-ті роки рекомендував розраховувати для планового періоду оптимальну оцінку капіталовкладень.

Він дав їй економічне пояснення і показав її значення в господарському управлінні. Це був науково обгрунтований підхід до обчислення числового значення єдиного народногосподарського економічного нормативу ефективності використання капітальних вкладень, який набагато випередив свій час.

Дещо пізніше, але незалежно від Л. Канторовича, запропонував подібну методологію Т.-Ч. Купманс. У 1944—1945 рр. він розробив план торгівельно-го мореплавання, що мінімізував можливість небезпечного торпедування порожніх вантажних суден фашистськими підводними човнами. Метою він обрав мінімізацію порожнього пробігу суден і розв'язав задачу методом спроб і помилок. Купманс довів, що економічна задача збігається з математичною задачею мінімізації лінійної функції. Цю аналітичну методику вчений уперше описав у 1942 р. під назвою "Співвідношення між вантажопотоками на різних маршрутах". Він показав, що названу проблему потрібно розглядати як лінійну функцію максимізації в рамках багатьох обмежень. Обмеження були подані математичними рівняннями, що виражають відношення кількості витратних факторів виробництва (амортизації суден, часу, трудових затрат) до кількості доставлених у різні пункти призначення вантажів. При цьому величина будь-яких витрат не повинна перевищувати суму вартостей доставлених в кожний порт вантажів. Учений помітив суть принципу лінійного програмування, яка полягала в тому, що в оптимальному випадку і за ідеальних оцінок усіх ресурсів затрати і результати будуть рівними. Отже, Т.-Ч. Купманс використав математичний інструментарій і створив метод визначення оптимального розподілу ресурсів між конкуруючими споживачами, за яким можна було, наприклад, розрахувати затрати на доставку мільйонів тонн вантажів, що перевозять тисячі суден морськими шляхами у сотні портів. Метод Купманса, названий "аналізом діяльності фірми", увійшов у загальну методологію лінійного програмування. Надалі вчений розробляв і популяризував методи лінійного програмування. Завдяки його зусиллям 20—24 червня 1949 р. в Чикаго було організовано першу спеціальну конференцію з лінійного програмування.

У1950 р. Т.-Ч. Купманс з іншими дослідниками остаточно розробили так званий метод "аналізу діяльності фірми". Моделі цього типу такі самі, як і міжгалузеві, лінійні, однак у них кожний вид виробничої діяльності може пов'язуватися з випуском кількох товарів, й існує можливість вибору між різними технологіями виробництва кожного виду продукції. Виробнича модель типу аналізу діяльності фірми, як правило, містить значно більше ступенів свободи, ніж звичайна модель міжгалузевого балансу, завдяки чому відкриваються природні можливості для оптимізації. Саме тому аналіз діяльності фірми розвивався в тісному зв'язку з лінійним програмуванням.

Теорія оптимального розподілу ресурсів, засновниками якої є Л. Канторович і Т.-Ч. Купманс, визначає модель виробничого процесу, яка за допомогою методу лінійного програмування забезпечує вибір із кількох можливих такого варіанту, що максимізує випуск продукції не лише на рівні підприємства, але й на макроекономічному рівні.