Логіка - Карамишева Н.В. - Алетична логіка

Для інтерпретації модальних систем розроблено декілька семантичних моделей, які отримали назви "алгебраїчна", "ситуаційна", семантика "можливих світів". Визначимо особливості семантики можливих світів.

Семантика "можливих світів" - семантична модель, вибудована з метою інтерпретації модальних логік (модальних систем), яку розробляли логіки через введення поняття "можливий світ".

"Можливий світ" у модальній логіці - "можливий стан справ", "уявна ситуація", "сценарій майбутнього", "можливий перебіг подій"; те саме, що модель; "опис можливих станів справ з використанням засобів виразу певної мови, яка складається з атомарних речень із запереченням або без заперечень" (Я. Хінтікка). Ідею "можливих світів" уперше сформулював Г. Ляйбніц для логічного аналізу висловлювань з алетичними модальностями "необхідно" та "можливо", а розвинули в теорію інтерпретації модальних логік у 50-60-х роках XX ст. логіки Р. Карнап, Я. Хінтікка та ін.

"Можливий світ" - те саме, що опис стану.

Опис стану (state description) - термін, який ввів у логічну семантику Р. Карнап з метою визначення розподілу істиннісних значень висловлювання певною мовою (системи певного виду висловлювань). Опис стану вчений визначив так: це "клас висловлювань у системі S, який містить для кожного атомарні висловлювання або саме це висловлювання чи його заперечення, але те й інше разом - і не містить жодних інших висловлювань". Отже, існує семантична система 5, яка складається з л-кількості певного виду висловлювань а, в, с,п. (1<п>).

Отже, "можливий світ" - як опис стану: 5 опис стану;

81, 5"2, 58,... 5п - множинність опису станів; Е - множинність пропозиційних змінних.

1. Е О. £ (певна множинність висловлювань входить до цього опис стану).

2. Кожному з опису станів 52, £3". &п задовольняє відповідна інтерпретація 7.

Семантика "можливих світів" є "розщеплення" (ділення) істиннісних значень висловлювань на множинність світів (станів): 1) істинне у світі 5^; 2) істинне в світі 52; 3) хибне в світі 5^; 4) хибне в світі в2 та ін.

Ми даємо виклад таких модальних логік: алетична, епістемічна, деонтична (див. 5), логіка існування.

Історично першими модальними системами є системи, які належать до алетичної логіки.

Алетична логіка

Неможливе може стати можливим, а можливе може стати дійсним.

Алетична логіка (грец. - істина) - множина модальних систем (теорій), створених на підставі алетичних модальностей "необхідно", "можливо", "дійсно", "випадково" засобами формалізованої мови. До перших модальних систем з алетичними модальностями, що були створені в 20-50-х роках XX ст., належать тризначна і чотиризначна логіка Я. Лукасевича, модальні системи Керролла Льюїса, В. Аккермана та ін.

Алетична логіка формується на загальних принципах побудови модальних логік і має семантичний та синтаксичний аспекти побудови.

Семантика вміщує категорії "клас", "індивід", "висловлювання", "властивість", "відношення"; терміни, які позначають алетичні модальності, - "необхідно", "можливо", "дійсно", "випадково"; терміни, що визначають істинність висловлювань з алетичними модальностями - логічна істинність (£-істинність), фактична істинність (^-істинність).

1. Висловлювання необхідності, або аподиктичне (грец. - переконливе), виражає закон, закономірність існування чогось або необхідність виникнення чогось за певних умов; необхідність здійснення певних дій, наприклад: "Виникнення держави і права як юридичного явища було об'єктивно необхідним", "Необхідно берегти природу".

Висловлювання необхідності в науці виражають закони, що розкривають необхідні, суттєві, стійкі зв'язки між предметами та явищами об'єктивного світу.

В логіці висловлювання необхідності виражають закони слідування (виведення), тобто таке відношення між висловлюваннями А і В, коли з А строго випливає В.

2. Висловлювання можливості (гіпотетичне, проблематичне) виражає можливість виникнення чогось, відбуття певної події за певних умов. Наприклад: "Можливо, людство створить нову цивілізацію"; "Можливо, режисер Д. отримає головний приз на Каннському кінофестивалі".

У науці висловлювання можливості виражає певне припущення (гіпотезу) стосовно певного об'єкта пізнання. У логіці висловлювання можливості виражає нестрогість слідування (виведення), тобто таке відношення між висловлюваннями А і В, коли з А не з необхідністю (можливо, ймовірно) слідує В.

