Статистика - Опря А.Т. - § 9.3. Особливості кореляційного аналізу рядів динаміки та методичні основи статистичного прогнозування їх рівнів

Об'єктом кореляційного аналізу можуть бути не тільки статистичні (просторові) сукупності, а й сукупності, які характеризують зміну явищ у часі, тобто динамічні. Розроблена методологія кореляції для аналізу явищ у просторі не прийнятна для динамічних сукупностей. Тому при використанні кореляційного методу необхідно знати особливості та межі його використання. Насамперед це стосується перевірки передбачень та інтерпретації результатів аналізу рядів динаміки. Як кореляційна модель, так і її статистичні характеристики мають конкретний економічний зміст і висвітлюють економічне явище з певного боку. Оскільки зміст статистичних показників залежить від дотримання вимог щодо їх обчислення, то дослідник повинний вміти користуватися методологією аналізу і пояснювати одержані результати. Особливо це стосується досліджень кореляції між рядами динаміки.

Під кореляцією рядів динаміки розуміють метод вивчення зв'язку між показниками, представленими їх значеннями в послідовні моменти або періоди часу. Кореляція рядів динаміки має свої особливості, які зумовлені тим, що ряд динаміки, по-перше, має короткочасні коливання (місячні, квартальні, річні) і, по-друге, містить у собі такий компонент, як загальна тенденція в зміні показників ряду - "вісь кривої", або тренд. Під останнім розуміють зміну, яка визначає загальний напрям розвитку, основну тенденцію рядів динаміки. Лінію тренда можна порівняти з лінією регресії. Якщо остання являє собою плавну зміну результативної ознаки під впливом факторної, звільненої від дії всіх сторонніх (неврахованих) причин, то лінія тренда характеризує плавну у часі зміну явищ, викликаних різними обставинами короткочасних відхилень від загальної тенденції.

Наявність тренда ускладнює кореляційний аналіз рядів динаміки. Так, якщо вивчається кореляція рядів без виключення загальної тенденції в них, то показник тісноти залежності характеризуватиме зв'язок не лише між короткочасними коливаннями, а й між трендами. В іншому випадку, коли тренди будуть виключеними із корельованих рядів динаміки, одержаний коефіцієнт кореляції характеризуватиме тісноту залежності лише між короткочасними коливаннями.

Тренд, відображуючи загальний напрям змін явища, що відбуваються у часі, водночас визначає й залежність між членами ряду динаміки. Ця залежність, яка визначається формою лінії тренда, має таку ж саму статистичну природу, як і лінія регресії. Зазначену кореляційну залежність між сусідніми (попередніми і наступними) членами ряду називають автокореляціею.

Наявність автокореляції зумовлюється різними причинами, асаме:

1) у кореляційній динамічній моделі не врахований істотний фактор;

2) у моделі не враховано кілька неістотних факторів, взаємний вплив яких є істотним внаслідок збігу фаз та напрямів їх змін;

3) обрано неправильний тип моделі;

4) специфічна структура випадкової компоненти.

Щоб виявити лінії трендів з метою наступного їх виключення з аналізу, здійснюють вирівнювання ряду за допомогою ковзної середньої або аналітичне вирівнювання ряду динаміки за певною математичною функцією (прямої, параболи, експоненти та ін.).

Зазначені особливості кореляційного аналізу рядів динаміки розглянемо на прикладі показників продуктивності молочного стада корів (у - середньорічний надій, т) і рівня їх годівлі (х - річні витрати кормів на голову, ц к. од.): (табл. 63).

Таблиця 63

Вихідні і розрахункові дані для обчислення коефіцієнта кореляції в рядах динаміки

Якщо розглядати кореляційну залежність в рядах динаміки, прийнявши рівень годівлі тварин за ознаку-фактор а рівень їх продуктивності - за результативну ознаку, то величина коефіцієнта кореляції становитиме:

Одержана величина коефіцієнта кореляції свідчить про наявність досить тісної кореляційної залежності між продуктивністю тварин та рівнем їх годівлі. Така сильна кореляція зумовлена тим, що в обох порівнюваних рядах динаміки короткострокові коливання мають однакову тенденцію, отже, і тренди відображують однаковий напрям змін у часі як продуктивності тварин, так і рівня їх годівлі.

