Теорія статистики - Мармоза А.Т. - 9.7. Особливості кореляційного аналізу в рядах динаміки

Наведені вище приклади кореляційного аналізу обчислені на матеріалах просторових статистичних сукупностей. Однак при вивченні зміни явищ у часі часто виникає потреба оцінювати ступінь взаємозв'язку рівнів яких-небудь рядів динаміки різного змісту, але пов'язаних між собою. Наприклад, можна поставити питання, в якій мірі зміна в динаміці забезпеченості виробництва добривами, технікою впливає на зміну урожайності, або рівня годівлі тварин на їх продуктивність і т.д. У цьому випадку застосовують кореляцію рядів динаміки.

Кореляційний аналіз динамічних рядів проводиться за тією самою схемою, що й аналіз взаємозв'язків у просторі. Разом з тим є деякі особливості застосування методів кореляції щодо аналізу рядів динаміки. Однією з таких особливостей є наявність для більшості рядів динаміки основної тенденції (тренда) в зміні їх рівнів, тоді як однією з умов застосування теорії кореляції є незалежність окремих спостережень. В динамічних же рядах фактором зміни рівнів виступає, крім інших, і час, тому, як правило, кожен наступний часовий рівень пов'язаний з попереднім. Наприклад, обсяги виробництва сільськогосподарської продукції безумовно величини, які залежать від рівня їх виробництва в попередні роки. Те ж саме можна сказати і про урожайність сільськогосподарських культур, продуктивність тварин тощо. Така залежність між кожним наступним і попереднім рівнями ряду динаміки одержала назву автокореляції.

Кореляція між рівнями динамічних рядів правильно показує тісноту зв'язку між ознаками лише в тому випадку, якщо в кожному з них відсутня автокореляція. Наявність чи відсутність автокореляції завжди потрібно перевіряти і однією з умов наукового застосування методів кореляційного аналізу стосовно рядів динаміки є виключення трендів з обох рядів. У загальному випадку можна передбачати, що в рядах динаміки, які складаються з відхилень від тренда, автокореляції немає.

Другою особливістю, яку необхідно брати до уваги при зіставленні рівнів рядів динаміки, є наявність часового лагу. Під часовим лагом розуміють, з одного боку, період, через який спостерігається сильна кореляція між рівнями одного і того самого ряду, і, з іншого боку, період відставання у розвитку двох взаємопов'язаних рядів. Найтісніший зв'язок у двох взаємопов'язаних рядах виникає, якщо зсунути один ряд відносно другого на період лагу. Тому при наявності відставання в розвитку двох взаємопов'язаних показників необхідно зсунути рівні одного ряду відносного другого на деякий проміжок часу, що дасть змогу одержати більш правильну оцінку ступеня тісноти кореляційного зв'язку.

Третьою особливістю кореляції рядів динаміки є можливість змінної кореляції. Змінною кореляцією називають зміну показників тісноти зв'язку (коефіцієнтів кореляції) протягом часу. Тому показник тісноти зв'язку в динамічних рядах можна подати як серію коефіцієнтів, розрахованих подібно ковзній середній. За цією серією коефіцієнтів кореляції, обчислених у ковзному порядку з виключенням одного члена ряду і включенням наступного через певний інтервал ковзання (триріччя, п'ятиріччя і т.д.) можна одержати більш повні відомості проте як змінювалась тіснота зв'язку в часі. Це дає змогу вияснити ті передумови, які призвели до зміни тісноти зв'язку між відображуваними в рядах динаміки явищами.

Насамкінець, четвертою особливістю кореляції в рядах динаміки є те, що при їх аналізі, як правило, є досить обмежена кількість спостережень, особливо коли вивчається зміна будь-якого явища по роках. Крім того, залучення до аналізу даних за тривалий період часу спряжено з непорівнянністю за територією, часом обліку, методикою обчислення показників і т.ін.

При кореляційному аналізі динамічних рядів доводиться розв'язувати два завдання: 1) виміряти зв'язок послідовних рівнів одного і того самого ряду динаміки; 2) виміряти зв'язок між змінами ознак двох динамічних рядів різного змісту, але пов'язаних між собою. Для розв'язання першого завдання обчислюються коефіцієнти автокореляції і авторегресії, які показують залежність між послідовними рівнями ряду динаміки, для розв'язання другого завдання - коефіцієнти кореляції і регресії.

Коефіцієнт автокореляції обчислюється за безпосередніми даними рядів динаміки, коли фактичні рівні одного ряду розглядаються як значення факторної ознаки, а рівні цього ж самого ряду зсувом на один період приймаються за результативну ознаку.