3. Висловлювання дійсності (ассерторичне) виражає знання про те, що відбулося або відбувається насправді. Наприклад: "Дійсно, в сучасному соціальному світі відбуваються інтегративні процеси", "Справді, сьогодні світить сонце".

У науці висловлювання дійсності виражає знання про те, що відбулося в об'єктивному світі, тобто про фактичні дані.

4. Висловлювання випадковості виражає:

- певне припущення про такі явища, процеси, події, які можуть відбутися або не відбутися в реальному світі (Арістотель визначав випадковість як відбуття подій, протилежних необхідності: "Майбутні події відбуваються за необхідності або випадково");

- як настання події р, непередбаченої суб'єктом х. (Наприклад: "Я випадково зустрів свого друга в театрі").

У науці висловлювання випадковості: а) визначають певні твердження, які не є ані законами, ані їхніми наслідками, але такі твердження не суперечать цим законам та їхнім наслідкам; б) виражають події, котрі за певної сукупності умов можуть відбутися, а можуть не відбутися, але для яких визначена ймовірність їх відбуття.

Відповідно до поділу модальностей на фактичні (онтологічні) й логічні (у логіці висловлювання випадковості виражає фактичну або логічну недетермінованість виведення висловлювання В із висловлювання А), висловлювання з алетичними модальностями "необхідно", "можливо", "дійсно, "справді", "випадково" можуть виражати дещо про об'єкт наукового, філософського й інших видів пізнання, а також типи відношень між структурними частинами самого висловлювання. Перші модальності належать до фактичних, а другі - до логічних. Фактичні алетичні модальності пов'язані з об'єктивною детермінованістю висловлювань, коли їх істинність або хибність визначається становищем реальних справ; логічна модальність пов'язана з логічною детермінованістю висловлювань, коли їх істинність або хибність визначають через логічні закони. Фактичні й логічні модальності поділяють на такі види: логічно необхідно, фактично необхідно; логічно можливо, фактично можливо; логічно випадково, фактично випадково.

Синтаксис вміщує алфавіт, правила побудови формул із символів алфавіту, правила виведення одних формул з інших, правила інтерпретації.

Алфавіт - символи для позначення:

- висловлювань А, В, С;

- модальностей:

- необхідно;

- дійсно і (або висловлювання має формальний вираз А без введення додаткового символу);

- можливо 0;

- випадково V;

- строгої імплікації =>;

- логічної істинності Ь-істинне;

- фактичної істинності Р-істинне;

- пропозиційних зв'язок Л, V, ->, =, -і.

На підставі визначення термінів, що виокремлюють специфіку алетичної логіки та символів алфавіту, створюють формули.

Побудова формул алетичної логіки:

Значення істинності висловлювань з алетичними модальностями

Істинність висловлювання з алетичними модальностями визначають на підставі відокремлення логічних і фактичних модальностей і встановлення відношення слідування між ними.

1. Логічна необхідність зумовлює фактичну необхідність. Якщо логічно необхідно А, то фактично необхідно А. Формально: L А -> F О А. Наприклад: "Якщо логічно необхідно берегти природу (L-істинне), то фактично необхідно берегти природу" (Р-істинне). Із фактичної необхідності А не слідує логічна необхідність А. Формально: PDA -> -" L А. Скажімо, на підставі факту, що вода закипає за температури 100°, тобто, якщо фактично необхідно, що вода закипає за температури 100° (Р-істинне), не слідує, що логічно необхідно, що вода закипає за температури 100° (Ь-хибне).

2. Фактична можливість зумовлює логічну можливість, якщо фактична можливість не суперечить законам природи. Формально: Р 0 А -> Ь 0 А.

Наприклад: "Якщо фактично можливо політ на Марс (Р-істинне), то логічно можливо політ на Марс" (//-істинне). Але логічна можливість не зумовлює фактичну можливість. Формально: £0А-"-іР0А. Наприклад: "Якщо логічно можливо побудувати вічний двигун (істинне), то фактично можливо побудувати вічний двигун (Р-хибне)", оскільки це суперечить другому закону термодинаміки.

3. Фактична випадковість А (фактично недетерміновано А) зумовлює логічну випадковість А (логічно недетерміновано А). Формально: Р V А -> Ь V А. Наприклад: Якщо фактично випадково студент Д. отримав на іспиті з психології оцінку "відмінно" (Р-істинне), то логічно випадково студент Д. отримав на іспиті з психології оцінку "відмінно" (І істинне)".