Форма і напрям лінії трендів для обох досліджуваних рядів: наведені на рис. 23. Лінії трендів надоїв і рівня годівлі визначені шляхом аналітичного їх вирівнювання за формулою прямої лінії:

Рис. 23. Тренди продуктивності тварин і рівня їх годівлі:

1 - емпіричні дані надоїв; 2 - тренд надоїв; 3 - емпіричні дані рівня годівлі; 4 - тренд рівня годівлі.

Якщо ставиться завівання визначити, якою мірою щорічні коливання показників рівня продуктивності молочного стада залежали від рівня годівлі, то його вирішення потребує виключення з обох рядів динаміки трендів. Із цією метою визначають характеристики автокореляції. Для рядів надоїв і рівнів годівлі автокореляція визначається шляхом порівняння даних, які стосуються двох сусідніх років (табл. 64, 65).

Таблиця 64 Вихідні і розрахункові дані для обчислення коефіцієнта кореляції за показниками надоїв (автокореляція)

Таблиця 65 Вихідні і розрахункові дані для обчислення коефіцієнта кореляції за показниками рівня годівлі

Розрахуємо коефіцієнти кореляції по рядах динаміки надоїв і рівнів годівлі:

Як свідчать числові значення знайдених коефіцієнтів кореляції, в ряді динаміки надоїв існує досить значна додатна автокореляція; у ряді рівнів годівля тварин вона слабка і від'ємна.

Визначимо лінії трендів з тим, щоб потім виключити їх з аналізу. Зокрема, здійснимо аналітичне вирівнювання ряду динаміки

за прямою ^Уі~~ ^а° ⁺ ^ , де і - одиниця часу (у даному випадку рік).

Параметри а₀ і а₁ знаходять шляхом вирішення системи нормальних рівнянь:

| ^а0^п + 1 = Е у;

Для показників динаміки надоїв (табл. 66) і рівнів годівлі (табл. 67) системи рівнянь мають вигляд:

Г10а₀ + 55а₁ = 36,3; Г 10а₀ + 55а₁ = 428;

[55а₀ + 385а₁ = 223. [55а₀ + 385а₁ = 2543.

Таблиця 66 Вихідні і розрахункові дані для обчислення лінії тренда показників надоїв

Таблиця 67 Вихідні і розрахункові дані для обчислення лінії тренда показників рівня годівлі

Після рішення цих систем одержимо аналітичні рівняння

зв'язку: для рядів динаміки надоїв ^у ~ ^{2,09 + 0,28г}; для рядів динаміки

рівнів годівлі ^У = ^{30,2 + 2,29}.

Щоб виключити знайдений тренд із аналізу рядів динаміки, розраховують відхилення від нього емпіричних даних. Такі відхилення, які являють собою короткочасні коливання у "чистому" вигляді, можна корелювати. У прикладі з показниками продуктивності молочного стада та рівня годівлі визначено в обох рядах відхилення від трендів, розраховані за формулою прямої лінії (табл. 68).

За одержаними відхиленнями від тренда розраховують коефіцієнт кореляції (табл. 69):

2 ^АхДУ 22,4675

-ху = ₂ ^; = г = ^0,877.

^Дх² Е ^ДУ² -/1,8930o 346,6185

Величина розрахованого коефіцієнта кореляції найбільш точно

відображує тісноту зв'язку в рядах динаміки показників надоїв і

годівлі. Адже наявність високої автокореляції в рядах показників

.. ,г = 0,676. o ,

надоїв ( ^ху ) певною мірою посилювала зв язок між щорічними

надоями та рівнем годівлі, зумовивши високий рівень коефіцієнта

кореляції (0,934) в досліджуваних рядах динаміки.