Коефіцієнт автокореляції обчислюється на основі формули коефіцієнта кореляції для парної залежності

Коефіцієнт кореляції розраховується за відхиленнями від вирівняних значень в обох рядах динаміки, що корелюються. Як правило, визначають відхилення фактичних рівнів від тренда, що характеризує основну тенденцію розвитку кожного ряду динаміки.

Коефіцієнт кореляції визначається за формулою

де сх = хі - х,; су = Уі - у,-

Як зазначалося вище, корелювання рівнів рядів динаміки правильно показує тісноту зв'язку між рядами лише в тому випадку, якщо в кожному з них відсутня автокореляція. Якщо ж за результатами розрахунків коефіцієнтів автокореляції буде доведено наявність автокореляції рівнів вихідних рядів динаміки, то не слід корелювати безпосередньо рівні порівнюваних динамічних рядів, а попередньо необхідно виключити автокореляцію рівнів у динамічних рядах.

Є декілька способів виключення автокореляції. Один із них пов'язаний з кореляцією відхилень фактичних рівнів від тренда. Суть цього способу полягає в тому, що корелюють не самі рівні, а відхилення фактичних рівнів від вирівняних, що відображають тренд, тобто корелюють залишкові величини. Виключення трендів дасть змогу послабити автокореляцію і привести вихідні дані до такого вигляду, який найбільш придатний для застосування класичних методів теорії кореляції.

При корелюванні відхилень фактичних рівнів ряду динаміки від вирівняних необхідно виконати такі операції:

1) здійснити аналітичне вирівнювання порівнюваних рядів динаміки за певним, характерним для них, аналітичним рівнянням;

2) обчислити величину відхилення кожного фактичного рівня ряду динаміки від відповідного йому вирівняного значення, тобто знаходять

йх = хі ~х,; йу = Уі ~У,.

3) визначити тісноту зв'язку між розрахованими відхиленнями за допомогою вище наведеної формули коефіцієнта кореляції.

Другий спосіб виключення автокореляції базується на корелюванні послідовних різниць між кожним наступним і попереднім рівнями, тобто величин Д у = уі ~ уі-1; Д х = хі ~ хі-1 , де А у і А хі - абсолютні прирости (зниження) із змінною базою в рядах динаміки показників у і х.

Формула коефіцієнта кореляції перших різниць, що використовується для визначення тісноти зв'язку між досліджуваними рядами динаміки, має вигляд:

При цьому слід мати на увазі, що різниця першого порядку виключає автокореляцію лише в тих рядах динаміки, в яких зміна в часі відбувається за прямою лінією. Якщо ж зміна рівнів рядів динаміки відбувається за параболою другого порядку, то виключати автокореляцію можна за допомогою корелювання других різниць (різниць між першими різницями).

Застосування кореляційного аналізу в динамічних рядах покажемо на прикладі взаємозв'язку в динаміці урожайності соняшнику і кількості внесених мінеральних добрив на 1 га соняшнику (табл. 9.9). Якщо корелювати рівні цих двох рядів динаміки, приймаючи урожайність за результативну ознаку (у), а кількість внесених добрив - за факторну ознаку (*), то розрахований коефіцієнт кореляції покаже в якому

Таблиця 9.9. Дані для розрахунку коефіцієнта кореляції в рядах динаміки

ступені обидва корельованих ряда динаміки схильні схожому впливу протягом даного періоду часу.

Величина коефіцієнта кореляції становитиме

Одержаний коефіцієнт кореляції свідчить про наявність досить тісної кореляційної залежності між урожайністю соняшнику і кількістю внесених мінеральних добрив. Така сильна тіснота зв'язку зумовлена тим, що в двох порівнюваних рядах динаміки короткочасні коливання мають однакову тенденцію, отже, і тренди відображають однаковий напрям змін у часі як урожайності, так і кількості внесених добрив.

В зв'язку з цим перед тим як робити висновок про дійсну тісноту зв'язку між досліджуваними ознаками, необхідно перевірити обидва ряда динаміки на автокореляцію. Найчіткіше автокореляція виявляється між рівнями рядів динаміки, розташованими рядом. Щоб оцінити ступінь залежності між сусідніми рівнями динамічного ряду, обчислимо коефіцієнти автокореляції для першого ряду, що характеризує динаміку урожайності, і для другого ряду, що характеризує динаміку кількості внесених добрив. Автокореляція визначається зіставленням даних, які відносяться до двох суміжних років, тобто величин х(х) і хі+1(у). Для розрахунку коефіцієнтів автокореляції побудуємо дві допоміжні таблиці (табл. 9.10 і 9.11).

