Страхування - Базилевич В.Д. - 26.1. Точні та наближені методи розрахунку ймовірності банкрутства

26.1. Точні та наближені методи розрахунку ймовірності банкрутства.

26.2. Складені пуассонівський та від'ємний біноміальний розподіли.

Так само, як і в моделі індивідуального ризику, у моделі колективного ризику аналізується відносно короткий проміжок часу та припускається, що плата за страховку повністю надходить на початку періоду, що аналізується. Однак у моделі колективного ризику весь портфель укладених угод страхування розглядається як єдине ціле, без розрізнення окремих угод, що його складають. Отже, модель колективного ризику базується на таких спрощувальних припущеннях:

1) аналізується фіксований, відносно короткий проміжок часу (отже, можна нехтувати інфляцією і не враховувати дохід від інвестування);

2) плата за страховку повністю вноситься на початку аналізованого періоду; ніяких нових надходжень протягом цього періоду немає;

3) позови ^,У₂,що надходять не пов'язуються з конкретними договорами, а розглядаються як результат сумарного ризику компанії. Тобто У₍ - це не позов від і-ї угоди, а і-й за черговістю позов, що реально надійшов; випадкові величини У, - незалежні і однаково розподілені;

4) як основну характеристику портфеля розглядають не кількість укладених угод ТУ, а загальну кількість позовів v за період, що аналізується. Випадкова величина v та величини Уі, У₂,... - незалежні.

Численні дослідження показали, що реальні дані з практики страхування про кількість позовів за фіксований проміжок часу добре описуються за допомогою пуассонівського та від'ємного біноміального розподілу (цей факт тісно пов'язаний з моделюванням процесу позовів як пуассонівського процесу).

Друга важлива відмінність моделі колективного ризику від моделі індивідуального ризику полягає в тому, що випадкові величини У,,У₂,..., які описують величини послідовних позовів, є однаково розподіленими. Це припущення означає певну рівноцінність позовів, пов'язану з тим, що позови розглядаються як наслідок загального ризику компанії, а не індивідуальних угод з їх специфічними особливостями. Крім того, важливо підкреслити, що випадкові величини У₁ описують тільки позови, які реально надійшли, і тому на відміну від величин X,, що фігурували у моделі індивідуального ризику, є строго додатними.

У моделі колективного ризику банкрутство визначається сумарним позовом 5 = У^+... + У_у до страхової компанії. Якщо цей сумарний позов більший, ніж резерви компанії и, то компанія не зможе виконати свої зобов'язання і стає банкрутом. Тому ймовірність банкрутства компанії визначається як

( ^у "

Д=Р £У, >и. (26.1)

Слід зазначити, що у межах моделі колективного ризику також не можна дати відповідь на багато практично важливих питань. Наприклад, не можна оцінити момент банкрутства, величину капіталу, якого не вистачає в цей момент, тощо.

26.1. Точні та наближені методи розрахунку ймовірності банкрутства

Оскільки ймовірність банкрутства пов'язана із сумою випадкового числа доданків, то застосовуючи формулу повної ймовірності дістанемо

ґ V 00 ( v

Щи) = Р ]Г^уі^>а =£Р £У,>и/у = л Р(у = /і).

<І=1 у п=0 ^1=1 у

Позначимо п_п=Р(у = п) - розподіл числа позовів. Оскільки випадкові величини v, У,,У_ж,... - незалежні, а

( v

Р ^У,>и/у = 0 =0,

4=1 у

то

Я(и) = £р(ху, >"]o*.. (26.2)

л=1 V 1=1 /

Імовірності Р(У, +... + У_я >и) можна визначити через розподіл сум незалежних і однаково розподілених випадкових величин (формула згортки (23.2)).

Якщо величина У₄ - неперервна, то

М ) _{и л}

де /_у+..._+Ув (х) - щільність суми ^Уі- Тоді формула (26.2) матиме такий вигляд: ¹⁼¹

Д(и) =}&(*)<**, де /_а (х) = х⁷¹"^+...+у_я (^х) - щільність сумарного позову.

п=1

Якщо величини ^ - дискретні, то

1=1 ) *=и+1

( " ^

ДеРу₁₊...₊у_я(^/е) ^{= р} е^Уі=* o Чі=і )

Тоді формула (26.2) набуде вигляду Д(")= І Р,(к),

ж, к=и*

де P₈(k) ⁼ Ј_l*"PY_t*...+Y_mW -розподіл сумарного позову.