Таблиця 68 Відхилення від трендів

Таблиця 69 Вихідні і розрахункові дані для обчислення коефіцієнта кореляції за відхиленнями від тренда

Питання кореляції рядів динаміки тісно пов'язані з питаннями прогнозування. Економічний прогноз - це науково обґрунтоване передбачення розвитку будь-якого економічного показника тієї чи іншої галузі або народного господарства в цілому на перспективу, ступінь вірогідності якого залежить, від методів прогнозування. При економічному прогнозуванні використовують цілий комплекс методів (подібність і відмінність, супутні зміни, аналогія, моделювання та ін.), серед яких найпростішим і доступним широкому колу економістів-практиків є метод прогнозування шляхом екстраполяції рядів динаміки, який ґрунтується на гіпотезі стійкості закономірності розвитку явища (тренд). В його основу покладено зафіксовану в минулому і нинішню тенденцію, яка передбачається і в майбутньому, якщо не очікується змін зовнішніх та внутрішніх факторів, які зумовлюють її. Однак ця тенденція не завжди точно відображує дійсність, оскільки її збереження залежить насамперед від урахування взаємодії з Іншими тенденціями, що не завжди можливо. Незважаючи на це, метод екстраполяції тенденції широко використовують у прогнозуванні економічних показників, бо він дає змогу визначити заходи, спрямовані на запобігання шкідливим та посилення корисних тенденцій. Статистичний прогноз - це засіб запобігання раптовостям у дійсній реальності, що особливо важливо для економічних явищ.

Передумовою успішного застосування екстраполяції рядів динаміки (продовження рівнів ряду на майбутнє на підставі виявленої закономірності змін рівнів за досліджуваний проміжок часу) є наявність необхідної статистичної інформації, яка дає змогу перевірити гіпотезу стійкості розвитку. Таким чином, питання полягає в об'єктивному підході до вибору економічно обґрунтованого типу лінії вирівнювання ряду динаміки. Правильний вибір типу тренда дозволяє одержати точнішу характеристику коливання показників динаміки і тенденції їх змін. Від типу лінії значно залежить і величина очікуваного показника, а отже, і якість прогнозу.

У практиці статистичного прогнозування економічних показників найчастіше використовують аналітичні рівняння прямої лінії, показової кривої (експоненти) та параболи другого і вищих порядків. Вирівнювання здійснюють виходячи з логіко-теоретичного аналізу ряду динаміки, завдяки якому встановлюють характер динаміки й тип необхідної лінії аналітичного рівняння. При цьому беруть до уваги характер динаміки факторів, що зумовлюють основну тенденцію змін показників, які досліджуються. Але оскільки факторним ознакам також властиве певне (іноді істотне) коливання, характер якого не завжди зрозумілий і потребує в свою чергу поглибленого аналізу, логічніше буде при виборі типу лінії виходити з характеру динаміки результативної ознаки.

У зв'язку з тим, що завдання вибору типу аналітичної лінії потребує абстрагування від індивідуальних особливостей коливань багатьох факторів, тобто, передбачає узагальнене відображення їх дій, досить корисним слід вважати попередній аналіз первинних емпіричних показників у системі координат. При цьому метою вирівнювання рядів динаміки, є не вибір лінії, а встановлення тенденції розвитку" Наприклад, при вивченні показників динаміки врожайності в розрізі окремих культур тенденції змін її не збігаються, тому будуть різними й аналітичні рівняння зв'язку. Для встановлення стабільності тієї чи іншої характеристики динаміки (абсолютний приріст, темп росту та його прискорення) розраховують істотність їх різниць. Так, якщо у рядах величин приростів,, темпів росту чи прискорення не спостерігається певних закономірностей у розташуванні, тобто показники зазначених характеристик "розкидані" по ряду динаміки, можна стверджувати про істотність їх різниць. У випадку, коли розраховані характеристики динаміки за розміром їх величин концентруються в певних частинах ряду, різниця між ними буде істотною й потребуватиме статистичної оцінки. Вважається, що при ймовірності понад 0,9 різниця буде істотною, а тому екстраполяцією за відповідним типом лінії (абсолютний приріст - пряма, темп росту - показова крива, прискорення - парабола) виконувати не можна.