Однак з логічної випадковості А (логічно недетерміновано А) не слідує фактична випадковість А (фактично недетерміновано А).

Приміром: "Якщо логічно випадково особа Н. виграла в лотерею 1 млн грн (істинне), то фактично випадково особа Н. виграла в лотерею 1 млн грн (Р-хибне)".

4. Логічна неможливість А зумовлює фактичну неможливість А. Формально: Ь^ОА-^Р-^ОА.

Наприклад: "Якщо логічно неможливо здійснити політ на Марс за день (Ь-істинне), то фактично неможливо здійснити політ на Марс за день (Р-істинне)".

Але фактична неможливість А не зумовлює логічної неможливості А.

Формально: Р 0 А-> Ь 0А. Наприклад: "Якщо фактично неможливо прочитати твори письменника Р. у десяти томах за день (Р-істинне), то логічно неможливо прочитати твори письменника Р. у десяти томах за день (£-хибне)".

Якщо абстрагуватися від поділу алетичних модальностей на логічні й фактичні, то можна встановити такі формальні відношення:

1. Відношення між модальностями "необхідно А" ( А) і можливо А(0 А), які зображають за допомогою "логічного квадрата":

2. Відношення слідування між модальностями "необхідно А", "ненеобхідно А", "можливо А", "неможливо А", "дійсно А", "випадково А", "невипадково А". Приклади таких відношень мають формальний вираз:

Із цих формул аксіомами алетичної логіки є формули 1, 2, З, 4, 5.

Модальність і багатозначність.

На співвідношення модальності й багатозначності вперше звернув увагу Я. Лукасевич, один із засновників, як уже згадувалося, модальної логіки. Аналізуючи висловлювання з алетичними модальностями "необхідно А" та "можливо А", Я. Лукасевич дійшов висновку, що будь-яка модальна система повинна бути багатозначною за значенням істинності, оскільки, якщо інтерпретувати модальність засобами двозначної логіки, це призведе до суперечності.

У свою тризначну модальну логіку Я. Лукасевич увів модальність "можливо" як вихідну модальну функцію висловлювання (можливо А) і модальність необхідності, що має також значення як "неможливо не-А".

Я. Лукасевич для позначення модальностей і пропозиційних зв'язок використовує літерну символіку. Якщо замінити літерну символіку знаковою, то таблиця істинності в тризначній модальній логіці набуває такого вигляду:

Для модальності "випадково А" таблиця істинності набуває такого вигляду:

Окрім тризначної логіки, з метою усунення парадоксів матеріальної імплікації та з метою інтерпретації модальної силогістики Арістотеля, Я. Лукасевич побудував чотиризначну модальну логіку, куди ввів додаткові (проміжні) значення істинності, - "можливо істинне", "можливо хибне". У межах цієї логіки висловлюванню А з алетичною модальністю надаються такі значення: 1) "істинне"; 2) "хибне"; 3) "можливо істинне"; 4) "можливо хибне".

Символи для позначення істиннісного значення висловлювань: 1 -- "істинне"; 4 - "хибне"; 2, 3 - додаткові значення ("можливо істинне", "можливо хибне").

Таблиця істинності чотиризначної логіки Я. Лукасевича набуває такого вигляду:

Модальність і слідування (Алетична логіка і теорія слідування).

Відношення між модальністю та слідуванням визначено в теорії (системі) строгої імплікації, створеної американським логіком Керроллом Льюїсом (1883-1964) з метою усунення (подолання, вирішення) парадоксів матеріальної імплікації, що виникли в історично першій системі символічної логіки - логіки висловлювань (див. 4.2.1).

Матеріальною імплікацією називають імплікацію, формальний вираз якої А -> В. У логіці висловлювань у процесі встановлення суто формальних зв'язків між антецедентом А та консеквентом В, котрі визначають через таблицю істинності для матеріальної імплікації, логіки виявили парадокси, що отримали назву "парадокси матеріальної імплікації". Вони формулюються в такий спосіб: 1) Із істинного антецедента А слідує "все, що завгодно" (істинне В, хибне В); 2) Із хибного антецедента А слідує "все, що завгодно" (істинне В, хибне В). Оскільки таке формальне слідування суперечить строгому логічному слідуванню (з істинного антецедента А слідує лише істинний консеквент В; із хибного антецедента А слідує лише хибний консеквент В, тобто, якщо А - істинне, то В - істинне; якщо А - хибне, то В - хибне), то воно визначається як парадоксальне.