Таблиця 9.10. Дані для розрахунку коефіцієнта автокореляції по ряду динаміки урожайності соняшнику

Розрахуємо коефіцієнти автокореляції по кожному ряду динаміки: а) для врожайності соняшнику

Таблиця 9.11. Дані для розрахунку коефіцієнта автокореляції по ряду динаміки внесення добрив

б) для кількості внесених добрив

Як свідчать числові значення коефіцієнтів кореляції, у взаємопов'язаних рядах динаміки існує досить значна автокореляція і наш висновок про тісноту зв'язку між рівнями динамічних рядів (урожайності і добрив) перекручується автокореляцією. В зв'язку з цим не слід корелювати безпосередньо рівні рядів динаміки, а спочатку необхідно виключити основну тенденцію зміни рівнів і корелювати вже відхилення від тренда.

З цією метою визначимо лінії трендів, щоб потім їх виключити з аналізу. Вирівнювання рядів динаміки здійснимо за рівнянням прямої лінії

уі = а0 + а1і, де і - порядковий номер року; а0 і а1 - параметри рівняння.

Для вирівнювання ряду динаміки урожайності складемо допоміжну табл. 9.12.

Таблиця 9.12. Дані для розрахунку лінії тренда ряду динаміки урожайності

Параметри рівняння а0 і а1 знайдемо з такої системи нормальних рівнянь:

Поділимо перше рівняння на 10, а друге на 55:

[15,48 = а0 + 5,50а1; [17,04 = а0 + 1,00а1. Віднімемо з другого рівняння перше

1,56 = 2,00 ах. Звідси ах = 1,56 : 2,00 = 0,78 ц/га.

Визначимо а0

154,8 = 10 а0 + 55 o 0,78;

154,8 - 55 o 0,78 111,9

а0 =-=-= 11,19.

0 10 10

Рівняння лінійного тренду має вигляд

у = 11,19 + 0,78і.

Коефіцієнт регресії а1 = 0,78 ц/га показує, що в середньому за досліджуваний період урожайність щорічно зростала на 0,78 ц/га.

Підставляючи в одержане рівняння значення 1(1=1, 2, 10). дістанемо вирівняні (розрахункові) значення урожайності.

Проведемо вирівнювання ряду динаміки кількості внесених добрив, для чого складемо допоміжну табл. 9.13.

Таблиця 9.13. Дані для розрахунку лінії тренда ряду динаміки добрив

Розв'язавши систему рівнянь

[ 14,5 = 10а0 + 55^ : 10; [88,4 = 55а0 + 385^ : 55, дістанемо а0 = 1,01; а1 = 0,08 ц діючої речовини. Рівняння лінійного тренду має вигляд

у = 1,01 + 0,08 і.

Коефіцієнт регресії а1 = 0,08 ц діючої речовини показує, що в середньому за досліджуваний період дози внесених добрив щорічно збільшувались на 0,08 ц діючої речовини.

Знайдені тренди виявляться виключеними, якщо будуть обчислені відхилення від них фактичних даних. Значення фактичних даних і вирівняних рівнів та їх відхилення для рядів динаміки урожайності і добрив подані в табл. 9.14.

Таблиця 9.14. Відхилення від трендів

Розрахунок коефіцієнта кореляції здійснимо за відхиленнями фактичних рівнів від трендів:

Величина розрахованого коефіцієнта кореляції найбільш точно характеризує тісноту зв'язку в рядах динаміки урожайності і добрив. Наявність високої автокореляції в рядах (г^ = 0,6946 і гху = 0,7547) певною мірою підсилювало високий рівень коефіцієнта кореляції (г = 0,8768) в досліджуваних рядах динаміки.

До аналогічного висновку ми прийдемо, якщо будемо корелювати різниці між наступним і попереднім рівнями обох рядів динаміки.

Для оцінки суттєвості вибіркового коефіцієнта автокореляції використовують спеціальні таблиці з критичними значеннями коефіцієнта автокореляції при різних рівнях значущості (дод. 10). Фактичне значення коефіцієнта автокореляції () зіставляється з табличним (гатаЛ ) при довірчому рівні імовірності судження і відповідній чисельності вибірки. Якщо фактичне значення буде більшим від його критичного значення, вказаного в таблиці, то роблять висновок про наявність автокореляції в генеральній сукупності. Якщо ж фактичне значення коефіцієнта автокореляції буде менше його табличного значення, тобто < гатаЛ , то потрібно відмовитись від гіпотези про наявність автокореляції в генеральній сукупності.

Проведемо оцінку вірогідності коефіцієнтів автокореляції. Для цього порівняємо їх фактичні значення з табличним при рівні значущості а = 0,05 і п = 10 (число років).

За дод. 10 встановимо, що табличне значення коефіцієнта автокореляції становить г005 = 0,360.

Оскільки %" > г0,05 ( 0,6946 > 0,360; 0,7547 > 0,360), можна зробити висновок про те, що одержані коефіцієнти автокореляції є вірогідними, а досліджуваним рядам динаміки притаманна висока автокореляція його рівнів в генеральних сукупностях.