Приклад 26.1. Припускається, що кількість позовів за місяць описується геометричним розподілом з параметрами

з = 0,95 і р = 0,05. Тобто тс" = Р(у = п) = 0,95" 0,05 iMv = -= 19.

P.

Позови, що надійшли, мають експонеціальний розподіл із середнім 1000 грн. Визначити залежність ймовірності банкрутства від капіталу компанії.

Для розрахунків зручно прийняти 1000 грн за одиницю виміру грошових сум. Тоді P(Y_t <*)=!-e~*,Jt>0. У підрозділі 21.3 було вказано, що сума п незалежних випадкових величин, ЯКІ мають експоненціальний розподіл з параметром X, має гамма-розподіл з параметрами X та а = п. У нашому випадку

х^п~¹

Х = 1, тому /у, _iV (х) =--е'^х,х>0. Далі,

/_sW=ЙU_it"_>tri (*) = £о,95^п 0,05.-^--_е' =

п 1 п=1 (п -1)1

=0,0475 е-*.£^^. = 0,0475 е^⁰⁵¹.

CD 00

Отже, R(u)= jf₈(x)dx=0,0475- je^'dx = 0,9 5-є'⁰'⁰⁶".

и и

Наприклад, для забезпечення ймовірності банкрутства на рівні 5 % необхідно розв'язати рівняння 0,95*е~⁰'^05и =0,05. Розв'язком рівняння буде ц" 58,888, тобто 58 888 грн.

Для обчислення розподілу суми незалежних випадкових величин зручно застосовувати спеціальні функції: генератри-си (для дискретних величин) та перетворення Лапласа (для довільних додатних величин). Позначимо через

генератрису числа позовів, а через

Ф(")=Ф_Уі (з) = |е"*£Р(У, <*)= Ме"^г',8 > 0

о

перетворення Лапласа величини поданого позову (оскільки всі позови, що подаються, однаково розподілені <р(з) і не залежать від номера і позову). Тоді для перетворення Лапласа у (з) = Ме' сумарного позову маємо:

V (з) = Ме ^в(у'⁺™*^пї = £ М (е"'^(У) / V = л ) o Р(V = п) =

"⁼⁰_ж (26.3)

^^(е^^'^^фМГ я. =*(ф(*)).

п 0 п=0

Якщо індивідуальні позови мають дискретний розподіл р_п, то сумарний позов також має дискретний розподіл. У цьому

випадку прийнято працювати з генератрисами #(г) = .

= Мг^У( = ^г^п-р_{л та} С(г) = Мг⁸ а не з перетвореннями Лапласа.

п=о

Аналогом формули (26.3) буде таке співвідношення:

О(г) = *0?(г)). (26.4)

З формули (26.3) диференціюванням за 5 в точці 5 = 0 можна одержати формули для математичного сподівання МБ та дисперсії Л& сумарного позову. Оскільки у'(0) = -М5 і у'(0)=л'(ф(0))-ф'(0), _Ф(0) = 1, тс'(1)=Му, ф'(0) = -МУ, то

М5 = МУ-Му. (26.5)

Далі (0)=тс" (ф(0))-(ф'(О))² + тс'(ф(0))-ф^я (0). Враховуючи, що к" (1)=Мч(у-1)=Му² - Му = 1>у+(Му)⁸ - Му та ф" (0)= = ЛГУ²=Х)У+(МУ)², У(0)=М5^а=І>5+(М5)², одержимо

+ (МЯ)² = (і)у + (Му)² - Му) ■ (МУ )² + Му o (Х)У + (МУ )*).

Тоді беручи до уваги (26.5), маємо

= £>у o (МУ)² + £>У o Му. (26.6)

При описі моделі колективного ризику (26.1) не робилося конкретних припущень про вид розподілів кількості позовів у за аналізований проміжок часу і величини індивідуального позову У. Проте, як зазначалося в розділі 22, реальні статистичні дані і загальні міркування про характер надходження позовів показують, що у добре описується пуассонівським або невід'ємним біноміальним розподілом. Для розподілу величини позовів У є значно більше можливостей, але все-таки клас можливих розподілів не дуже широкий (дискретні розподіли, експоненціальний розподіл, розподіл Парето, гамма-розподіл). Специфічні припущення про характер розподілів випадкових величин v і У дають змогу встановити ряд додаткових властивостей моделі колективного ризику.