Створення теорії (системи) строгої імплікації передбачало, що в її межах формули, котрі виражають парадокси матеріальної імплікації, були б невивідними. З цією метою до такої системи вводять нові терміни: "строга імплікація" та модальності "необхідно" й "можливо".

Алфавіт - символи для позначення:

Із символів алфавіту створюють формули, які визначають смисл основних термінів, введених у теорію строгої імплікації:

1. (А ^ В) г -і 0 (А Л -ч В) (чит.: "А строго імплікує В, якщо і лише якщо неможливо разом А і не В"). Ця формула визначає смисл терміна "строга імплікація".

2. (А В) = О (А -> В) (чит.: "А строго імплікує В, якщо і лише якщо необхідно, що якщо А, то В"). Формула визначає, що строга імплікація - необхідна матеріальна імплікація.

3. ( А = -і 0 -" А) (чит.: "необхідно А тоді й лише тоді, коли неможливо не А"). Названа формула визначає смисл терміна "необхідно".

4. (А л В) = (-ї А "=> -"В) (чит.: А і В тоді й тільки тоді, коли не А строго імплікує не В"). Ця формула визначає відношення сумісності між А та В.

У теорії строгої імплікації аксіоми класичної логіки модифіковані за допомогою сим вола строгої імплікації в значенні, що А строго імплікує В:

Формули, що в логіці висловлювань постають як парадокси матеріальної імплікації:

1. (А -> (В -> А)) (чит.: якщо А, то з В випливає будь-яке А - істинне або хибне).

2. (-> А -> (А -> В)) (чит.: якщо не А, то з А слідує будь-яке В - істинне або хибне).

Якщо ці формули зобразити за допомогою символів модальностей "необхідно" та "можливо", то отримаємо парадокси строгої імплікації:

А (А В) (чит.: якщо необхідно А, то А строго імплікує будь-яке В - істинне або хибне);

-" 0 А <=> (А "=> В) (чит.: якщо неможливо А, то А строго імплікує будь-яке В - істинне або хибне).

Отже, в системі строгої імплікації виникли свої парадокси. Для їх усунення логіки почали створювати нові логічні теорії слідування. Так, у 1956 р. німецький логік В. Аккерман (1896-1962) побудував логічну систему, в якій намагався визначити строгіші відношення між модальністю та логічним слідуванням і подолати парадокси строгої імплікації Керролла Льюїса. Система В. Аккермана отримала назву теорії сильної імплікації. її створення передбачало, що формули, які виражають парадокси строгої імплікації, були б невивідними (не доведеними) у цій системі. З цією метою до системи ввели терміни, що відокремлюють модальність висловлювання - "необхідно" та "можливо" і нові терміни - "сильна імплікація" та "абсурдно" (абсурдність).

1. Термін "сильна імплікація" не визначають, а використовують як вихідне, інтуїтивно зрозуміле.

2. Термін "абсурдно" визначають як логічну постійну. Він означає "зведення до абсурду" як зведення до суперечності, до хибного або неможливого.

Алфавіт - символи для позначення:

Із символів алфавіту вибудовують формули, що визначають сильну імплікацію:

1. 0 А = (А -> А) (чит.: можливо, що А тоді й лише тоді, коли неправильно, що з А імплікується абсурдність).

2. А = -" (А -> А) (чит.: необхідно А тоді й тільки тоді, коли з не А імплікується абсурдність).

3. -1 А н А -> А (чит.: не А тоді й лише тоді, коли з А імплікується абсурдність).

У системі сильної імплікації до аксіом логіки висловлювань додають дві аксіоми, які визначають як аксіоми системи сильної імплікації:

1. А1 (А -> А) -> -" А (чит.: якщо з А слідує абсурдність, то не А).

2. А2 (А л -і А) -> А (чит.: з А і не А слідує абсурдність або А і не А - абсурдно).

Парадокси матеріальної, строгої імплікації, що виникли в межах логіки висловлювань і теорії строгої імплікації, визначають як свідоцтво недостатності суто формальних досліджень логічного слідування. Тому альтернативами до таких теорій логіки стали розробляти нові логічні теорії, релевантніші (відповідніші, доречніші) практиці міркувань засобами природної мови. До таких неформальних теорій слідування належить релевантна логіка.