Проілюструємо це на прикладі рядів динаміки врожайності зернових культур за попередні 23 роки (табл. 70).

Як свідчать наведені дані, серед показників динаміки найвиразніше простежується закономірність у розташуванні абсолютних приростів. У другій половині ряду концентруються вищі їх величини, ніж у першій; вони мають стійкішу тенденцію до зростання. Для визначення істотності різниці середніх приростів обчислюють середню випадкову помилку для кожної половини ряду

динаміки за формулою ^{т = а :} . Середню випадкову помилку різниці знаходять, як суму таких помилок двох періодів

(т_р - _л/^т_+^т7). Порівнюючи різницю середніх абсолютних приростів (А₂ - А₁) із середньої) випадковою помилкою, одержують показник нормованого відхилення (і).

Згідно з цією статистичною характеристикою і числом ступенів вільності за таблицею значень інтеграла ймовірностей Ст'юдента знаходять імовірність істотності різниці середніх абсолютних приростів. Аналогічні розрахунки виконують і для інших характеристик рядів динаміки - темпів росту і прискорень. У нашому прикладі інтеграл імовірності при нормованому відхиленні ,=0,259 і 17 ступенях вільності варіація приростів урожайності зернових культур становить 0,616 (додаток 1). Таким чином, величина знайденого показника ймовірності менша за 0,9, що дає підставу стверджувати про можливість використання для екстраполяції врожайності зернових культур рівняння прямої лінії. Якщо прийняти гіпотезу про сталість закономірності для визначення врожайності

зернових, то фактичні її рівні добре апроксимуються рівнянням ^У- = 10,6+0,554-. Екстраполяція цієї лінії на наступні 8-10 років дає показник 28-29 ц/га.

Таблиця 70

Статистичні характеристики динаміки врожайності зернових культур

Існування нерегульованих факторів (наприклад, кліматичні умови) потребує обґрунтування форми тренда з урахуванням їх дії. Для розглядуваного прикладу найкращими формами тренда можуть бути експонента і парабола. Тут необхідний поглиблений попередній аналіз досліджуваного періоду, який ґрунтується на знанні агроекономічних факторів формування рівнів урожайності.

В таблиці 71 наведено статистичні характеристики рядів динаміки для різних культур, вирощуваних у степовій зоні України, і відповідно до них рекомендований тип тренда, який дасть найбільш об'єктивні результати розрахунків показників динаміки на прогнозований період. Безумовно, для більш точного статистичного прогнозування слід застосовувати множинні кореляційні моделі динамік", в яких би враховувалася дія факторів. Поки що теоретична база багатофакторного регресійного аналізу рядів динаміки розроблена і висвітлена недостатньо. Розглянемо основні методичні особливості його здійснення при вивченні економічних явищ.

Таблиця 71

Статистичні характеристики ряду динаміки врожайності (23 роки)

* Залежно від типу тренда визначали істотність різниць абсолютни) приростів або темпів росту чи прискорень

Багатофакторні кореляційні моделі динаміки економічних явищ можуть бути побудовані на інформації різних ієрархічних рівнів і за неоднаковий період часу. Для таких моделей використовують ряди динаміки, що характеризують середні величини досліджуваних показників: 1) по країні в цілому; 2) по окремих галузях народного господарства; 3) по окремих галузях народного господарства за певний період часу, який приймається за одиницю виміру (наприклад, рік). Крім того, багатофакторна модель може будуватися на інформації, яка характеризує динаміку явища на кожному досліджуваному об'єкті (господарство, бригада, ферма), а також на просторовій інформації).

При побудові багатофакторних кореляційних моделей економічних явищ виникають дві математичні проблеми: автокореляція та мультиколінеарність.

Автокореляція у відхиленнях від трендів або регресійної моделі виникає з таких причин: 1) у моделі не враховано істотного фактора; 2) у моделі не враховано кілька неістотних факторів, дія яких збігається за напрямом і фазою; 3) неправильно обрано форму зв'язку залежної та незалежної змінних; 4) через особливість внутрішньої структури випадкової компоненти.

Для виявлення наявності автокореляції у відхиленнях від трендів або регресійної моделі розраховують критерій Дурбіна-Уотсона, який обчислюють за формулою:

_І*,

І=1

де ^є' - випадкові відхилення від тренда або регресійної моделі.

Розрахована таким чином величина й порівнюється з теоретичними її значеннями за стандартною математичною таблицею (додаток 14), яка містить відповідні нижні (й_і) та верхні (й₂) границі критерію Дурбіна-Уотсона, а також число змінних у кореляційній динамічній моделі (V) і довжину ряду динаміки (п).

При порівнянні фактичних і теоретичних величин критерію можливі три випадки: 1) й < й_і; 2) й > й₂; 3) сі- < сі < й₂. Дамо їм пояснення: 1 - гіпотеза про відсутність автокореляції у відхиленнях не приймається (відкидається); 2 - гіпотеза про відсутність автокореляції приймається; 3 - виникає потреба у подальших дослідженнях (наприклад, збільшення ряду динаміки).

Значення критерію Дурбіна-Уотсона коливається в межах 0 < d 4, при цьому величини їх різні для додатних та від'ємних коефіцієнтів. Для перевірки від'ємних автокореляцій обчислюють величину (4 - d) й порівнюють її і за схемою, аналогічною у випадку додатної автокореляції.

Для зменшення автокореляції, крім виключення тренда, використовують й інший прийом: включення у множинну кореляційну моделі показника часу як аргументу (фактора), адже множинна регресія з відхиленнями від лінійних тенденцій еквівалентна прямому введенню часу в рівняння регресії (теорема Фриша і Boy).

До особливостей кореляційного аналізу в рядах динаміки слід віднести також мультиколінеарність, тобто наявність сильної кореляції між незалежними змінними, яка може існувати поза залежністю між результативною та факторними ознаками. Наявність мультиколінеарності в кореляційних моделях становить досить серйозну загрозу і для одержання об'єктивних оцінок взаємозв'язків, у зв'язку з чим ускладнюється сам процес здійснення аналізу. Пояснюється це такими причинами: 1) важко виділити найбільш істотні фактори, оскільки правило |3-коефіцієнтів дійсне лише для некорельованих (або слабокорельованих) факторів; 2) викривлюється зміст коефіцієнтів регресії; 3) ускладнюється обчислювальний процес.

Розв'язання питань мультиколінеарності в кореляційному аналізі рядів динаміки повинне здійснюватися за такими етапами: 1) визначення факту наявності мультиколінеарності; 2) визначення області мультиколінеарності на множині факторів; 3) вимірювання ступеня мультиколінеарності; 4) з'ясування її причин; 5) розробка заходів щодо усунення мультиколінеарності.

Слід пам'ятати, що математична природа регресії виключає наявність лінійного зв'язку між незалежними змінними. Для економічних явищ ця обставина вважається не характерною, адже між факторами існують лінійні співвідношення, які знаходять своє відображення (в найпростішому випадку) у великих значеннях коефіцієнтів простої кореляції. Як вже відзначалося, фактори вважаються мультиколінеарними, якщо абсолютна величина парного І коефіцієнта кореляції перевищує 0,8.

Назвемо шляхи усунення (зменшення) в кореляційному аналізі мультиколінеарності в рядах динаміки: 1) побудова рівнянь регресії за відхиленнями від трендів; 2) одержання та залучення додаткової статистичної інформації; 3) перетворення множини незалежних змінних у кілька ортогональних (незалежних) множин із наступним використанням методів багатомірного статистичного аналізу (факторного, кластерного та ін.); 4) виключення з моделі одного або кількох лінійно зв'язаних факторів.

У спеціальній літературі рекомендується при багатофакторному регресійному аналізі в динаміці використовувати найпростіші -прямолінійні - залежності. Це пояснюється тим, що при складних дійсні залежності між явищами часто перекручуються. Вони також погано піддаються економічній інтерпретації.