Релевантна логіка належить до некласичних теорій логічного слідування, яка виділяє й систематизує лише коректні принципи логіки, внаслідок чого в ній відсутні парадокси імплікації (матеріальної, строгої та ін.). Формальним аналогом умовного висловлювання в ній релевантна імплікація, яка враховує змістовну єдність антецедента і консеквента. У межах релевантної імплікації неможливо стверджувати, що істинне висловлювання виводиться з будь-якого твердження, і що на підставі хибного висловлювання обґрунтується будь-яке висловлювання. Вираз "А релевантно імплікує висловлювання В" означає, що В міститься в А, тобто й інформація, яка міститься у В, є частиною інформації висловлювання А. Отже, А не може релевантно імплікувати В, якщо у В не входить хоча б одне із тих тверджень. Цей підхід вперше запропонували у 50-х роках XX ст. логіки А. Андерсон і Н. Белнап.

У релевантній логіці відсутній (заборонений) принцип, згідно з яким із суперечності можна виводити всяке висловлювання. З огляду на це, релевантну логіку іноді розглядають ще різновидом паранесуперечливих логік (див. 6.4).

Інтерпретація алетичної логіки.

Інтерпретація - перетворення формули з алетичними модальностями на висловлювання та визначення його значення істинності. Основні терміни: модель, формула, інтерпретація, значення істинності - істинне (і); хибне (*), можливо істинне (72)" можливо хибне (!/а).

Інтерпретація формули може бути сформульована в межах певної логічної системи або визначена конкретна предметна сфера міркувань, у межах якої логічними засобами визначають та уточнюють значення істинності висловлювань з певним змістом з алетичними модальностями.

Алетична логіка як модальна система може бути інтерпретована: у філософії з метою логічного аналізу філософських категорій "необхідність", "можливість", "дійсність", "випадковість" і встановлення необхідних зв'язків між цими категоріями; у сфері права - з метою точнішого аналізу та визначення істинності висловлювань з юридичним змістом; в інших сферах міркувань.

Інтерпретуємо алетичні модальності в сфері права.

Сфера права є багатогранною (юридична теорія та практика) й охоплює різні галузі права (конституційне право, кримінальне право, цивільне право, адміністративне право тощо). Відповідно, для кожної з них існує особлива інтерпретація алетичних модальностей. Інтерпретуємо алетичні модальності в сфері права, які визначають необхідність прийняття законів та їх виконання:

1. Висловлювання необхідності (аподиктичне) виражає:

а) необхідність розроблення та прийняття законів й кодексів з метою регулювання певної сфери суспільних відношень ("Необхідно прийняти закон АГ') і необхідність, щоб прийнятий закон діяв у державі ("Необхідно, щоб прийнятий закон N діяв у державі");

б) необхідність, щоб усі громадяни держави дотримувались закону ("Необхідно, щоб усі громадяни України дотримувались закону");

в) необхідність побудови правової держави ("Необхідно, щоб держава Я. була правовою", "Необхідно, щоб усі громадяни держави Я. були рівними перед законом").

2. Висловлювання можливості (проблематичне, гіпотетичне) виражає певне припущення про прийняття певного закону ("Можливо, закон N буде, зрештою, прийнятий законодавчим органом держави Я.", "Можливо, закон N так і не буде прийнятий законодавчим органом держави Я.").

3. Висловлювання дійсності (асерторичне) виражає справжній стан справ у сфері права у державі ("Закон N є прийнятим законодавчим органом держави Я. "; "Закон N не є прийнятим законодавчим органом держави Я.").

Встановлюємо логічні відношення між висловлюваннями з алетичними модальностями та надаємо їм значення істинності:

1. "Необхідно, щоб закон N був прийнятий Верховною Радою України" ( А) - істинне.

"Не необхідно, щоб закон ТУ був прийнятий Верховною Радою України" (-" А) - хибне.

Ці висловлювання перебувають у відношенні суперечності, отже, вони не можуть бути водночас істинними.

2. "Необхідно, щоб закон N був прийнятий Верховною Радою України" ( А) - істинне.

"Можливо, що закон N буде прийнятий Верховною Радою України" (0 А) - можливо істинне (1/2); можливо хибне С/2).

3. "Необхідно, щоб усі громадяни України дотримувалися закону" ( А) - істинне.

"Неможливо, щоб усі громадяни України не дотримувалися закону" (~" 0 -1 А) - істинне.